MÉTODO DESARROLLADO

El método que se ha desarrollado ha sido condicionado desde su origen por el tipo de resultado que se pretendía obtener. Éste era un resultado doble:

- obtención de una rutina de cálculo que permita la comprobación de una sección resistente de acuerdo con los diferentes criterios que han sido anteriormente expuestos

- generación de salidas gráficas que pongan de manifiesto las diferencias entre los distintos criterios de comprobación de las secciones de fábrica.

El primero de los objetivos forzó al desarrollo de unas rutinas de cálculo en un lenguaje de programación. Se optó por el Basic -Quick y Visual- porque pareció idóneo para este cometido.

El segundo de los objetivos obligaba a la obtención de una salida gráfica. Como solución se ha dotado a las rutinas de Basic desarrolladas de salidas tipo Script, directamente legible por el programa AutoCAD, Estas rutinas generan la información estructurada en diferentes capas, de tal forma que la revisión y comparación de los resultados se realiza de forma directa e inmediata desde el programa AutoCAD sin otra dificultad que seleccionar y activar las capas adecuadas.

Se ha incluido toda la información referente a un tipo de cálculo dentro de una misma capa, dando a la capa un nombre descriptivo de su contenido para poder conocer en todo momento la información que se están comparando. El criterio de nomenclatura seguido está formado por dos campos, de los que el primero de ellos describe de forma abreviada el criterio de validación empleado -Sección Eficaz, Sección Eficaz Aproximada, Eurocódigo, Parabólico...- y el segundo informa sobre la excentricidad unitaria considerada -el valor absoluto de la excentricidad e2 para los gráficos de la primera serie; la relación entre las excentricidades actuantes precedida de la letra P para los de la segunda-.

En cuanto al análisis desarrollado, es del tipo conocido como análisis en variables separadas: se parte de la modificación de una variable mientras se mantienen constantes todas las demás. Posteriormente se ha tenido en cuenta la variación simultánea de dos variables en prevención de interacciones recíprocas, análisis resuelto mediante la creación de bucles anidados para la modificación de cada variable.

σ N A M₁ W₁ M₂ W₂ # σd σ_c N A M₁ W₁ M₂

W₂ # σd (Limitación por compresión)

σ_t N

A

M₁ W₁

M₂

W₂ $ σd (Limitación por tracción)

3. DESARROLLO ANALÍTICO

Para dotar al estudio de la mayor amplitud posible se ha desarrollado una construcción adimensional.

Toda situación que implique la aparición de un esfuerzo axil deviene en la práctica en una situación de compresión compuesta, flexocompresión, flexotracción o tracción compuesta -debido al tipo de axil actuante, tracción o compresión, y a la relación entre su magnitud y la del esfuerzo flector actuante- debido a las excentricidades en la aplicación de este esfuerzo con respecto al centro de gravedad de la sección. Dichas excentricidades pueden ser debidas a múltiples causas como la aplicación excéntrica del axil, la actuación de esfuerzos horizontales, la aparición de eventuales imperfecciones en la ejecución y también a variaciones locales del módulo de elasticidad del material (anisotropía) que signifiquen variaciones de la posición del c.d.g. de la sección a lo largo de la directriz de la pieza.

Dentro del ámbito elástico, las excentricidades en la aplicación de la carga conducen a la conocidísima condición de agotamiento de una sección:

donde obviamente, para un material homogéneo, isótropo, elástico y homorresistente, la tensión sobre la sección (tracción o compresión) que resulte determinante será del mismo signo que el esfuerzo axil aplicado.

Si reducimos el estudio a la aplicación de esfuerzos axiles de compresión -a los que se les asignará el signo '+' de acuerdo con el criterio de la norma NBE-FL-90, Muros Resistentes de Fábrica de Ladrillo-, las dos condiciones que engloba la fórmula anterior se reescriben como:

La primera resulta decisiva para la comprobación de la sección. Empero, si el material no presenta un comportamiento isorresistente, esto es, si presenta un comportamiento resistente diferente dependiendo de que las tensiones sean de tracción o de compresión, ambas condiciones deben ser verificadas al unísono. En el conocido caso de un material que presentan una manifiesta incapacidad de resistencia a tracción, las condiciones para su dimensionado se enunciarán diciendo que el esfuerzo de compresión no supere el valor de la resistencia del material a compresión -1ª condición- y que no aparezcan

σ_c N

A

M₁ W₁

M₂

W₂ # σd (Limitación por compresión)

σ_t N

A

M₁ W₁

M₂

W₂ $ 0,1.σd (Limitación por tracción)

σ_c N

A (1 6.λ1 6.λ2) # σ

σ_t N

A (1 6.λ1 6.λ2) # 0,10.σd

tensiones de tracción sobre la sección -lo que equivale a exigir que la segunda condición no supere el valor de 0-. Tradicionalmente esta condición se expresaba imponiendo la condición de que el axil estuviese contenido dentro del núcleo central de la sección, lo que asegura su cumplimiento en el campo elástico.

Como ya se ha señalado anteriomente, dentro del apartado de Flexión, la norma NBE-FL-90, Muros Resistentes de Fábrica de Ladrillo admite para las fábricas -con ciertas condiciones, como son la justificación explícita y la toma de precauciones que permitan garantizar esta resistencia a tracción- un valor de tracción igual a 0,10.σd, lo que lleva a las condiciones de resistencia elástica de la pieza siguientes:

condiciones que

establecen una doble limitación simultánea para los valores admisibles de los esfuerzos en la sección. Es sabido que los momentos flectores actuantes se pueden expresar en función de las excentricidades como:

M₁ N_@e₁ M₂ N_@e₂

al tiempo que e1 y e2 se pueden expresar como un cierto porcentaje del espesor del elemento y de su ancho respectivamente, esto es:

e₁ t.λ₁ e₂ b.λ₂

donde λ1 y λ2 las denominaremos excentricidades relativas en función del espesor y de la base del

elemento considerado. Para una sección rectangular de dimensiones bxt las condiciones anteriores se transforman en:

Si se considera que NRd A@σd o que NRe A@σe -de acuerdo con que se haya introducido o no la

seguridad- las curvas que definen el axil máximo que la sección es capaz de soportar en fase elástica para una cierta pareja de excentricidades vienen definidas por las ecuaciones

N

N_Re (1 6.λ1 6.λ2) 1 N

N_Re (1 6.λ1 6.λ2) 0,10

Expresiones que permiten su tratamiento de forma adimensional, exclusivamente en función de los porcentajes que la excentricidad en la aplicación del axil represente dependiendo del ancho de la pieza y de su espesor.

Sin embargo, para poder comparar las situaciones derivadas del cálculo elástico con la aplicación del criterio de la Sección Eficaz -situación de plastificación como se ha demostrado anteriormente- es preciso realizar una nueva hipótesis.

En situación plástica el axil de agotamiento corresponde a la expresión NRp A@σp , dado que el diagrama adoptado supone una rama horizontal para el período de fluencia y por lo tanto σp σu

Es corriente en los tratados de cálculo plástico admitir que NRe NRp , lo que equivale a considerar que

el incremento se aplica como un incremento del coeficiente de seguridad en fase plástica.

σ_p

σ_e

En estas condiciones, la expresión del criterio resistente de la sección eficaz admite una expresión análoga a las obtenidas anteriormente para la fase elástica.

Supongamos primeramente que se está analizando una situación de un muro, en el que obviamente la excentricidad en el sentido de la base, e2 es nula (e2= 0 ). En estas condiciones las expresiones de la situación elástica resultan ser:

y

σ_c Nd

A (1 6.λ1) # σd σt N_d

A (1 6.λ1) # 0,10.σd

Tras las consideraciones anteriores, la condición de seguridad de la Sección Eficaz se escribe como:

σ_c Nd

λ₁< 1 8 (e1< h 8) NR N. 1 14.λ₁ λ_1$ 1 8 (e1$ h 8) NR N 8 9 (12.λ1) Sección Eficaz que se puede expresar como:

B 2b (t

2e1) b@t (12λ1) A (12λ1) con lo que resulta:

σ_c Nd

A

1

12λ₁ # σd o retomando el planteamiento anterior:

N N_R .

1

12λ₁ 1

Familia de ecuaciones que nos permite obtener el porcentaje de axil que es admisible en función de la excentricidad actuante. Nótese que, como normalmente se tratará de determinar aquellos axiles que agotan la sección, el cociente N

N_R 1

con lo cual las familias de curvas expuestas son totalmente adimensionales y función exclusiva del porcentaje de espesor que corresponde a la excentricidad del axil.

De forma similar se procede para el diagrama parabólico anteriormente referido, pero en este caso la gráfica no es continua, sino que se obtienen dos ramas función de la excentricidad:

expresión que es 1/9 inferior a la correspondiente a la Sección Eficaz

Esta situación se ha desarrollado de forma informática -la rutina se incluye en el apartado correspondiente del Anexo- y permite generar el gráfico adimensional e1 - N de la [Figura III.11], que presenta una asíntota horizontal. En este gráfico se representan los criterios de resistencia correspondientes a la Sección Eficaz, los criterios elásticos que introduce NBE-FL-90, el criterio de respuesta elástica y lineal triangular -desprecia la parte traccionada de la sección,- así como el criterio del diagrama parabólico. En todos los casos se reflejan los correspondientes límites contemplados por las referencias de las cuales han sido tomados los criterios.

Figura III.10

Los Diagramas e-N son un aporte de este autor [Freire Tellado, 1.997] que permiten evaluar de forma sencilla la capacidad resistente de una sección. Se han desarrollado a partir del concepto de diagramas de iteración, - expuestos por ejemplo en [Benito Hernández, 1.975], [Díaz-Munio, 1.996]...-, y, obviamente, a partir de los ábacos que [Montoya, 2.000] propusieron para el Hormigón Armado, pero transformándolos adecuadamente para su empleo en la fábrica.

Se trata de diagramas de doble entrada: en abscisas se representa la Excentricidad Relativa correspondiente al espesor de la pieza mientras que en ordenadas se representa el Axil Relativo correspondiente al axil total que soporta la sección en compresión simple, por lo que obviamente se trata de un diagrama adimensional. La relación entre ambos valores la proporcionan una serie de curvas que se corresponden con el criterio de comprobación de la sección empleado. La [Figura III.11] muestra su trazado.

V A R IA C IÓ N D E C A P A C ID A D P O R TA N T E ( % ) d 1 EXCENTRICIDAD RELATIVA e (%h) 0 0,50 1,00 1,00 0,50 N b.h.

σ

SECCION RECTANGULAR SIN RESISTENCIA A TRACCION