EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

2.18.1 ANTECEDENTES DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

La base de la metodología del análisis estructural matricial, no tomó forma hasta 80 años después de preceder el periodo de 1850 a 1875, pues se tenían los logros de los investigadores Navier y Sn. Venant, los conceptos de análisis de Maxwell, Castigliano y Mohr.

En otras palabras, el progreso en el desarrollo de las teorías y las técnicas de análisis fue particularmente lento en el periodo de 1875 a 1920. Esto se debió, en gran medida, a las limitaciones prácticas para resolver ecuaciones algebraicas con un número considerable de incógnitas.

Se puede notar que fue muy común asumir la distribución de esfuerzos para las estructuras de principal interés en aquel periodo, al tener los valores de las fuerzas como incógnitas.

En 1920, en Estados Unidos y en Dinamarca, debido a los esfuerzos de Maney y Ostenfeld, las ideas básicas de un análisis de estructuras tomaron forma. Esos puntos representan los precursores de los conceptos de análisis matricial de estructuras que se utilizan actualmente. Las limitaciones debidas al tamaño de los problemas podían manejarse teniendo fuerzas y desplazamientos como incógnitas, continuaron hasta 1932, hasta que Hardy Cross introdujo el método de distribución de momentos. Esto hizo factible la solución de problemas de análisis estructural de magnitudes más complejas en comparación con los problemas más sofisticados tratados previamente. El método de distribución de momentos fue la herramienta más empleada por los siguientes 25 años hasta la aparición de las computadoras en 1950. Diferentes publicaciones de la época unieron los conceptos de análisis estructural y análisis continuo dando como resultado los procedimientos de análisis matricial. La tecnología del Método del Elemento Finito ha avanzado en diferentes etapas. Zienkiewicz [2.12] tiene una detallada revisión de ello, motivado por la formulación específica de elementos de esfuerzo plano, y algunos investigadores han

establecido ecuaciones para sólidos, placas, placas delgadas y otras formas estructurales. Desde entonces, se han hecho avances en aplicaciones de propósito lineal, estático, elástico y se ha puesto atención a diferentes fenómenos como respuesta dinámica, la mecánica de fractura y no linealidades geométricas y de los materiales. Estos desarrollos fueron seguidos por un periodo de intenso desarrollo de programas de computadora de propósito general, dedicados a emplear las capacidades del método por el practicante [Zienkiewicz,1987].

2.18.2 METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS POR EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO.

Debido a que en un problema del medio continuo de dimensión n, la variable bajo análisis (Esfuerzo, presión, temperatura, desplazamiento, etc.) tiene una infinidad de valores, porque depende de los puntos que integran el cuerpo de estudio, es decir, es una función de cada uno de los puntos que forman el dominio de estudio, el problema tiene un número infinito de incógnitas. El método del elemento finito discretiza el dominio reduciendo el problema a un número finito de incógnitas, a través de la división del dominio en elementos y expresando al mismo tiempo el campo de incógnitas en términos de funciones aproximadas para cada elemento. Las funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) se definen en términos de los puntos nodales. De acuerdo a esto, el comportamiento del campo de la variable respecto de los elementos viene dado por los valores nodales y las funciones de interpolación para los elementos. Consecuentemente, se pueden calcular los desplazamientos nodales en problemas de esfuerzos, obteniéndose de estos las deformaciones unitarias y con las relaciones constitutivas y, una vez conocidos junto con las propiedades mecánicas del dominio de estudio, se evalúan los esfuerzos. Finalmente, se combinan en la forma requerida por las teorías de falla, para evaluar las condiciones críticas. La exactitud de la solución depende del tamaño, cantidad de elementos usados, y de las funciones de interpolación empleadas; cuidando de no elegirlas arbitrariamente para que puedan cumplirse las condiciones de compatibilidad requeridas, por lo que deben seleccionarse funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean continuas a través de los límites de los elementos adyacentes.

Dado que el método del elemento finito es un procedimiento ordenado, este puede resumirse de la siguiente forma:

¾ Discretización del Dominio. Consiste en dividir el dominio de estudio en elementos. Para esto, puede emplearse una amplia variedad de forma de elementos y si se tiene el suficiente cuidado, se puede utilizar diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no solo son deseables, sino necesarios diferentes tipos de elementos en el mismo dominio. Esto es, le da gran versatilidad al método.

cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un escalar, un vector, o un tensor de orden superior. La magnitud de la variable, así como de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo.

¾ Definición de las propiedades de los elementos. Una vez que ha sido establecido el modelo de elementos finitos, es posible determinar las ecuaciones matriciales que expresan las propiedades de cada uno de ellos. Para realizar esto, se puede emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del elemento finito: La formulación directa, la formulación variacional, la formulación de los pesos residuales, o la formulación del balance de energía. Dependiendo su selección completamente de la naturaleza del problema. La formulación variacional es generalmente la más conveniente para cualquier aplicación.

¾ Ensamble de ecuaciones de los elementos, para obtener el sistema de ecuaciones global. Esto es, se requiere combinar las ecuaciones matriciales expresando el comportamiento del dominio entero, o sistema. Las ecuaciones matriciales para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo elemento, excepto que éstas contienen muchos más términos, porque incluyen a todos los nodos de la red.

La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo para cada elemento que comparte dicho nodo.

¾ Introducción de las condiciones de frontera. Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para su resolución, estas, deben modificarse para introducir las condiciones de frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen término un análisis mediante el método del elemento finito. Debe tomarse en cuenta que la matriz ensamblada es singular y solamente tiende a la solución trivial. Al introducir las condiciones de frontera se obtiene un análisis no singular, y los resultados obtenidos pueden ser incorrectos si no se representan de una forma adecuada las condiciones de frontera que tiene la pieza modelada.

2.18.3 DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE CARGA.

Resolución del sistema de ecuaciones. El proceso de ensamble del paso anterior, establece una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales pueden resolverse para obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es lineal, se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son la eliminación de Gauss, el método de eliminación de Gauss-Seidel, o la descomposición de Cholesky (vea K. H. Huebner y E. A. Thomrnton [2.12]). Por otra parte si las ecuaciones son no-lineales, su solución es más difícil de obtener. También puede emplearse el método de Newton-Raphson, el método de sustituciones sucesivas (vea B. V. Karlekar, R. M. Desmond [2.12]), o algún otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no-lineales. Es decir, la ventaja principal del

método, es la solución de un sistema de ecuaciones lineales, ya que lo que está evitando es la solución de la ecuación diferencial parcial de segundo orden que modela el dominio de estudio.

Cálculos adicionales. En muchas ocasiones deseamos usar la solución de los sistemas de ecuaciones para calcular otros parámetros importantes. Por ejemplo, en un problema de elasticidad, la solución del sistema de ecuaciones da como resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible calcular tanto las deformaciones unitarias, como los esfuerzos principales en los nodos, así como en los centroides de los elementos. De la misma manera es posible evaluar los ángulos principales, así como otras magnitudes que sean de interés para los usuarios del método del elemento finito. En otras palabras, esto determinará los parámetros que el analista utilizará para normar su criterio de análisis.