El método empírico

Todos los individuos que poseen cobertura en salud son susceptibles de ser caracterizados por uno de los cuatro tipos de cobertura mencionados (afiliado obligatorio a cargo de un familiar, afiliado obligatorio titular del seguro, afiliado voluntario a cargo de un familiar o afiliado voluntario titular de la cobertura).

En la Sección 2, punto 2.2, se presentó el argumento de los modelos de índices lineales. Decíamos que, en este contexto, la situación de cobertura que se observa para un individuo es aquella para la cual es más propenso dadas sus características (las propias y las de su familia). El mismo argumento se aplica a la forma de cobertura observada.

Al igual que en la primera parte, se considera que el índice lineal Xβ viene determinado por ciertas características socioeconómicas del individuo y de su hogar. Designemos por Y a una variable aleatoria que indica el tipo de seguro observado, donde

Y=1, 2, 3 o 4 representa a OAC, OT, VAC y VT, respectivamente. Según el modelo

logístico multinomial, las probabilidades para estas cuatro formas de cobertura vienen dadas por: Prob(Yi=j|Xi)= e e X X k i j i k β β =

∑

Así especificado, este modelo presenta una indeterminación en el sentido de que hay más de un posible valor de los βjcon j=1, 2, 3, 4 que genera la misma distribución de

probabilidades para Y.19 Para eliminar esta indeterminación se fija arbitrariamente β1=0.20

Las probabilidades resultantes después de esta normalización son:

Prob(Yi=j|Xi)= e e X X k i j i k β β 1 2 4 + =

∑

∑

Al fijar arbitrariamente β1en cero, OAC, o el estado 1, se constituye en la categoría

base. La única consecuencia que tiene esto es condicionar la forma en que deben interpretarse los coeficientes estimados para los otros tipos de cobertura. Así, el índice lineal Xiβj mide cuánto más propenso es el individuo i a tener el seguro j que un seguro

OAC. Por su parte βjk es el efecto marginal de la característica xk sobre el índice lineal. Pero

debido a la no linealidad de las probabilidades en los coeficientes β, éstos no pueden interpretarse como los efectos marginales de las distintas variables sobre las probabilidades. Además, a causa de que hay múltiples ecuaciones (una para cada tipo de cobertura, excepto la categoría base), tampoco es posible hacer inferencias en base al signo de los coeficientes. Por ejemplo, supongamos que una de las variables independientes de nuestro modelo toma solamente los valores 0 y 1, y que estamos interesados en evaluar el efecto de esta variable sobre la probabilidad de cada una de las posibles formas de cobertura. Para ser más explícitos, consideremos la variable sexo, que toma el valor uno para los hombres y cero para las mujeres. Supongamos que el coeficiente de esta variable para la segunda categoría, OT, es positivo. Lo que uno tendería a pensar es que los hombres tienen una mayor probabilidad de ser OT. Si bien generalmente este será el caso, podría darse que el coeficiente de la variable sexo para otra categoría sea aún mayor, haciendo que la probabilidad de ser OT caiga en relación a la de esa otra categoría para los hombres. Esto no sucede en los modelos de elección binaria como el analizado en la primera parte. Cuando hay solamente dos posibilidades, un aumento en la probabilidad de una se corresponde con una disminución idéntica en la probabilidad de la otra, por lo que el signo

19 _{Notar que si β}

j*=βj+λ, para cualquier vector λ, βj* y βj dan lugar a las mismas probabilidades para cada

uno de los cuatro posibles valores de Y. Esto se debe a que todos los términos que incluyen λ se cancelan.

20 _{Con esta restricción, si β}

de los coeficientes indica en qué dirección se mueven las probabilidades de elegir una u otra alternativa. Cuando las alternativas son múltiples, el signo sólo puede ser interpretado en relación a la categoría base. Que ser hombre aumente la probabilidad de elegir OT respecto de la categoría base no implica que la probabilidad de otra categoría no aumente aún más. Esto se da porque mientras en el numerador de la expresión para la probabilidad de ser OT aparecen sólo los coeficientes estimados para esa categoría, en el denominador intervienen los de todos los estados.

Para facilitar la interpretación de las estimaciones, el modelo logístico multinomial puede expresarse en términos de relative odds ratios (ROR).

Simplifiquemos la notación de la siguiente forma:

Pj = Prob(Yi=j|Xi) para j=1, 2, 3 y 4

Luego,

Pj / Pn = exp(Xiβj) / exp(Xiβn) = exp[Xi(βj-βn)]

donde Xiy βson vectores de (1xS) y (Sx1), respectivamente.En particular, y ya que β1=0.

Pj / P1 = exp(Xiβj) / exp(Xiβ1) = exp[Xi(βj-β1)] = exp(Xiβj)

Consideremos un cambio en una unidad de la variable xk. Denotemos como Pj’ a la

probabilidad del estado j dado el vector Xi’ = Xi + ϕ, donde ϕ es un vector de las mismas

dimensiones que Xicon un uno el la k-ésima posición y todos los demás elementos iguales

a cero. Es decir,

Pj’ = Prob(Yi=j|Xi’) para j=1, 2, 3 y 4 y Xi’ = Xi + ϕ

Así,

Pj’ / P1’= exp(Xi’βj) / exp(Xi’β1) = exp[Xi’(βj-β1)] = exp(Xi’βj)

Finalmente, tenemos que:

(Pj’ / P1’ )/ (Pj / P1)=exp(Xi’βj) / exp(Xiβj) = exp[(Xi’-Xi)βj] = exp(ϕβj)= exp(βjk)

donde βjk es el coeficiente estimado para el estado j de la variable xk.

La última expresión es el relative odds ratio o ROR para el estado j y un cambio de una unidad en la variable xk. Claramente estos cocientes son siempre positivos. Cuando βjk

xk reduce la probabilidad de tener el tipo de seguro j en relación al tipo OAC. A un βjk

positivo le corresponde un ROR mayor que uno. Por ejemplo, si βjk=0.7, el ROR

correspondiente es de 2.01, indicando que cuando xk aumenta en una unidad se duplica la

relación entre las probabilidades del seguro j y el 1