Análisis de Probabilidad de falla en secciones de elementos
3.5. Método del factor de seguridad parcial
El concepto de estado límite se relaciona a un requisito especificado, que se define como un estado de la estructura que incluye sus cargas en las que, la estructura está justamente en el punto de no satisfacer el requisito. A menudo este último requisito se formula verbalmente. Sin embargo, normalmente el requisito se interpreta y se formula dentro de un modelo matemático, para las propiedades geométricas y mecánicas de la estructura y para las acciones en la estructura, proponemos x1,x2,...,xn., ser esas
variables que contribuyen independientemente a esa parte del modelo matemático que involucra geometría, propiedades de fuerza y acciones. Estas variables son libres en el sentido que, puede escogerse sus valores libremente e independientemente dentro de un subconjunto Rn de un campo espacial n-dimensional. Siendo, este un subconjunto de
una función o las variables n que se encuentran en el dominio de definición del modelo. Por lo que, a cada opción de valores en la estructura idealizada o definida singularmente, le corresponden cargas singularmente definidas. Así, esta estructura con sus cargas es solo una idealización matemática que satisface o no, a un estado límite, propuesto como requisito. Además, posiblemente “t” no puede comprenderse en absoluto como un objeto físico, por ejemplo, porque la carga excede la capacidad última de la estructura.
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Sí idealizamos una estructura muy simple que consiste en una soga arreglada a un gancho soportando una carga, y se supone el gancho más fuerte que la soga, estamos idealizando un problema de confiabilidad, que corresponde al requisito de que la soga soporte la carga.
Este problema puede formularse en términos de dos variables libres, la fuerza tensor “r” de la soga y el peso “s” de la carga. Ambas cantidades son positivas por definición. Así el dominio de definición del modelo es el subconjunto Rn+ de R2. Claramente, esta
estructura de la soga con su carga no puede comprenderse como un objeto físico si “r” y “s” son escogidos tal que r<s. No obstante permitimos R2+ ser el dominio de definición,
para la estructura considerada como un objeto matemático. Si el modelo matemático está extendido por una variable geométrica “a”, definida como el área de corte transversal de la soga, podemos calcular la tensión en la soga como s/a, independientemente del valor de “r”. Es más, si el modelo está extendido por la ley de Hooke y con una longitud “l” de la soga podemos calcular el desplazamiento resultante de la carga, cuando su peso “s” es transferido gradualmente a la soga, bajo el supuesto de que el gancho “s” esta completamente rígido. El desplazamiento se vuelve ls/(aE) donde “E” es el coeficiente de elasticidad, con base a la "ley" de Hooke que expresa: “el alargamiento proporcional relativo a la tensión en la soga”.
Un análisis de confiabilidad considerando el requisito simultáneo, de que la soga debe resistir la carga y que el desplazamiento será más grande que el dado, por un valor “δ”, se formula en términos de las cinco variables a,l,E,r,s., que por definición todas son positivas. Así, el dominio por definición del modelo extendido es R5+. Aquí asumimos
que el problema de confiabilidad puede formularse en términos de un número finito de variables x1,...xn, en el que existirán problemas pertinentes a la confiabilidad donde
esta formulación requiere el uso de una infinidad conveniente de variables o funciones, en particular cuando sea el caso de las resistencias con propiedades de variaciones aleatorias temporales y acciones espaciales pertinentes.
Un requisito del estado límite, es dividir el dominio de definición del modelo en dos conjuntos, el conjunto de seguridad y el de falla. El límite del primero, qué por supuesto,
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también es el límite del conjunto de falla, se llama estado límite. Por otra parte este modelo es considerado dentro del estado límite de una estructura suficientemente simple y es representada como el conjunto de puntos ceros, para una pequeña parte de una función diferenciable g(x1,...xn)., qué se define por todas partes, del dominio de
definición del modelo y toma valores positivos en el interior del conjunto de seguridad y valores negativos en el interior del conjunto de falla. Es más, si el conjunto de seguridad simplemente se conecta, nosotros decimos que el estado límite es regular. Así, el estado límite se da como el conjunto de valores de las variables de entrada (x1,...xn)
para que:
g(x1,...,xn)=0 (3.5.1) Se da énfasis a que la opción de “g” no es única. Por ejemplo, los g3 de la función
pueden usarse en lugar de “g” en (3.5.1). Por lo tanto, las partes del estado límite que pertenecen al conjunto de falla o seguridad, pueden escogerse según sea el caso, en un problema dado. Además, pueden ser considerados o clasificados en dos categorías principales como son los estados límite de derrumbamiento (estados límite de carga última) y los estados límite de servicio. Así, un estado límite de derrumbamiento normalmente representa una situación donde la estructura esta justo en el punto de colapsar en su totalidad, esto es, pasar a un estado irreversible, que puede tener una naturaleza catastrófica y de que la estructura sólo se recupere, por reparación o reconstrucción total. Un estado límite de serviciabilidad corresponde al límite entre un estado aceptable y un estado no aceptable bajo el uso normal o común. Un estado semejante es a menudo reversible con respecto al daño directo de la estructura en el sentido de que la estructura este sometida a cargas por abajo del limite de seguridad. Sin embargo, pasando a un estado de límite de serviciabilidad también puede causar daño permanente a la estructura, como formación de articulaciones u otros daños visibles. Generalmente, este daño no levantará un problema de confiabilidad de la categoría de estado límite de derrumbamiento, en que la estructura está sujeta al mantenimiento general.
En otro caso, el estado límite de derrumbamiento para la soga estará dado por la función
s r s)
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Así, el estado limite de derrumbamiento es: r = s, y la falla, puesto por r < s y el conjunto de seguridad puesto por r > s, ver Fig.3.5.1.
Fíg.17. Dominio de definición y estado límite de falla de un modelo de análisis de confiabilidad, para una soga que soporta una carga.
El requisito del desplazamiento, debido a la carga es un valor “b” que se encuentra en la categoría de un estado de límite de serviciabilidad. Y la función “g” puede ser escogida como:
g(a,l,E,r,s)=δaE−ls (3.5.3)
Así, la serviciabilidad del estado límite está en función de δaE=ls, y la falla, dado por δaE<ls y el conjunto de seguridad puesto por δaE≥ ls.
En el análisis de confiabilidad, las dos categorías de estado límite, serán consideradas separadamente. Y la situación será diferente, cuando dos o más estados límite de derrumbamiento pueden ser de importancia.
En este caso asumimos que la capacidad del gancho es mucho más grande que la capacidad de la soga. Si esté supuesto no puede mantenerse, debemos presentar otra alternativa dada por la variable rk, con propiedades temporales, para la capacidad del
gancho, y rt, es la capacidad de la soga.
Entonces tenemos un estado límite de derrumbamiento compuesto, que puede definirse como los puntos ceros de la función
g(rk,rt,s)=min
{
rk,rt}
s (3.5.4) S S Estado de falla r≤s Estado de limite r=s R2+ Estado de seguridad: r>s r r
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El conjunto de seguridad es la intersección de los dos conjuntos dados por
s r y s rk > t > 1
1 ., mientras que el conjunto de fracaso es la unión de los dos conjuntos
dados por rk ≤ s
1 ., y rt1 ≤ s. El estado límite dado por el min{rk, rt}=s, ver Fig. 3.5.2.
Fig. 18. Estado límite de derrumbamiento compuesto para una soga atada a un gancho y soportando una carga.
Bajo las condiciones de diferenciabilidad especificadas, para la función “g” y para n=3, la ecuación (3.5.1) define una elemento diferencial pequeño de superficie. Y el estado límite se denota por consiguiente, como la superficie del estado límite o el conjunto de falla. Por lo tanto, para razones prácticas estas terminologías se usan para cualquier n. Típicamente el problema de la diferenciabilidad, entra en situaciones como en la ecuación (3.5.4), donde físicamente las posibilidades pertinentes son diferentes.
Entre los problemas de estado límite con conjuntos de seguridad convexos, son utilizados generalmente en la práctica.
Por definición un conjunto convexo con la propiedad de que todos los puntos de la línea recta que une cualquiera de dos puntos del conjunto, están en el mismo. En otras palabras, si dos estructuras de un tipo dado son representadas por puntos dentro de un conjunto de seguridad convexo, entonces cualquier estructura diseñada por interpolación lineal entre las dos estructuras también es una estructura segura.
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En particular los problemas de estado límite convexos están preparados para la aplicación del método determinístico conocido como el método del factor de seguridad parcial o el método del coeficiente parcial.
En la actualidad, este método se ha autorizado en los códigos dinamarqueses, así como en los códigos de muchos países. El código europeo actual, también esta basado en el método de factor de seguridad parcial, para un nivel de seguridad autorizado.