Método de las matrices operacionales

Este es un método reciente que permite calcular las corrientes de inserción evitando ciertos problemas que surgen al realizar simulaciones para poder estimar esta corriente. Estas simulaciones dan errores elevados si comparamos las medidas que salen en dichas simulaciones con los que sale en el transformador real. La técnica de las matrices operacionales pretende soluciones estos problemas en las simulaciones basadas en emplear el dominio del tiempo. Este método propone a la corriente de inserción como parte de un fenómeno transitorio que se repite periódicamente en el tiempo en un periodo 2l. Esto último se ve representado en la Figura 7.21.

Figura 7.21. Corriente de inserción periódica en el tiempo [14]

Este método está basado en la transformada de Hartley. Esta serie matemática puede aproximar una función de periodo 2l mediante una función llamada función de Hartley. Esta transformada tiene mucha relación con la transformada de Fourier y para una función periódica tiene la siguiente expresión:

Siendo cas(nω0t) una simplificación de la suma de la función seno y función coseno,

que también se puede escribir de diferentes formas:

( 7.103)

√ ( 7.104)

√ ( 7.105)

ω0 es la pulsación teniendo en cuanta que el periodo vale 2l. De esta forma ω0=π/l.

Kn es una constante que tiene un parecido con el valor medio de una función.

Si la serie de Hartley la ponemos de manera matricial diríamos:

( 7.106)

Siendo f(t) el producto de una matriz fila (K) por una matriz columna (T(t)):

( 7.107)

( 7.108)

El valor de la constante K para cualquier n viene dado por:

∫

( 7.109)

Esta función cas tiene una serie de propiedades. Entre las más destacadas está la que dice que podemos ponerla en función de números complejos:

( 7.110)

Otra propiedad importante es la derivada de la función cas, que es muy sencilla a la par que útil:

( 7.111)

Ahora si nosotros cogemos la función T(t), al ser una matriz, si nosotros integramos esta función podremos encontrar una matriz tal que multiplicada por el resultado de la integral salga ella misma. La llamaremos P y se definiría tal que así:

∫ ( 7.112)

Ahora debemos de encontrar el valor de P. Para ello buscamos expresiones que relacionen la integral de T(t) para poder sacar algo en común según los valores de n (no debe olvidarse que la función T cambia para los diferentes valores de n). Si

∫ ∫ ( 7.113)

Para generalizar a todo n aprovechamos la propiedad de la derivada reflejada en la ecuación 7.111 y decimos: ∫ ∫ ( ) ( ( )) ( 7.114)

Si aproximamos esto a una nueva serie de Hartley nos quedaría, empleando el término en n=0:

∑

( 7.115)

Pero el coeficiente Kn cambia con relación a los visto anteriormente. Para el término

n=0: { ( 7.116) Para n≠0 el término Kn: { ( 7.117) Resumiendo, para n=0: ∫ ( ) ( 7.118)

En el término n’=0 se supone periodo 2π=2l, por tanto l=π. Para las funciones cas se resume:

∫ ( ) ( 7.119)

Para resumir la integral de cas(-t) nos valemos de la propiedad de la integral de esta función:

∫ ( ) ( 7.120)

Con lo cual ahora podemos integrar f(t) y, como se relaciona con T(t), ya tendremos el resultado de su integral:

∫ ∫ ( 7.121)

Para simplificar para más adelante llamaremos U a la matriz que sale del producto de la matriz K de constantes con la matriz P. Esta matriz viene a representar el coeficiente K que acompañaría a la serie de Hartley de la integral:

( 7.122)

Ahora damos un vuelco y en vez de relacionar la integral, vamos a relacionar el producto de g(t) por f(t):

( 7.123)

Y ahora vamos a relacionarlo con la matriz T(t) original y decimos lo mismo que antes. Suponemos una matriz Y tal que multiplicada por T(t) nos dará v(t):

( 7.124)

Sustituimos:

( 7.125)

Ahora recordamos que no se puede aplicar la propiedad conmutativa en las matrices, al igual que los números reales. El producto de una matriz fila y una matriz columna sí es conmutativo, pero no como la lógica dictaría, sino trasponiéndolas. Sea una matriz F, fila, y C, matriz columna. Se cumple:

( 7.127)

El producto de la matriz T por su traspuesta se puede considerar como una nueva matriz T’(t). Si los sustituimos:

( 7.128)

La matriz T’(t) tendrá, obviamente, la siguiente estructura:

Pero, todavía no hemos puesto el resultado de v(t) en función de la matriz simple T(t), sino que lo hemos dejado en función de la matriz T’(t) y Kt. Si este producto lo

definiéramos en función de T(t) multiplicado por otra matriz C, que no sería columna, podríamos tener un resultado. Con lo cual se define una matriz C de coeficientes tal que:

( 7.129)

Se demuestra que C debe de ser la mitad de la suma de 2 matrices F y G. La primera sería una matriz simétrica cuya diagonal principal es el doble del valor de la constante K en n=0. La segunda sería una matriz simétrica respecto a la diagonal secundaria, que sería 0 para todos sus valores:

Con lo cual, nos queda:

( 7.130)

Con lo cual, como hicimos anteriormente con la matriz U, podemos sacar una matriz Y tal que multiplicada por T(t) dé el producto de las funciones g(t) y f(t):

( 7.131)

Sabiendo ya este análisis hemos sacado unas cuantas matrices operacionales. Ahora toca ver cómo podemos aplicar esto al cálculo de las corrientes de inserción de un transformador monofásico. Para lo cual debemos suponer el circuito equivalente del transformador del epígrafe 3.4.1 y considerar la tensión inducida debida al propio transformador. Para mayor precisión la rama en paralelo estará en el final del circuito, al contrario que en la Figura 3.7. Por la rama serie va a circular una corriente iinr(t). Es

importante saber que la atenuación de las corrientes de inserción no se va a ver

afectadas por las pérdidas por corrientes parásitas ni por histéresis y que no va a haber discretización de las laminaciones, es decir, no se va a considerar el aire existente entre ellas:

Figura 7.22. Circuito a analizar

Aplicando la teoría de circuitos a este circuito, poniendo que la tensión de la bobina Lcc

es el coeficiente de inducción por la variación de corriente (como en la ecuación 2.4) y que por Rc pasa una corriente que es la resta de iinr(t) menos iψ(t) la ecuación del

circuito quedaría:

( 7.132)

También debemos de tener en cuenta la tensión que induce el propio transformador:

( 7.133)

Para poder aplicar este método debemos integrar desde 0 hasta un tiempo t en la ecuaciones 7.132 y 7.133 y restarle su valor en t=0 para poder aplicar el desarrollo que

∫

∫ ∫

∫

( 7.134)

∫ ( 7.135)

Estas integrales podemos sustituirlas por la matriz P y poner todo como matrices:

( ) ( 7.136)

( 7.137)

Donde la matriz Vs es una matriz fila compuesta por Vs=[… 0 K-1 0 K1 0 …] y las

condiciones iniciales solo tienen sus componentes de corriente continua diferentes de 0. Ahora debemos despejar la corriente de inserción Iinr y el flujo. Para ello debemos

nombrar 4 nuevas variables: dos impedancias y dos tensiones. Las impedancias matrices tienen como objetivo pasar los números reales de las impedancias en matrices multiplicándolas por la matriz identidad I o la matriz inversa de P, según convenga:

( 7.138)

( 7.139)

Las matrices de las tensiones son empleadas para simplificar y valen:

( 7.140)

( 7.141)

Con lo cual ahora despejando matricialmente la Iinr y el flujo:

( 7.142)

( 7.143)