Probabilidad Introducción
2.2 Métodos de conteo*
Cuando se calculan probabilidades, algunas veces se necesita determinar el número de resul- tados en un espacio muestral. En esta sección se describirán diversos métodos con ese pro- pósito. La regla básica, que se conoce como principio fundamental de conteo, se presenta por medio del ejemplo 2.9.
Cierto tipo de automóvil se encuentra disponible en tres colores: rojo, azul o verde, y puede tener un motor grande o pequeño. ¿De cuántas maneras puede un comprador elegir un auto- móvil?
Solución
Hay tres opciones de color y dos opciones de motor. Una lista completa de las opciones se muestra en la siguiente tabla de 3 ×2. El número total de opciones es (3)(2) 6.
Rojo Azul Verde
Grande Rojo, grande Azul, grande Verde, grande Pequeño Rojo, pequeño Azul, pequeño Verde, pequeño
* Esta sección es opcional.
P (A∪B)=0 P (A∩B)=0 P (A∪B)=P (A∩B) P (A∪B)=P (A)+P (B)
2.9
Ejemplo
Al generalizar el ejemplo 2.9, si hay n1elecciones de color y n2elecciones de motor, una lista completa de elecciones se puede escribir como una tabla n1× n2, por lo que el nú- mero total de elecciones es n1n2.
Este razonamiento del principio fundamental del conteo de estados se puede ampliar para cualquier número de operaciones.
Cuando se hace un pedido de cierto tipo de computadora, hay tres elecciones de disco duro, cuatro de la cantidad de memoria, dos de la tarjeta de video y tres de monitor. ¿En cuántas maneras se puede solicitar una computadora?
Solución
El número total es (3)(4)(2)(3) 72. Permutaciones
Una permutación constituye un ordenamiento de un conjunto de elementos. Por ejemplo, hay seis permutaciones de las letras A, B, C: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Con solamen- te tres elementos, es fácil determinar el número de permutaciones, sólo con hacer una lista de todas ellas. Pero con un gran número de elementos esto último no sería factible. El principio fundamental del conteo se puede usar para determinar el número de permutaciones de cual- quier conjunto de elementos. Por ejemplo, se puede determinar el número de permutaciones de un conjunto de tres elementos de la siguiente manera. Hay tres elecciones para colocar el primer elemento. Después de que se hace la elección, hay dos elecciones restantes para el ele- mento del segundo lugar. Entonces queda una elección para el elemento del último lugar. Por tanto, el número total de maneras de ordenar tres objetos es (3)(2)(1) 6. Este razonamien- to se puede generalizar. El número de permutaciones de un conjunto de nelementos es
Éste es el producto de los enteros del 1 al n. Este producto se puede escribir con el símbolo n!, que se lee “nfactorial”.
n(n−1)(n−2)· · ·(3)(2)(1)
Si una operación se puede realizar en n1maneras y si para cada una de esas maneras
se puede realizar una segunda operación en n2 maneras, entonces el número total de
maneras en que se realizan las dos operaciones es n1n2.
El principio fundamental del conteo
Suponga que se pueden realizar koperaciones. Si hay n1maneras de realizar la pri-
mera operación y si para cada una de esas maneras hay n2maneras de realizar la se-
gunda operación y si para cada una de esas elecciones de esas maneras de realizar las dos primeras operaciones hay n3 maneras de realizar la tercera operación y así suce-
sivamente, entonces el número total de maneras de realizar la secuencia de las kope- raciones es n1n2. . . nk.
2.10
Cinco personas están en la hilera de un cine. ¿En cuántas maneras diferentes se pueden or- denar?
Solución
El número de permutaciones de un conjunto de cinco personas es 5! (5)(4)(3)(2)(1) 120. A veces se está interesado en contar el número de permutaciones de los subconjuntos de cierto tamaño elegidos de un conjunto más grande. Lo anterior se muestra en el ejemplo 2.12.
Cinco salvavidas están disponibles para la guardia de un sábado por la tarde. Hay tres esta- ciones salvavidas. ¿De cuántas maneras se pueden elegir y organizar los tres salvavidas entre las estaciones?
Solución
Se usa el principio fundamental del conteo. Hay cinco maneras de elegir a un salvavidas para que ocupe la primera estación, luego cuatro de elegir a un salvavidas para que ocupe la segun- da estación y por último tres para elegir un salvavidas que ocupe la tercera estación. El núme- ro total de permutaciones de los tres salvavidas elegidos entre los cinco es (5)(4)(3) 60.
El razonamiento usado para resolver el ejemplo 2.12 se puede generalizar. El número de permutaciones de kobjetos elegidos de un grupo de nobjetos es
Esta expresión se puede simplificar utilizando la notación factorial:
(n)(n−1)· · ·(n−k+1)= n(n−1)· · ·(n−k+1)(n−k)(n−k−1)· · ·(3)(2)(1) (n−k)(n−k−1)· · ·(3)(2)(1) = n! (n−k)! (n)(n−1)· · ·(n−k+1)
Definición
Para cualquier entero positivo n,n! n(n l)(n 2) . . . (3)(2)(1). También se define a 0! 1.
El número de permutaciones de nobjetos es n!
2.11
Ejemplo
2.12
Combinaciones
En algunos casos, cuando se elige un conjunto de elementos de un conjunto más grande, no se tiene en cuenta el orden de los elementos elegidos; sólo se consideran los elementos que se eligen. Por ejemplo, puede que no importe qué salvavidas ocupe cada estación; puede que só- lo sea importante la elección de tres salvavidas. A cada grupo distinto de elementos que se puede seleccionar, sin importar el orden, se le llama combinación. A continuación se mostra- rá cómo determinar el número de combinaciones de kelementos elegidos de un conjunto de
nobjetos. Se mostrará el razonamiento con el resultado del ejemplo 2.12. En ese ejemplo se mostró que hay 60 permutaciones de tres elementos elegidos entre cinco. Al denotar a los ele- mentos por A, B, C, D, E, en la figura 2.3 se presenta una lista de las 60 permutaciones.
FIGURA 2.3Las 60 permutaciones de tres elementos elegidos entre cinco.
Las 60 permutaciones de la figura 2.3 están ordenadas en diez columnas de seis permu- taciones cada una. Dentro de cada columna, los tres elementos son los mismos y la columna contiene las seis permutaciones diferentes de esos tres elementos. Por tanto, cada columna re- presenta una combinación distinta de tres elementos elegidos entre cinco y hay diez combi- naciones de ese tipo. Por tanto, la figura 2.3 muestra que el número de combinaciones de tres elementos elegido entre cinco se puede encontrar al dividir el número de permutaciones de los tres elementos elegidos, o sea 5!/(5 3)!, por el número de permutaciones de los tres elementos, que es 3! En resumen, el número de combinaciones de los tres elementos elegi- dos es
Con frecuencia el número de combinaciones de kelementos elegidos de nse denota por el símbolo El razonamiento utilizado para deducir el número de combinaciones de los
tres elementos elegidos se puede generalizar para deducir una expresión para
ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ACB ADB AEB ADC AEC AED BDC BEC BED CED BAC BAD BAE CAD CAE DAE CBD CBE DBE DCE BCA BDA BEA CDA CEA DEA CDB CEB DEB DEC CAB DAB EAB DAC EAC EAD DBC EBC EBD ECD CBA DBA EBA DCA ECA EDA DCB ECB EDB EDC
5! 3!(5−3)!.
Resumen
El número de permutaciones de kobjetos elegidos de un grupo de nelementos es
n! (n−k)!. n k . n k .
A cierto evento asisten 30 personas y se elegirá aleatoriamente a cinco para recibir premios. Estos últimos son iguales, así que el orden en que se elige a las personas no es importante. ¿Cuántos grupos diferentes de cinco personas se puede elegir?
Solución
En virtud de que el orden de las cinco personas elegidas no es importante, se tiene que calcu- lar el número de combinaciones de cinco elegidas entre 30. Esto es
Elegir una combinación de kelementos de un conjunto de ndivide a los nelementos en dos subconjuntos:kque fueron elegidos y n kque no fueron elegidos. A veces un conjun- to se divide en más de dos subconjuntos. Por ejemplo, suponga que en una clase de 12 estu- diantes se asignará un proyecto a los estudiantes para trabajar en equipos. Se formarán tres equipos, que constarán de cinco, cuatro y tres estudiantes. Se puede calcular el número de ma- neras en las que se formarán los equipos del siguiente modo. Se considera el proceso para di- vidir la clase en tres equipos como una secuencia de dos operaciones. La primera operación es seleccionar una combinación de cinco estudiantes para formar el equipo de cinco. La se- gunda consiste en elegir una combinación de cuatro estudiantes entre los siete restantes, para formar el equipo de cuatro. El equipo de tres automáticamente constará de los tres estudian- tes que quedan.
El número de maneras de realizar la primera operación es
Después de que se ha realizado la primera operación, el número de las maneras de realizar la segunda operación es
Por tanto, el número total de maneras de realizar la secuencia de las dos operaciones es
30 5 = 30! 5!25! = (30()(29)(28)(27)(26) 5)(4)(3)(2)(1) =142,506 12 5 = 12! 5!7! 7 4 = 7! 4!3! 12! 5!7! 7! 4!3!= 12! 5!4!3! =27,720
Resumen
El número de combinaciones de kelementos elegidos de un grupo de nelementos es (2.12) n k = n! k!(n−k)!
2.13
Ejemplo
Observe que el numerador en la respuesta final es el factorial del tamaño total del grupo, mientras que el denominador constituye el producto de los factoriales de los tamaños de los equipos elegidos de éste. Esto último es válido en general.
Se lanza un dado 20 veces. En virtud de que en tres de las tiradas salió el número 1, en cinco el 2, en cuatro el 3, en dos el 4 y en tres el 6, ¿cuántos arreglos diferentes de resultados hay? Solución
Hay 20 resultados. Están divididos en seis grupos; a saber, el grupo de tres resultados en los que salió 1, el de cinco en los que salió 2 y así sucesivamente. El número de maneras de di- vidir los 20 resultados en seis grupos de tamaños específicos es
Cuando un espacio muestral consta de resultados igualmente probables, la probabilidad de un evento se puede encontrar al dividir el número de resultados en el evento entre el nú- mero total de resultados en el espacio muestral. A veces se pueden usar las reglas de conteo para calcular estos números, como se muestra en el siguiente ejemplo:
En una caja de pernos se encuentran ocho gruesos, cinco medianos y tres angostos. Una caja de tuercas contiene seis que ajustan con los pernos gruesos, cuatro que ajustan con los pernos medianos y dos que ajustan con los pernos angostos. Se elige aleatoriamente un perno y una tuerca, ¿cuál es la probabilidad de que la tuerca ajuste con el perno?
Solución
El espacio muestral consta de todos los pares de tuercas y pernos y cada par es igualmente probable de ser elegido. El evento de que la tuerca ajuste con el perno corresponde al conjun- to de todos los pares que ajustan de tuercas y pernos. Por tanto,
número de pares de tuercas y pernos que se ajustan P(tuerca ajusta con perno) ——————————————————————————————————
número de pares de tuercas y pernos Hay 6 4 2 12 tuercas y 8 5 3 16 pernos. Por tanto,
Número de pares de tuercas y pernos (12)(16) 192 20!
3!5!4!2!3!3!=1.955×10
12
Resumen
El número de maneras de dividir un grupo de nelementos en grupos de k1, . . . ,kr
elementos, donde k1 . . .kr n, es (2.12) n! k1!· · ·kr!
2.14
Ejemplo
2.15
Ejemplo
1. Las moléculas de ADN constan de secuencias químicamen-