Métodos no paramétricos

A pesar de que los modelos paramétricos son métodos eficaces cuando se tiene

información del modelo que ajusta a las variables y sólo falta determinar un número

finito de parámetros, sin embargo, puede ser que la familia paramétrica elegida no sea

adecuada. Si no se esta seguro del modelo paramétrico supuesto, se sugiere utilizar

los métodos no paramétricos.

3.2.1 Técnicas de suavizado

Aquí se revisarán las distintas técnicas de suavizado (smoothing) para analizar algunas

de ellas con más detalle. La tarea de las técnicas de suavizado es disminuir la

variabilidad, para lo cual se deben modificar los datos observados mediante

procedimientos que permiten obtener una nueva serie de la que se han eliminado las

variaciones.

El procedimiento utiliza un valor de suavizamiento que en términos generales se basa

en obtener una media local. Se diferencian unos de otros por el método utilizado para

promediar y por tanto de asignar ponderaciones, pero además dentro de un tipo

determinado podemos obtener diferentes resultados según sea el tamaño de la

vecindad utilizada, es decir, el número de observaciones que intervienen en la

obtención de la media. Cuanto mayor es el tamaño de la vecindad menor es la varianza

pero mayor será el sesgo y viceversa. Hay diversos métodos para determinar el

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tamaño de la vecindad o el “ancho de la banda” De acuerdo a Benjamín y Pollard

(1992), los tipos de smoother son:

 Media móvil. El método de las medias móviles en estadística es un método

utilizado para analizar un conjunto de datos en modo de puntos para crear series

de promedios. Así las medias móviles son una lista de números en la cual cada

uno es el promedio de un subconjunto de los datos originales.

Para cada valor xi se define la vecindad simétrica de tamaño k.

�

{�

}

El método de medias móviles sustituye la observación yi por la media de las

observaciones de su vecindad, con ind(NS(xi)) conjunto de índices de la

vecindad. Para los puntos iniciales y finales de la serie que disten menos de k

unidades de los extremos.

 Smoother de vecindad más cercana. De la expresión anterior, ignorando la

simetría, se pueden tomar la distancia 2k más cercana a xi independientemente

de que lado se encuentre (izquierda o derecha) y después promediarla. Así se

está encontrando la vecindad más cercana.

 Regresión Local. La regresión local es un enfoque de ajuste de curvas (o

superficies) a datos mediante suavizados en los que el ajuste en x se realiza

utilizando únicamente observaciones en un entorno de x. Al realizar una

regresión local puede utilizarse una familia paramétrica al igual que en un ajuste

de regresión global pero solamente se realiza el ajuste localmente.

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Sobre la función de regresión , tales como continuidad y derivabilidad de

manera que pueda estar bien aproximada localmente por polinomios de un cierto

grado.

Sobre la variabilidad de Y alrededor de la curva , por ejemplo variabilidad

constante.

- Los métodos de estimación que resultan de este tipo de modelos son

relativamente simples:

- Para cada punto x, se define un entorno.

- Dentro de ese entorno suponemos que la función regresiva es aproximada

por algún miembro de la familia paramétrica que podría ser de polinomios

cuadráticos: g(u) = a0 + a1(u - x) +a2(u -x)2.

- Luego se estiman los parámetros con las observaciones en el entorno.

- El ajuste local es el la función ajustada evaluada en x.

Por todo lo anterior, se puede decir que un método que resuelve la fluctuación

de las medias móviles es el smoother de regresión local. Se trata de ajustar una

recta de mínimos cuadrados a cada vecindad de tamaño fijo. Una mejora de éste

método es el uso de rectas de regresión utilizando ponderaciones que

disminuyan en relación con la lejanía del punto.

 Splines cúbicos. Se define spline como una función polinomial dividida en trozos

(partes) donde el número máximo de derivadas existe. Sea una partición del

intervalo [a ; b] dada por los puntos a = x1 < x2

< … < xn = b, s es una función

spline de grado k con nodos x1; x2; … ; xn si es un polinomio de grado k o menor

en cada intervalo [xi , xi+1] y s es (k-1) veces diferenciable.

Los splines cúbicos minimizan la suma de cuadrados ya que presentan la

siguiente característica:

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Donde es una constante fija y el primer término de la expresión mide la

cercanía a los datos mediante los cuadrados de la diferencia entre observados y

estimados, pero se ve afectado por el segundo término que aumenta con los

cambios de curvatura de la función f(x), de tal forma que los splines cúbicos

intentan maximizar la bondad del ajuste con poca variabilidad.

3.2.2 Selección del parámetro de suavizado

La selección del parámetro bandwidth o tamaño de la vecindad en la ciencia actuarial

es primero elegir el modelo que mejor ajusta a los datos y después contrastar su

suavidad. En la estadística se combinan ambos conceptos utilizando un método para

elegir el tamaño de la vecindad que intenta equilibrar varianza y sesgo.

Verrall (1996) describe el método de validación cruzada como aquel que minimiza:

∑

�̇

�̂

Dado un estimador cualquiera �̂x de la real probabilidad de muerte qx, se elige el valor

del bandwidth b, que minimiza:

∑

�̇

�̂

donde �̂

, es la estimación utilizando todos los valores brutos salvo el i-ésimo. La

validación cruzada consiste en estimar sucesivamente, de uno en uno, el suavizado en

xi a partir de los n - 1 puntos restantes, todos salvo (xi, qi).

In document Predicción de tablas de vida dinámicas hasta el año 2025 para México. (página 36-39)