Métodos numéricos

Los pioneros de CFD emplearon diferencias finitas para aproximar las ecuaciones que describen la mecánica de fluidos. Con diferencias finitas, las derivaciones espaciales y temporales parciales que aparecen en las ecuaciones se aproximan a través de la serie Taylor. Aunque no hay ninguna restricción formal, las diferencias finitas se emplean típicamente sólo en geometrías cartesianas.

Los métodos de elementos finitos requieren una malla 2D o 3D y son muy flexibles en términos de geometría y elementos de malla; casi cualquier tipo de elemento de malla se puede emplear. En cada elemento de malla, se utiliza una función base. Esta función base debe describir localmente la solución de (parte de) la ecuación de gobierno que se debe aproximar. El método finito-elemento tiene como objetivo minimizar la diferencia entre la solución exacta y la colección de funciones base; esto se puede hacer, por ejemplo, mediante un método Galerkin. No se discute que los métodos de elementos finitos son el método preferido para los problemas de mecánica sólida.

Sin embargo, los problemas en el área de la mecánica de fluidos generalmente se rigen por la conservación local. Por ejemplo, la ecuación de continuidad dicta la conservación local de la masa. La conservación local no es

necesariamente una propiedad del método de elementos finitos, ya que la diferencia entre las funciones base y la solución exacta se minimiza globalmente. La adaptación del método de elementos finitos para reflejar la conservación local sigue siendo en gran medida el foco de la investigación numérica, por lo tanto, el método históricamente no se ha utilizado tanto para CFD.

El principio del método de volumen finito es la conservación local, y esta es la razón clave de su éxito en CFD. Para resolver las ecuaciones numéricamente con el método finito volumen, todo el dominio computacional se divide en subvolúmenes "pequeños", las llamadas celdas. Empleando la ley de Gauss, las derivadas parciales expresan un principio de conservación, como la velocidad, por ejemplo, pueden ser reescritos en cada celda como una contribución algebraica. La ecuación fundamental, expresada en las ecuaciones diferenciales parciales, se reformula, en cada celda computacional, en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales (Hirsch, 2007)

- Métodos de diferencias finitas

En función de que el software estudiado en este proyecto es Flow 3D y que su núcleo de cálculo es una variación del método de diferencias finitas se desarrolla solo este método para el lector.

La aproximación por el método de las diferencias finitas es el más antiguo de los métodos aplicados para obtener soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, y la primera aplicación se atribuye a Leonhard Euler (1707-1783) en 1768. La idea de métodos de diferencias finitas es en realidad bastante simple, ya que corresponde a una estimación de una derivada por la relación de dos diferencias de acuerdo con la definición teórica de la derivada.

Para una función u(x), la derivada en el punto x se define por: Figura 2-20

𝑢_𝑥 =𝜕𝑢

𝜕_𝑥 = lim𝛥𝑥→∞

𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑢(𝑥) 𝛥𝑥

Ecuación 2-76

Si eliminamos el límite en la ecuación anterior, obtenemos una diferencia finita, que explica el nombre dado a este método.

Si Δx es pequeño pero finito, la expresión en el lado derecho es una aproximación al valor exacto de u(x). La aproximación se mejorará reduciendo el valor Δx, pero para cualquier valor finito de Δx, se introduce un error, el error de truncamiento, que tiende a cero para Δx tendiendo a cero.

La potencia de Δx con la que este error tiende a cero se denomina el orden de precisión de la aproximación de la diferencia, y se puede obtener de un desarrollo de la serie Taylor de usted (x + Δx) alrededor del punto x.

En realidad, todo el concepto de aproximaciones de diferencias finitas se basa en las propiedades de las expansiones de Taylor.

Desarrollando u (x+ Δx) alrededor de u(x) tenemos

𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝛥𝑥𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝛥𝑥 2 2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 +𝛥𝑥 3 3! 𝜕3 𝑢 𝜕𝑥3 + ⋯ Ecuación 2-77

La relación se puede escribir de la siguiente manera 𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑢(𝑥) 𝛥𝑥 = 𝑢𝑥(𝑥) + 𝛥𝑥 6 𝑢𝑥𝑥(𝑥) + 𝛥𝑥2 6 𝑢𝑥𝑥𝑥(𝑥) + ⋯ Ecuación 2-78

Dando como resultado que

• El lado derecho de la ecuación es en realidad una aproximación de la primera derivada de u(x) en x

• El resto de los términos del lado derecho de la ecuación representan el error truncado en la aproximación

Figura 2-20 Expansión de Taylor para la función u(x), alrededor del punto x Fuente: (Hirsch, 2007)

Si restringimos el error de truncamiento a su término dominante, es decir, a la potencia más baja en Δx, vemos que esta aproximación para u(x) tiende a cero como la primera potencia de Δx y se dice que es de primer orden en Δx y escribimos

𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑢(𝑥)

𝛥𝑥 = 𝑢𝑥(𝑥) + 𝛥𝑥

6 𝑢𝑥𝑥(𝑥) = 𝑢𝑥(𝑥) + 𝑂(𝛥𝑥) Ecuación 2-79

Lo que indica que el error de truncamiento O(Δx) tiende a cero como la primera potencia en Δx. Se puede obtener un gran número de aproximaciones de diferencias finitas para las derivadas de funciones.

- Comentario sobre la importancia de las expansiones de Taylor

La expansión Taylor en realidad nos dice algo bastante notable sobre las propiedades de las funciones continuas. El lado izquierdo es el valor de la función u a una distancia arbitraria Δx desde el punto x, sin restricción en esta distancia. En el lado derecho, todas las cantidades se evalúan en el punto x. Por lo tanto, lo que la expansión Taylor nos dice es que podemos saber el valor de la función a una distancia arbitraria lejos del punto x (digamos 5000 km), si sabemos 'todo', cuáles son las derivadas, en este único punto x. En la práctica, para cualquier valor finito de Δx, el conocimiento de un número finito de derivadas en el punto x, será suficiente para evaluar el valor de u(x) en el punto (x+Δx) con una precisión preestablecida. (Hirsch, 2007)