1.7. M´ etodos de demostraci´ on
1.7.3. M´ etodos indirectos
Cuando hecemos demostraciones por el m´etodo directo, en ocasiones es muy complicado y en algunos casos se antoja imposible. Por esta raz´on se han generado m´etodos alternativos de demostraci´on. Los m´etodos indirectos para demostrar una proposici´on P se basan en el m´etodo directo para demostrar la afirmaci´on Q de tal forma que, o bien Q sea equivalente a P o bien que, como consecuencia de Q, se pueda inmediatamente deducir P . Hay tres m´etodos de especial importancia: empezamos por estudiar el que se conoce como m´etodo por contradicci´on.
M´etodo por contradicci´on (o reducci´on al absurdo)
Recu´erdese que la contradicci´on C es equivalente a Q∧ ¬Q, con Q una proposici´on. Tambi´en, como puede comprobarse, la regla de reducci´on al absurdo (RAA):
(A⇒ B) =⇒ [ (A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A ] es l´ogicamente verdadera (tautolog´ıa).
Para demostrar P por reducci´on al absurdo (por contradicci´on), suponemos que P es falsa. Pero como los razonamientos v´alidos garantizan conclusiones verdaderas s´olo de premisas verdaderas, incluimos ¬P como premisa.
1. Inicia el proceso de deducci´on generalmente partiendo de ¬P .
2. El proceso de deducci´on empieza y contin´ua hasta que llegamos a una contradicci´on Q∧ ¬Q. 3. Entonces afirmamos: ¬P ⇒ Q y ¬P ⇒ ¬Q.
4. Luego, al esquema de RAA: (¬P ⇒ Q) =⇒ ((¬P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬¬P )
aplicando Modus Ponens, primero con ¬P ⇒ Q y luego con ¬P ⇒ ¬Q, obtenemos 5. ¬¬P
6. Entonces, se concluye P , pues como ya se sabe: ¬¬P ≡ P .
Cuando se llega a la contradicci´on, paso 2, los siguientes pasos: 3, 4 y 5 son los mismos en cualquier de- mostraci´on. Es por ello que luego de llegar a una contradicci´on, se acostumbra pasar directamente a concluir la proposici´on P (paso 6).
La contradicci´on buscada no es alguna en particular, s´olo diremos que generalmente la contradicci´on se encuentra al involucrar la informaci´on proporcionada con la proposici´on negada.
Un caso frecuente es cuando la proposici´on tiene la forma A =⇒ B. Tenemos que afirmar la proposici´on
¬(A =⇒ B), que es equivalente a A ∧ ¬B.
Ejemplo 17 Demostrar: si n y m son enteros impares entonces n + m es par.
Demostraci´on. Por contradicci´on, supongamos que la proposici´on es falsa. Entonces 1. n es impar, m es impar y n + m no es par negaci´on de la implicaci´on 2. n es impar, m es impar y n + m es impar negaci´on de n´umero par
3. n es impar simplificaci´on.
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1.7. M´etodos de demostraci´on
5. m es impar simplificaci´on.
6. m = 2p + 1 para alg´un entero p definici´on, de 5. 7. n + m = (2k + 1) + (2p + 1) sumando, de 4 y 6. 8. n + m = 2k + 2p + 2 simplificando. 9. n + m = 2(k + p + 1) factorizando. 10. n + m = 2j, con j = k + p + 1 sustituyendo.
11. n + m par definici´on de n´umero par. 12. Entonces n + m es par y n + m es impar de 2 y 11.
Llegamos a una contradicci´on.
Por lo tanto: si n y m son enteros impares, entonces n + m es par.
As´ı, cuando no podemos hacer deducciones con el antecedente de una implicaci´on, se busca hacer deduc- ciones en forma indirecta con el consecuente. Es cuando interviene el m´etodo por contradicci´on, activando como hip´otesis la negaci´on del consecuente.
M´etodo por contrarrec´ıproca
Gracias a la equivalenciaP =⇒ Q ≡ ¬Q =⇒ ¬P
en lugar de demostrar la proposici´on P =⇒ Q podemos demostrar la proposici´on ¬Q =⇒ ¬P , pues aunque ambas proposiciones son implicaciones, algunas veces esta ´ultima puede resultar m´as simple en su demostraci´on.
Ejemplo 18 Demostrar la proposici´on: si n2 es par, entonces n es par.
Demostraci´on. Demostraremos directamente la contrarrec´ıproca:
Por demostrar directamente: si n es impar, entonces n2 es impar.
1. n es impar hip´otesis
2. n = 2k + 1 , para alg´un k∈ Z definici´on de impar 3. n2= (2k + 1)2= 4k2+ 4k + 1 desarrollando el cuadrado
4. n2= 2(2k2+ 2k) + 1 factorizando
5. n2= 2m + 1, con m = (2k2+ 2k) sustituyendo
6. n2 es impar definici´on
por lo que: si n es impar, entonces n2 es impar.
Demostraci´on por casos
Gracias a la equivalencia( P1∨ P2∨ ... ∨ Pn) =⇒ Q ≡ (P1⇒ Q) ∧ (P2⇒ Q) ∧ · · · ∧ (Pn⇒ Q)
es posible simplificar la demostraci´on de (P1∨P2∨· · ·∨Pn) =⇒ Q, demostrando cada una de las proposiciones
P1⇒ Q, P2⇒ Q, . . . , Pn⇒ Q. Esto usualmente se escribe de la siguiente manera:
caso 1 P1=⇒ Q caso 2 P2=⇒ Q . . . caso n Pn=⇒ Q por tanto: ( P1∨ P2∨ ... ∨ Pn) =⇒ Q.
Aun cuando el antecedente no presente visiblemente la forma mencionada, dentro de lo posible es conveniente escribirlo en la forma P1∨ P2∨ ... ∨ Pngracias a propiedades y/o leyes de la teor´ıa.
Recordemos que un n´umero n es divisible por 3 si n = 3k para alg´un entero k, es decir que: n es divisible por 3 si n3 es un entero.
Con respecto a 3, los n´umeros enteros se encuentran divididos en tres clases:
Los divisibles por 3 (residuo 0), que son de la forma 3k, con k∈ Z
. . . , −12, −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . . ,
Los que al dividir por 3 dejan residuo 1, que son de la forma 3m + 1, con m∈ Z
. . . , −10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, . . .
Los que al dividir por 3 dejan residuo 2, que son de la forma 3q + 2, con q∈ Z
. . . ,−11, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, . . .
Todo n´umero entero pertenece a una de las clases anteriores. Por lo que, si n no es divisible por 3, entonces
n es de la forma 3k + 1, o bien, de la forma 3k + 2, para alg´un entero K y viceversa. ¿Con respecto a 5 cu´antas clases hay?
Ejemplo 19 Demostrar la proposici´on
Si n no es divisible por 3, entonces n2 no es divisible por 3.
Demostraci´on. Como vimos antes, si 3 no divide a n, tenemos dos casos posibles: n = 3k + 1, o bien
que n = 3k + 2, para alg´un entero k.
Caso I. Por demostrar que: si n = 3k + 1, entonces n2 no es divisible por 3.
1. n = 3k + 1, para alg´un entero k hip´otesis 2. n2= (3k + 1)2 sustituyendo
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1.7. M´etodos de demostraci´on
3. n2= (3k)2+ 2(3k)(1) + 12 desarrollando el cuadrado 4. n2= (9k2+ 6k) + 1 simplificando y asociando 5. n2= 3(3k2+ 2k) + 1 factorizando 6. n2= 3p + 1, con p = 3k2+ 2k sustituyendo 7. n2 no es divisible por 3.Entonces, si n = 3k + 1, entonces n2 no es divisible por 3.
Caso II. Por demostrar que: si n = 3k + 2, entonces n2 no es divisible por 3.
8. n = 3j + 2, para alg´un entero j.
9. n2= (3j + 2)2= (3j)2+ 2(3j)(2) + 22 desarrollando
10. n2= (9j2+ 12j) + 4 = (9j2+ 12j + 3) + 1 simplificando y asociando 11. n2= 3(3j2+ 4j + 1) + 1 factorizando
12. n2= 3q + 1, con q = 3j2+ 4j + 1 sustituyendo
13. n2 no es divisible por 3.
Entonces, si n = 3k + 2, entonces n2 no es divisible por 3.
Por tanto, de los casos I y II tenemos:
Si n no es divisible por 3, entonces n2 no es divisible por 3.