1.11.
M´odulos uniformes y
V-Anillos.
DEFINICI ´ON 1.11.1 UnR-m´oduloM se dice que esinescindible si no se puede escribir como suma directa de 2 subm´odulos distintos de cero.
DEFINICI ´ON 1.11.2 Un R-m´odulo M se dice que es uniforme si cada uno de sus subm´odulo es inescindible.
PROPOSICI ´ON 1.11.3 Sea M ∈ R-Mod. M es uniforme si y solo si todo par de subm´odulos (distintos de cero) de M tienen intersecci´on no nula.
Demostraci´on:
⇒) Sean N 6= {0} y K 6= {0} subm´odulos de M. Supongamos que N ∩K = {0}. EntoncesN+K es un subm´odulo deM y no es inescindible, lo cual es una contradicci´on ya que M es uniforme. Por lo tanto N ∩K ={0}.
⇐) Sea N 6= {0} un subm´odulo de M. Supongamos que N no es inescindible, entonces N =N1⊕N2 para algunos N1 6={0} y N2 6={0} subm´odulos de N, pero N1
y N2 tambien son subm´odulos de M y N1 ∩N2 ={0}, lo cual contradice la hip´otesis
de que todo par de subm´odulos de M (distintos de {0}) tienen intersecci´on no nula, esto implica que N es inescindible y por tanto M es uniforme.
El siguiente ejemplo muestra que la c´apsula inyectiva de cualquier m´odulo simple es uniforme.
EJEMPLO 1.11.4 Sea S ∈ R-Simp y E(S) la c´apsula inyectiva de S, veamos que E(S) es uniforme.
Sea N 6= {0} un subm´odulo de E(S), como S es subm´odulo esencial de E(S) se tiene queS∩N 6={0}, adem´asS∩N ⊆S, lo que implica que S∩N =S ya que S es simple, esto muestra que S ⊆ N para todo N 6={0} subm´odulo de E(S), entonces si N1 6= {0} y N2 6= {0} son dos subm´odulos de E(S) se tiene que {0} 6=S ⊆ N1∩N2,
lo que implica que cualquier par de subm´odulos no cero de E(S) tiene intersecci´on distinta de {0}, por la Proposici´on 1.11.3 se sigue que E(S) es uniforme.
PROPOSICI ´ON 1.11.5 SiN es un subm´odulo uniforme deM⊕M0 ∈R-Mod, y ρ, ρ0 son las proyecciones sobre M y M0 respectivamente, entonces la restricci´on de ρ a S ´o la restricci´on de ρ0 a S es un monomorfismo.
Demostraci´on:
Por la Proposici´on 1.11.3 sabemos que por ser S uniforme entonces cualquier par de subm´odulos de S distintos de cero tiene intersecci´on no nula. Si ninguna de las proyecciones ρ ´o ρ0 restringidas a S es monomorfismo, tendr´ıamos 2 subm´odulos distintos de cero N uc(ρ)∩ S y N uc(ρ0)∩S de S, cuya intersecci´on es cero ya que N uc(ρ)∩N uc(ρ0) = {0}, esto es una contradicci´on ya que S es uniforme. Por lo tanto la restricci´on deρ a S ´o la restricci´on de ρ0 a S es monomorfismo.
PROPOSICI ´ON 1.11.6 Si S es un subm´odulo uniforme de M
i∈I
Mi =M ∈ R-
Mod, entonces para alguna j ∈I, la restricci´on a S de la j-´esima proyecci´onρj es un
monomorfismo.
Demostraci´on:
Sean 06=s ∈Sy J ⊆I el conjunto de todas lasi∈I tal que lai-´esima componente des es no cero. Entonces M = M i∈J Mi M M i∈I\J Mi.
Por la Proposici´on 1.11.5tenemos que la restricci´on a S de una de las 2 proyec- ciones asociadas es monomorfismo, no puede ser la proyecci´on sobre el segundo suman- do ya que esta proyecci´on manda a s en 0. As´ı, la proyecci´onS al primer sumando es monomorfismo, a tal proyecci´on la denotaremos por ρ, y sea S0 = ρ(S). Como S0 es un subm´odulo de M
i∈J
Mi y J es un conjunto finito, podemos aplicar un n´umero finito
de veces la Proposici´on 1.11.5 y as´ı obtener un j ∈ J para el cual la proyecci´on S0 sobreMj es un monomorfismo. Luego, la composici´on de las proyecci´ones de S enS0 y
deS0 enMj es un monomorfismo, como se quer´ıa.
En otras palabras, la Proposici´on 1.11.6 nos dice que si un R-m´odulo uniforme S se encaja en el coproducto de una familia{Mi}i∈I deR-m´odulos, entonces se encaja
enMj para alg´unj ∈I.
DEFINICI ´ON 1.11.7 Decimos que un anillo R es V-anillo izquierdo si cada R-M´odulo izquierdo simple es inyectivo.
TEOREMA 1.11.8 Sea R un anillo. Son equivalentes:
1.11. M ´ODULOS UNIFORMES YV-ANILLOS. 75
2. Todo ideal izquierdo propio deRes una intersecci´on de ideales izquierdos m´aximos de R.
3. CadaR-m´odulo izquierdo tiene la propiedad de que el cero es una intersecci´on de subm´odulos m´aximos.
4. La categor´ıa de los R-m´odulos izquierdos tiene un cogenerador, el cual es una suma directa de R-m´odulos simples.
Demostraci´on:
(1)⇒(3)
SeaM unR-m´odulo izquierdo, dondeR es unV-anillo. Si 0 6=x∈M entonces, por elLema de Zorn, existeY ≤M el cual es m´aximo entre los subm´odulosXdeM con x que no pertenece a X.
seaD =T
{S ≤M | Y < S}. Entonces, x∈ D y D/Y 6= 0 es simple, por lo tanto inyectivo. Luego,
0−→D/Y −→M/Y
se escinde, de donde M/Y = D/Y ⊕K/Y, con K ≤ M. Como x no pertenece a K. entonces Y ≤M es m´aximo. As´ı, 0 =T
{Y ≤M | Y es m´aximo}. (3)⇒(2)
Sea I ≤R. Viendo a R/I comoR-m´odulo izquierdo se tiene que I = \
α∈A
Jα, donde
Jα ≤R es m´aximo para toda α∈A.
(2)⇒(1)
SeanS unR-m´odulo simple eI ≤R. Siα∈HomR(I, S) y siK =N uc(α), entonces
existeM ≤R m´aximo tal que K ≤M peroI M. ComoI/K es simple,M∩I =K. Entonces, R/M = (M +I)/M ∼=I/M ∩I =I/K ∼=S. As´ı, α se puede extender a un R-morfismo α0 ∈HomR(R, S). Por lo tanto, S es inyectivo.
(1)⇒(4)
Consideremos M
Sα∈R−simp Sα.
Sea M ∈ R-Mod y 0 6= m ∈ M, consideremos Rm el subm´odulo de M generado por m. Sea ι:Rm //M la inclusi´on natural. Como Rm ∈R-simp y por hip´otesis R es V-anillo entoncesRm es inyectivo, por lo que existe ϕ∈ HomR(M, Rm) tal que
1M =ϕ◦ι 0 //Rm ι // 1M M ϕ | | zz z z Rm
Por otro lado, al considerar la inclusi´on U :Rm // M Sα∈R−simp Sα se tiene que U◦ϕ∈HomR(M, M Sα∈R−simp Sα). 0 //Rm ι // 1M M ϕ x x q qq q q q Rm U M Sα∈R−simp Sα
Adem´as, (U ◦ ϕ)(m) = (U ◦ 1M)(m) = U(1M(m)) = U(m) 6= 0 ya que U es
monomorfismo. Entonces por el Lema 1.8.7 se tiene que M
Sα∈R−simp Sα cogenera a M y por tanto M Sα∈R−simp Sα cogenera a R-Mod. (4)⇒(1)
Sean C ∈ R-Mod un cogenerador semisimple de R-Mod y S ∈ R-simp. Considere- mos aE(S) la c´apsula inyectiva de S. Existe un conjunto I 6=∅ y un monomorfismo
f :E(S) //CI .
Por elEjemplo 1.8.11 se tiene que E(S) es finitamente cogenerable, entonces por la
Proposici´on 1.8.12existe∅6=J ⊆I y un monomorfismo f0 :E(S) //CJ =C(J)
Por el Ejemplo 1.11.4 sabemos que E(S) es uniforme, entonces por la Proposi- ci´on 1.11.6 existe un monomorfismo
h:E(S) //C.
Aplicando nuevamante la Proposici´on 1.11.6, existe T ∈ R-simp sumando directo deC y un monomorfismo
h0 :E(S) //T,
1.12. RET´ICULAS BOOLEANAS. 77