III. RESULTADOS
4. Manejo del Sistema de Notación en Base 10
4.1. Escritura
Los resultados la tarea de escritura se codifican de acuerdo con la cantidad de producciones correctamente efectuadas hasta un máximo posible de 24. Examinada la muestra en su totalidad, los sujetos efectuaron 16.3 producciones correctas. El mínimo, 4 para 10 sujetos de primer grado y máximo 24, obtenido por 16 sujetos entre los grados 4o. y 7o. La distribución de la variable muestra un sesgo hacia la derecha Como cabe esperar, existe una muy alta asociación entre el puntaje en la tarea de escritura y el grado cursado por el estudiante (Spearman rho=0.805, sig<0.0001). 2 4 2 2 2 0 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 6 4 a a a 3 0 2 0 1 0 0 S td . D e v = 6 ,5 8 M e a n = 1 6 ,3 N = 1 2 4 ,0 0 F r e c u e n c y
Gráfico 3. Frecuencia de producciones correctas en escritura
El número total de producciones escritas obtenidas, asciende a 1.455. En total los niños logran 1.171 notaciones exitosas (80.5% de la producción total). Las notaciones exitosas incluyen sus correcciones, sin intervención del entrevistador.12
12 Durante el dictado, el niño podía equivocarse y corregir. Su corrección se evalúa como respuesta
Solamente 15 niños (2 en 4o, 3 en 5o, 5 en 6o y 5 en 7o) no cometen error alguno (9.67% del grupo de sujetos).
18 18 18 16 17 18 18 N = Grado 7 6 5 4 3 2 1 24 16 8 0 7B1 1B4 1A13 1B2
.
P r o d u c c I o n e s C o r r e c t a sGráfico 4. Distribución de producciones correctas en escritura en función de grado
Tal y como se observa en el Gráfico 413 existe una clara asociación entre el grado que los alumnos cursan y el número de producciones escritas exitosas que logran. En la Tabla 14, igualmente se observa que existe una clara asociación entre el grado cursado por los estudiantes y el orden de numeral que alcanzan a escribir correctamente. Hasta 3o los niños escriben correctamente los numerales cuyo rango corresponde con el previsto para su edad. Los niños de primer grado resuelven en su totalidad la escritura de números menores que 100. Con los números entre 100 y 1000, el porcentaje de logro oscila entre el 17% y el 33%. Uno de los niños de primero fue capaz de escribir correctamente números hasta
13 Las gráficas de cajas, como se conoce a este tipo de gráficas, representan la mediana (linea
negra al interior de la caja), los cuartiles y los valores extremos. La longitud de la caja es rango intercuartil, que contiene el 50% de los valores. Los “bigotes” son lineas que se extienden desde los extremos superior e inferior de la caja hasta los valores más altos y más bajos respectivamente, excluyendo los valores atípicos (siyuados entre 1.5 y 3 longitudes de caja) y los extremos (situados
de 4 cifras. Los niños de 2o y 3o grado resuelven en su totalidad la tarea de escritura de números entre 100 y 1000. En el siguiente orden, los porcentajes de éxito bajan para ubicarse entre el 39% y el 72%, los de 2o y el 72 y el 100%, los de 3o.
Grado Numeral
1 2 3 4 5 6 7 23 100 1º 40 100 87 100 90 100 325 33.33 100 100 2º y 3º 201 22.22 100 100 987 16.67 100 100 908 22.22 100 100 1452 5.56 72.22 88.89 93.75 100 4º y 5º 3004 5.56 50.00 72.22 100 94.44 8967 5.56 44.44 100 93.75 94.44 9070 5.56 38.89 83.33 93.75 94.44 34223 0.00 27.78 44.44 75.00 100 88.89 83.33 20103 5.56 38.89 55.56 87.50 94.44 94.44 94.44 97586 0.00 27.78 66.67 75.00 83.33 94.44 94.44 85007 0.00 16.67 44.44 87.50 88.89 83.33 94.44 533112 0.00 5.56 27.78 31.25 72.22 72.22 66.67 6º y 7º 104002 0.00 5.56 16.67 75.00 61.11 66.67 100 987658 0.00 5.56 16.67 68.75 72.22 72.22 83.33 800009 0.00 5.56 33.33 68.75 77.78 72.22 72.22 124322154 0.00 0.00 16.67 50.00 61.11 72.22 66.67 103204000 0.00 0.00 11.11 50.00 61.11 55.56 83.33 698759876 0.00 0.00 0.00 37.50 66.67 61.11 83.33 800069000 0.00 0.00 0.00 62.50 44.44 61.11 61.11Tabla 14. Porcentaje de éxito en función de grado e ítem
Los alumnos de 4o y 5o solamente logran éxito total en dos ítems (3.004 y 1.452) los y los de 6o y 7o, en el ítem, 34.223. Los niños de 6o. grado, en ningún numeral logran el 100% de respuestas exitosas y en 7o., solamente en el numeral 104.002. Sin embargo a partir de 5o. grado, la mayoría de los niños logran escribir correctamente casi todos los numerales: logro por encima del 70% con excepción de los numerales en el rango de las centenas de millón, cuya escritura resultó difícil aún para alumnos de 7o grado.
A pesar de la producción desigual de respuestas, inicialmente clasificamos la totalidad de los numerales que escriben como producciones exitosas o erradas, y en las erradas distinguimos los errores producidos por dificultades en el procesamiento léxico de aquellos que son producto de dificultades en el
procesamiento sintáctico. (McCloskey y col., 1985, 1986a, 1991, McCloskey, 1992)14
En total se obtiene una muestra de 284 notaciones no exitosas, realizadas por 110 sujetos. Un promedio: 2.58 errores/sujeto15. El 33% de los errores analizados son de tipo léxico y el 67%, de tipo sintáctico.
En el error léxico, el niño logra transcribir el numeral verbal hablado en un numeral arábigo del formato esperado que solamente difiere del numeral arábigo convencional porque cambia uno o varios dígitos aislados (p.e. por “mil cuatrocientos cincuenta y dos”, escriben 1472). Niños, a través de todos los grados, cometen este tipo de error. Los errores sintácticos introducen modificaciones en la magnitud del numeral. Niños de todos los grados/edades cometen este tipo de error, en todos los ítems.
Suponemos que dificultades en la memoria de corto plazo permiten explicar los errores léxicos. Sin embargo, ¿cómo explicar los errores sintácticos? ¿Qué tipos de dificultades en el procesamiento se presentan para que los niños cometan con mayor frecuencia este tipo de error? ¿Resulta conveniente incluir en una sola categoría errores tan variados como los que a continuación ejemplificamos?
Numeral dictado Error
“Doscientos uno” 2101, 21001, 21
“Tres mil cuatro” 3104, 314, 304,
3.04
“Veinte mil ciento tres” 20100103
“Quinientos cuarenta y tres mil ciento doce” 500.043.112, 500403
“Ciento tres millones doscientos cuatro mil” 103.200.4.000
La variedad de los errores de tipo sintáctico y la imposibilidad de explicar porque se producen con una frecuencia tan alta, justifica la necesidad de postular categorías más precisas que permitan diferenciarlos.
4.2. Equivalencia
Como previamente se señaló, el logro en la tarea de equivalencia se califica en una escala de cuatro puntos así: 1 no responde ningún ítem, 2 resuelve sólo ítem demostrativo, 3 resuelve sólo un ítem y 4 resuelve dos ítems.
La mayoría de los niños sólo resuelven el ítem demostrativo (47 niños, 38%), los demás niños resolvieron correctamente dos ítems (41 sujetos, 33%); les siguen
14 Con el fin de abreviar la expresión, en adelante llamaremos estos errores, léxicos y sintácticos. 15 De 284 errores, 266 resultan perfectamente comprensibles desde las categorías postuladas para
los análisis específicos de relaciones entre tipos de error y otras variables. 18 (6.34%) fueron rotulados como “no clasificados” y no se consideran para estos análisis. Así, la muestra efectiva está constituida por un total de 266 ocurrencias de error: (93.66%) del total de errores que los niños
aquellos que sólo resolvieron un ítem (24 niños, 20%) y finalmente los que no lograron resolver ítem alguno (11 niños, 9%) (Ver Tabla 15.
Puntaje Tarea de
Equivalencia Frecuencia Porcentaje
1 Ningún ítem 11 9
2 Item Demostrativo 47 38
3 Un ítem 24 20
4 Dos ítems 41 33
Total 123 100
Tabla 15. Tarea de equivalencia, frecuencia y porcentajes de logro
No parece haber una relación entre este puntaje y el grado cursado por el estudiante (rho=0.050, sig.=0.581). La baja correlación entre la tarea de equivalencia y el grado del estudiante podría estar indicando varias puntos. En primer lugar, la tarea de equivalencia examina la relación entre unidades de orden inferior con las de orden superior (32 decenas en 325). Esta relación se contradice directamente con el modelo imperante en la escuela o modelo de “valor de posición” (según el cual, en 325 hay 2 decenas). Esta contradicción puede alterar los resultados de la correlación entre las dos tareas, elevando los puntajes de equivalencia en grados inferiores, que no han tenido gran exposición al modelo escolar y disminuyéndola en grados superiores. Este resultado igualmente podría sugerir que el indicador de la tarea de equivalencia esté distanciado de la competencia que realmente se quiere evaluar.
4.3. Relación entre los indicadores de las tareas relativas al sistema
El examen de la asociación entre los puntajes de escritura y equivalencia muestra una correlación que, si bien resulta significativa, es moderadamente baja (rho=0.236, sig=0.0086). Esta situación no nos aclara de manera satisfactoria la pertinencia de las dos variables como indicadoras del uso del sistema de notación decimal. Para aclarar un poco las características de esta relación se calcularon las correlaciones de forma independiente para cada grado. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Grado Corr Sig
1o -0.0113 0.9645 2o 0.7313 0.0006 3o 0.5303 0.0236 4o 0.2990 0.2606 5o -0.1586 0.5433 6o 0.3904 0.1093 7o 0.0716 0.7777
Tabla 16. Correlaciones entre escritura y equivalencia en función de grado
Tal y como se observa, las mayores correlaciones entre las dos tareas se presentan en segundo y tercer grados. Es difícil interpretar este resultado,
podríamos suponer que podría estar indicando que la tarea de equivalencia parece estar relacionada con la tarea de escritura en un cierto momento específico de la construcción del sistema de notación. Los niños de segundo y tercer grado se encuentrarían en el momento crítico en el que se estructurarían la relaciones de entre las diferentes unidades del sistema. A partir del tercer grado, todos los niños estarían en capacidad de resolver de forma satisfactoria la tarea de equivalencia. Sin embargo, la interferencia del modelo de “valor de posición” haría cada vez más difícil que el niño expresara la respuesta esperada para esta tarea. No resulta clara la ausencia de correlaciones en primer grado.
En general, podemos aceptar que la tarea de escritura se podría considerar como un indicador mucho más directo del uso del sistema de notación en base diez que la tarea de equivalencia, en tanto que la primera involucra el manejo simultáneo de la notación arábiga y de la expresión numérica verbal, mientras que la segunda podría constituir un indicador indirecto del factor de comprensión del numeral arábigo, enmascarado por factores relativos a las particularidades del aprendizaje matemático en la escuela.