Mapas

El hecho que los habitantes tengan recursos limitados no concuerda con el concepto del crecimiento exponencial de la población. Es decir, el crecimiento de la población como resultado de la multiplicación por una constante no puede continuar por siempre. En algún momento los recursos del entorno estarán comprometidos con el incremento de habitantes lo que causará que el crecimiento reduzca de una forma menor que la exponencial.

En otras palabras, aunque la regla 𝑓(𝑥) = 2𝑥 puede ser correcta para cierto rango

de la población, puede perder aplicabilidad en otros rangos. Un modelo improvisado puede ser utilizado para la población con recursos limitados, la misma

está dada por 𝑔(𝑥) = 2𝑥(1 − 𝑥), donde 𝑥 es medido en millones. Cuando la

población es pequeña, el factor (1 − 𝑥) se acerca a uno y 𝑔(𝑥) se asemeja a la

función 𝑓(𝑥). Este es el efecto no lineal y el modelo dado por 𝑔(𝑥) es un ejemplo

de modelo logístico.

Para verificar los resultados obtenidos y establecer las diferencias, se realiza el

cálculo respectivo sobre las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). Se inicia con un valor pequeño

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resultados del modelo se muestran en la siguiente tabla, en la que para 𝑔(𝑥)

existe una evidencia de que la población alcanza eventualmente a un tamaño

límite que se denomina estado estable de la población para el modelo 𝑔(𝑥).

Tabla 2: Comparación del modelo exponencial de crecimiento 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙al

modelo logístico𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙(𝟏 − 𝒙) 𝒌 𝒇𝒌_{(𝒙) 𝒈}𝒌_(𝒙) 0 0.0100000000 0.0100000000 1 0.0200000000 0.0198000000 2 0.0400000000 0.0388159200 3 0.0800000000 0.0746184887 4 0.1600000000 0.1381011397 5 0.3200000000 0.2380584298 6 0.6400000000 0.3627732276 7 1.2800000000 0.4623376259 8 2.5600000000 0.4971630912 9 5.1200000000 0.4999839039 10 10.2400000000 0.4999999995 11 20.4800000000 0.5000000000 12 40.9600000000 0.5000000000

Fuente: (Alligood, Sauer, & Yorke, 2000)

Existen marcadas diferencias entre el comportamiento de la cantidad de población

descritas por los modelos 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). Bajo el sistema dinámico 𝑓(𝑥), la cantidad

inicial de población 𝑥 = 0.01 genera un resultado arbitrariamente cuantioso

conforme pasa el tiempo. Mientras que bajo el sistema 𝑔(𝑥), la misma cantidad

inicial de población 𝑥 = 0.01 genera en un principio un comportamiento similar.

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En conclusión, una función cuyo espacio de dominio (input) y espacio de rango

(output) son iguales, se considera un mapa. Sea 𝑥 un punto y 𝑓 un mapa. La

órbita de 𝑥 dado 𝑓 es el conjunto de puntos {𝑥, 𝑓(𝑥), 𝑓2(𝑥), … }. El punto inicial 𝑥

para la órbita es llamado valor inicial dela órbita. Un punto 𝑝 es un punto ajustado

del mapa 𝑓 si 𝑓(𝑝) = 𝑝. Para el ejemplo de la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥(1 − 𝑥) que es

un mapa, la órbita de 𝑥 = 0.01 bajo la función 𝑔 es {0.01, 0.0198, 0.0388, … } y

los puntos ajustados de 𝑔 son 𝑥 = 0 y_{𝑥 = 1 2}⁄ . (Alligood, Sauer, & Yorke, 2000)

3.2.4.2. Clasificación

De acuerdo a una recopilación de algunos ejemplos de mapas caóticos, a continuación se detallan algunos de ellos con sus respectivos atributos tomando en cuenta que actúan bajo el dominio del tiempo discreto:

Tabla 3: Clasificación de mapas caóticos en tiempo discreto

Mapas Caóticos

Dominio de Espacio Número de Dimensiones

Real Complejo Una Dos

Arnold's cat map

X X

Baker's map

X X

Circle map

X X

Complex quadratic map

X X

Complex squaring map

X X Duffing map X X Dyadic transformation X X Exponential map X X Gauss map X X Gingerbreadman map X X

40 Hénon map X X Horseshoe map X X Ikeda map X X

Interval exchange map

X X Kaplan-Yorke map X X Logistic map X X Lozi map X X Pomeau-Manneville maps

for intermittent chaos _{X X X}

Shobu-Ose-Mori

piecewise-linear map _{X X}

Standard map, Kicked

rotor _{X X} Tent map X X Tinkerbell map X X Zaslavskii map X X

Fuente: Elaboración propia

Debido a la diversidad de mapas caóticos en tiempo discreto que fueron desarrollados por los investigadores, el presente trabajo se enfoca en aquellos mapas unidimensionales debido a su simplicidad y alto nivel de eficiencia como ventajas subyacentes para los propósitos deseados. (Gao, Zhang, Liang, & Li, 2006) (Delfs & Knebl, 2006)

3.2.4.3. Mapas Unidimensionales

El presente trabajo se enfoca en el comportamiento unidimensional de los sistemas dinámicos en los que la variable del tiempo es discreta, es decir,

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ecuaciones en diferencias finitas, relaciones de recursión, mapas iterados, mapas dinámicos o simplemente mapas. Las razones por las cuales se ha elegido este tipo de mapas son las siguientes (Thunberg, 2001):

 Sistemas de mayores dimensiones pueden ser reducidos, algunas veces,

en sistemas de una sola dimensión. Esta práctica es posible considerando mapas resultantes de sistemas de tiempo continuo en subconjuntos de sistemas de menor dimensión.

 Para mucho de los resultados expuestos en el artículo (Thunberg, 2001),

existen relaciones análogas para sistemas mucho más complejos, algunos de ellos comprobados y otros con la expectativa de ser posible representarlos de manera genérica. Por tanto, entender sistemas de una sola dimensión da lugar a aplicar un modelo de modelos para alcanzar sistemas más complejos.

Por ejemplo, 𝑥_𝑛+1 = cos 𝑥_𝑛 es un mapa unidimensional puesto que los puntos 𝑥_𝑛

pertenecen al espacio unidimensional de los números reales. La forma general de mapa unidimensional se describe de la siguiente forma: (Belkhouche & Qidwai , 2003)

𝑥_𝑛+1 = 𝑓(𝑥_𝑛, 𝑟), dado un valor inicial 𝑥₀ y una constante 𝑟

Para generar las iteraciones de un mapa unidimensional, se puede hacer uso de la representación gráfica. Por ejemplo, se utiliza el siguiente mapa unidimensional:

42 Las iteraciones son las siguientes:

Tabla 4: Iteraciones de un mapa unidimensional con 𝒓 = 𝟐. 𝟖 y 𝒙_𝟎 = 𝟎. 𝟏

𝒏 𝒙_𝒏 0 0.1 1 0.2520 2 0.5278 3 0.6978 4 0.5904 5 0.6771 6 0.6122 7 0.6648 8 0.6240 9 0.6570

Fuente: Elaboración propia

La representación gráfica es la siguiente:

Figura 10: Representación gráfica de la tabla 3

Fuente: (Weckesser, 2005)

Los mapas unidimensionales surgen como representaciones discretas de ecuaciones diferenciales para facilitar el estudio numérico a través de ordenadores digitales que son más adecuados para tratar variables discretas que continuas. En

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el presente trabajo se hace uso de este concepto para estudiar el caos y complejidad dado que el estado de un sistema va saltando a lo largo del su trayectoria en lugar de fluir continuamente, son capaces de lograr un comportamiento caótico.

3.2.5. Mapa logístico

Como se ha mencionado anteriormente, el presente trabajo se enfoca en el mapa logístico que viene dado por un sistema dinámico muy simple en apariencia y está representado por una ecuación logística. Creado por el biólogo Rober May que utilizó para el estudio de la evolución de la población de insectos en un sistema cerrado. (Strien & Melo, 2012).

3.2.5.1. Definición

Básicamente, este sistema es discreto y además unidimensional y viene dado por la siguiente fórmula:

𝑥_𝑘+1 = 𝜇𝑥_𝑘(1 − 𝑥𝑘)

Donde la constante 𝜇 oscila entre 0 < 𝜇 < 4. El espacio de fases del sistema es

en el intervalo [0,1]

3.2.5.2. Comportamiento caótico

Incluso en sistemas de una sola dimensión, es posible generar comportamientos caóticos y para demostrar este efecto es necesario conocer los puntos fijos y periódicos. En este caso, se describe los mismos para la ecuación logística descrita en el punto anterior.

𝑥_𝑘+1 = 𝜇𝑥_𝑘(1 − 𝑥𝑘)

Los puntos fijos deben cumplir la regla 𝑥_𝑘+1 = 𝑥_𝑘. En este sentido y tras

operaciones matemáticas se comprueba que las soluciones son:

𝑝₀ = 0 y 𝑝_𝜇 =𝜇−1

44 3.2.5.2.1. Caso 𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 𝟏

Si 𝜇 = 0, entonces el sistema alberga una tendencia hacia 0 que es el único punto

fijo. Por otro lado, si 0 < 𝜇 < 1, entonces la solución no será válida debido a que

predice puntos fijos que no pertenecen al espacio de fases; por lo cual la solución

vuelve a ser 𝑥 = 0 como el único punto fijo. Finalmente, si 𝜇 = 1, la segunda

solución predice como resultado 𝑥 = 0.

Figura 11: Evolución temporal de la ecuación logística en intervalo 𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 𝟏

Fuente: (Alligood, Sauer, & Yorke, 2000)

En la anterior figura se observa la evolución temporal para cada una de las

condiciones iniciales dentro el intervalo [0,1] con el parámetro 𝜇 = 0.5. Se

45

3.2.5.2.2. Caso 𝟏 < 𝝁 ≤ 𝟑

En este caso, 𝑝_𝜇 ∈ [0,1] por tanto se tiene dos puntos fijos. Al igual que el anterior

caso, se calcula la evolución n-ésima para cada punto del intervalo [0,1],

obteniendo la siguiente figura:

Figura 12: Evolución temporal de la ecuación logística en intervalo 𝟏 < 𝝁 ≤ 𝟑

Fuente: (Alligood, Sauer, & Yorke, 2000)

En la imagen anterior, se traza la evolución temporal para cada una de las

condiciones iniciales dentro el intervalo [0,1] con el parámetro 𝜇 = 1.5. Se

observa la manera en que las órbitas tienden rápidamente al punto 𝑥 = 0.334.

3.2.5.2.3. Caso 𝟑 < 𝝁 ≤ 𝟒

Al momento no ha se ha generado en ningún momento el Caos, mas ahora en este intervalo es dónde cobra sentido el uso de este concepto en la criptografía.

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en este intervalo. Sin embargo, de la misma forma que el intervalo anterior, ambos

vuelven a ser puntos fijos repulsivos21_{. Por lo tanto, los dos únicos puntos fijos del}

sistema son repulsivos y por ende no tiende a un punto fijo atractivo, pues no lo hay.

Al realizar una simulación con 1000 iteraciones, se demuestra que no alcanza el equilibrio y en la siguiente figura en la que se muestran dos puntos a los que la solución tiende alternativamente con lo que se genera de puntos periódicos de periodo dos.

Figura 13:Evolución temporal de la ecuación logística en intervalo 𝟑 < 𝝁 ≤ 𝟒

Fuente: (Alligood, Sauer, & Yorke, 2000)

En la imagen anterior, se traza la evolución temporal para cada una de las

condiciones iniciales dentro el intervalo [0,1] con el parámetro 𝜇 = 3.2. Se

21 _{Es un punto que una pequeña perturbación de la posición saca rápidamente al sistema de su}

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observa que la evolución del sistema no tiende a un punto fijo como antes, sino que pareciera que tiende a dos puntos diferentes por igual.

Se demuestra que para el punto 𝜇 = 3, el punto 𝑝_𝜇 pasa de ser fijo atractivo a ser

fijo repulsivo dividiéndose en dos puntos atractivos de periodo dos, lo que genera el fenómeno denominado “duplicación de periodo”. Este efecto tiende a

incrementar cuando aumenta 𝜇, ya que estos dos puntos dan lugar a otros cuatro

puntos periódicos atractivos de periodo cuatro. Generalizando, antes de llegar al

valor 𝜇 = 4, los resultados empiezan a doblarse y doblarse de tal manera que

llega a un punto en el que el número de puntos periódicos en el intervalo [0,1] es

muy denso llegando a generar un sistema caótico. La representación de este efecto se denomina figura de Feigenbaum y se muestra a continuación:

Figura 14: Gráfico de Feigenbaum

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El aspecto fractal de la figura denota uno de los aspectos de la aparición del Caos, la multiplicación de los puntos periódicos del sistema. Se observa como el

intervalo [0,1], el sistema tiende a 0; el intervalo [1,3] tiende a un número distinto

de 0 y que varía con 𝜇. Al pasar por el punto 3, aparecen dos puntos periódicos,

pero pronto se observa que estos a su vez se subdividen en más adelante. Claramente, antes de llegar a 4, el sistema se ha descontrolado y es impredecible por tanto el Caos se ha generado. (Alligood, Sauer, & Yorke, 2000)

Debido a la aplicación de la teoría del caos sobre criptografía, se describen a continuación las propiedades más importantes de los sistemas caóticos para tal efecto:

 Alta sensibilidad a condiciones iniciales

 Ergodicidad

 Espectro de banda ancha

 Pseudo-aleatorio

 Sin periodicidad

3.3. SEGURIDAD Y CRIPTOGRAFÍA

En las últimas décadas, varios investigadores dieron cuenta de una fuerte relación entre caos y criptografía. En realidad, el caos y el ruido en sistemas reales, son dos comportamientos válidos e irregulares y por tanto el uso de ellos en criptografía es de igual manera válido. Una de las ventajas del sistema caótico visto en el anterior punto (apartado 2.2) es la naturaleza determinística la cual facilita al proceso de desencriptación. (Pisarchik & Zanin, 2008). Todos estos antecedentes hicieron que las técnicas criptográficas se dividan en dos grupos en base al enfoque: basadas en caos y no basadas en caos. (Sankpal & Vijaya, 2014). A continuación se describe el cifrado o encriptación caótica en conjunto con conceptos teóricos que relacionan ambas directrices del trabajo (caos y seguridad) y su aplicación en el objeto de estudio (imágenes digitales).

49 3.3.1. Definición

Criptografía es la ciencia que se encarga de proteger la privacidad de la información durante una comunicación bajo condiciones hostiles.

3.3.2. Cifrado de imágenes

El cifrado puede ser definido como la conversión de un texto plano en un texto cifrado que no puede ser entendida por ninguna persona sin haber desencriptado previamente el texto encriptado. La desencriptación es el proceso inverso al cifrado que consiste en retornar al estado original del texto (texto en plano) de tal manera que pueda ser entendida.

3.3.3. Criptografía caótica

En 1989, (Matthews, 1989) propuso por primera vez la aplicación de conceptos propios de la teoría del caos dentro de la algoritmia dirigida a la criptografía. La sensibilidad en la dependencia sobre las condiciones iniciales es el resultado del comportamiento randómico que ofrecen los sistemas dinámicos caótico por su naturaleza determinística. Debido a que estos sistemas no pueden ser especificados con alta precisión, el comportamiento de los sistemas caóticos se torna tan impredecible que se asemeja al ruido. Esto supone una estrecha relación entre criptografía y caos que convierte a los algoritmos criptográficos basados en caos un candidato ideal para securizar no solo recursos, sino también canales de comunicación.

Los algoritmos criptográficos y los mapas caóticos guardan similitudes y diferencias. Algunas propiedades similares entre ambos son: sensibilidad a cambios en las condiciones iniciales y control de parámetros, comportamiento pseudoaleatorios y orbitas periódicas inestables con periodos largos. El principio básico en el cifrado de imágenes a través del caos se basa en la habilidad de algunos sistemas dinámicos de producir una secuencia de números que son aleatorios por naturaleza. Una diferencia importante entre ambos conceptos es que las transformaciones del cifrado son definidas por conjuntos finitos, mientras

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que los mapas caóticos aplican solamente para números reales. A continuación se listan las diferencias y similitudes entre ambos conceptos: (Sankpal & Vijaya, 2014)

Tabla 5: Similitudes y Diferencias entre Caos y Criptografía

Sistemas Caóticos Algoritmos Criptográficos

Espacio de Fase: Conjunto de números reales

Espacio de Fase: Finito. Conjunto de números enteros

Iteraciones Rondas

Parámetros Llaves

Sensible a condiciones iniciales y

control de parámetros Difusión

Fuente: (Sankpal & Vijaya, 2014)

3.3.4. Confusión y Difusión

Muchas características del caos, como la ergodicidad, espectro de banda ancha, la alta sensibilidad a condiciones iniciales, etc., están conectadas directamente con las dos propiedades básicas de los cifradores: confusión y difusión. (Zhang, Liao, & Wang, 2005)

La etapa de confusión consiste básicamente en el intercambio de posiciones de los pixeles de tal manera que queden mezclados en toda la imagen digital sin alterar el valor de los pixeles. Para realizar este proceso se requiere de ciertas condiciones iniciales y parámetros de control que en conjunto conforman la llave secreta. Aunque a través de esta etapa la imagen queda irreconocible, no es muy seguro dejarlo en este estado ya que podría ser descifrado por cualquier ataque. En ese entendido y para mejorar la seguridad, la segunda etapa del proceso de encriptación apunta a cambiar el valor de cada pixel de la imagen entera.

El proceso de difusión es llevado a cabo a través del mapa caótico el cual es principalmente dependiente de las condiciones iniciales y los parámetros de control. En esta etapa, el valor los pixeles es modificado secuencialmente por

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medio de una secuencia generada por el sistema caótico. (Sankpal & Vijaya, 2014)

El proceso entero de confusión-difusión se repite por un número determinado de veces para lograr un nivel satisfactorio de seguridad. Además, la propiedad randómica inherente en los mapas caóticos lo convierte en un proceso adecuado para la encriptación de imágenes digitales. Por lo tanto, debido a que la confusión y difusión suponen un desorden determinístico, un sistema criptográfico tradicional puede ser considerado como un sistema caótico o sistema pseudorandómico. (Pisarchik & Zanin, 2008)

Figura 15: Esquema general de un sistema criptográfico

Fuente: (Pisarchik & Zanin, 2008)

Matemáticamente, el esquema del criptosistema puede ser representado de la siguiente manera: (Lian, Sun, & Wang, 2005)

𝑹 = 𝐷𝛼(𝐶𝛽_{(𝑷, 𝐾}

𝐶), 𝐾𝐷)

Donde P y R representan la imagen en plano y la imagen cifrada respectivamente;

C y D representan a las funciones de confusión y difusión; 𝐾_𝐶 y 𝐾_𝐷 corresponden a

las llaves secretas tanto de la confusión como de la difusión; finalmente, 𝛼 y 𝛽

expresan el número de iteraciones para cada etapa. Mientras mayor sea la

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tamaño de la llave, de igual manera aumentará el nivel de seguridad. El tamaño de la llave secreta se define de la siguiente manera: (Pisarchik & Zanin, 2008)

𝑆 = (𝑆_𝐶𝛽𝑆_𝐷)𝛼

Donde 𝑆_𝐶 y 𝑆_𝐷 son el tamaño de las llaves de confusión y difusión

respectivamente y están determinados por el tamaño de llaves de las condiciones iniciales y los parámetros de las funciones de confusión y difusión. Mientras mayor

sean las potencias 𝛼 y 𝛽, mayor será el tamaño de la llave del sistema y por tanto

mayor la seguridad del mismo. Sin embargo, existe un parámetro a tomar en

cuenta llamado EDT22 _{el cual también incrementa en la misma magnitud que 𝛼 y}

𝛽. Por lo tanto, para diseñar el sistema criptográfico se debe realizar un balance

entre la seguridad y la velocidad de procesamiento.

22_{Encryption/Decryption Time}

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In document Cifrado de imágenes digitales basado en teoría del caos: mapas logísticos (página 42-58)