SÁNCHEZ CARRIÓN, Juan Javier (2008) Manual de análisis estadístico de los datos. Madrid: Alianza.
GARCÍA FERRANDO, Manuel (2008) Socioestadística. Introducción a la estadística en sociología. Madrid: Alianza.
35
Introducció
Comparar mitjanes és un dels instruments que tenim per a entendre millor com som en societat. Qui aconsegueix un millor salari, els treballadors amb estudis universitaris o els treballadors amb estudis secundaris? Els homes o les dones? Quina és l’edat mitjana d’inici en el consum d’alcohol de les persones escolaritzades en centres educatius amb programes de promoció de la salut i d’aquelles que han sigut escolaritzades sense aquest tipus de programes? Difereix la valoració política que els votants del PSOE i el PP fan de Rosa Diez d’Unión, Progreso y Democracia (UpyD)?
Objectius:
• Calcular l’interval de confiança per a la diferència de dues mitjanes de mostres independents.
• Comprovar la hipòtesi de la diferència de mitjanes de dues mostres independents.
• Interpretar el valor p
• Fer un contrast de mitjanes amb dades d’una enquesta d’opinió
Primera explicació
En aquesta unitat aprendrem a comparar dues mitjanes de mostres independents.
Notació:
Els símbols que utilitzarem per a referir-nos als paràmetres (de les poblacions 1 i 2) i als estadístics (de les mostres 1 i 2) són:
Població 1 Població 2 Mostra 1 Mostra 2
Mitjana μ 1 1
Y
μ2Y
2 y1 y2 Desviació típica (standard deviation) σ1 S1 σ2 S2 s1 s2 Nombre de casos N1 N2 n1 n2Notes:
• En el cas de la població, alguns manuals utilitzen els caràcters grecs i uns altres les lletres llatines en majúscules. Per exemple, Sánchez Carrión opta per utilitzar les lletres llatines.
• En alguns manuals es prefereix la lletra x i en uns altres la lletra y per a referir-se a les variables que s’estan estudiant. Ací s’ha optat per la
36 Socioestadística II
lletra y en ser la que prefereix Sánchez Carrión en el manual que utilitzem com a referència.
Exemple:
Podem partir d’un exemple per a començar l’explicació. En una mostra d’una empresa multinacional hem obtingut que les dones cobren 710 euros, mentre que els homes 1.040 euros. El nombre d’empleats en la mostra és de 53 dones i 47 de homes. Suposem que la desviació típica dels salaris en les dues poblacions és igual a 110 i que les dues tenen una distribució normal. Cobren el mateix salari els homes i les dones d’aquesta empresa?
Per a saber-ho, hem de començar pensant quina serà la distribució mostral de la diferència de mitjanes. La distribució mostral de la diferència de mitjanes es pot obtenir amb un procediment similar al tractat en la unitat 1 per a una sola població. És a dir, es poden extraure infinites mostres de grandària n1 , n2.
Cada vegada es calcularia la mitjana (y1 , y2) i la desviació típica (s1 , s2). Per
a cada parell de mostres es podria calcular la diferència de mitjanes ( y1 – y2 =
d
).Igual que ocorria quan fèiem això amb una única població, s’observarà que: • La diferència entre les mitjanes de cada parell de mostres tendeix a ser
igual a la diferència entre les mitjanes de les dues poblacions.
• La desviació típica de la mitjana de les infinites mostres depèn de la grandària de les mostres ( n1 , n2 )
• La forma de la distribució mostral tendeix a ser igual a la distribució de la corba normal, a mesura que augmenta la grandària de les mostres ( n1 , n2 ).
En definitiva, la gran notícia és que el TLC i la LGN s’aplica també a la distribució mostral de la diferència de mitjanes de dues poblacions independents.
Com recordaràs l’error típic amb una mostra era igual a
n
S
y=
σ
D’igual manera, l’error típic elevat al quadrat, seria igual a
n
S
y2
2
=σ
En el cas de la distribució mostral de la diferència de mitjanes de mostres independents l’error típic serà igual a la suma dels errors típics.
De manera que: 2 2 2 1 2 1 2
)
(
1 2n
n
S
y−y=σ
+σ
3. Comparació de dues mitjanes 37
L’error típic de la distribució mostral seria per tant:
2 2 2 1 2 1 2 1
n
n
S
y−y=
σ
+σ
Seguint amb el nostre exemple sobre el salari d’homes i dones teníem les dades següents:
Dèiem que “les dones d’una empresa cobren 710 euros, mentre que els homes 1.040. El nombre d’empleats és 53 dones i 47 homes. La desviació típica és igual 110 en les dues poblacions, és a dir:
Mostra 1 Dones Mostra 2 Homes Mitjana 1 y 710 y2 1040 Desviació típica s1 110 s2 110 Nombre de casos n1 53 n2 47 De manera que: 2 1 y y − = 710 – 1040 = -330
En conèixer que la desviació típica en les dues poblacions és igual a 110, podem aplicar la fórmula següent per al càlcul de l’error típic de la distribució mostral.
04
,
22
47
110
53
110
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1−=
+
=
+
=
n
s
n
s
S
y yA partir de l’error típic podrem calcular l’interval de confiança per a la diferència de les mitjanes.
Recordem abans com calculàvem l’interval de confiança amb una mostra. Quan treballàvem amb una única mitjana l’interval de confiança era el resultat de
IC(μ) =
y±(z
n.c.n
s
)
És a dir, la mitjana de la població (paràmetre) es trobava en un interval, amb una probabilitat (nivell de confiança) determinada, el límit inferior del qual es definia per restar-li a la mitjana de la mostra (estadístic) el producte de la puntuació tipificada associada a un determinat nivell de confiança per l’error típic i el límit superior en sumar aquest producte a la mitjana de la mostra. Alerta!, quan la població era normal o la n gran.
38 Socioestadística II
Per tant, suposant normalitat, podem substituir tots els components de la fórmula amb el que coneixem de la distribució mostral de la diferència de mitjanes, és a dir:
)
(
2 2 2 1 2 1 . . 2 1n
s
n
s
z
y
y
−
±
nc+
)
Que, en el nostre exemple, i amb un nivell de confiança del 95%, seria: IC95 = – 330± ( 1,96 * 22,04)
IC95= (-373,2;-286,8)
Com s’interpretaria aquest resultat?
La diferència mitjana de salaris entre homes i dones de l’empresa és de 330 euros favorable als homes. Les dones cobren amb un 95% de confiança entre 373 i 286 euros menys que els homes.