2. Modelos de Elecci´ on Binaria
2.1.4. Maximizaci´on de la Utilidad Aleatoria (RUM)
En los Modelos de Elecci´on Discretase representa el comportamiento de un individuo que se enfrenta a la elecci´on de una ´unica alternativa entre un conjunto finito de alternativas disponibles. La teor´ıa de la utilidad aleatoria parte de un individuo perfectamente racional que siempre opta por la alternativa que le supone una mayor utilidad. La utilidad que le reporta al individuo n la alternativa j es Unj, completamente conocida por el que realiza la elecci´on. Desde el punto de vista econ´omico, Unj es una funci´on de utilidad indirecta condicional 2. De este modo el
individuon escoger´a la alternativa i si y s´olo si
Uni > Unj,∀j 6=i (2.1.6) Note que en el modelo (2.1.4), la variable aleatoria determin´ıstica Vnj ser´a una funci´on de una serie de atributos observados (medidos) de las alternativas y del propio individuo, que se denominar´anxnj. Esta funci´on requerir´a para su calibraci´on el ajuste de unos par´ametros β.
Vnj =f(xnj|β) (2.1.7)
En la mayor parte de los modelos de elecci´on discreta que se emplean en la actualidad, se emplean funciones lineales en los par´ametros para representar esta
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utilidad representativa y se considera que los par´ametrosβson constantes para todos los individuos pero pueden variar entre unas alternativas y otras, de este modo:
Vnj = K
X
k=1
βkjxknj (2.1.8)
En general se define ǫnj como la diferencia entre el valor real de la utilidad y el valor que observa el analista. De este modo, las caracter´ısticas de ǫnj van a depender de la forma en la que el analista haya representado la elecci´on. El error no est´a definido para una situaci´on de elecci´on en s´ı, sino para la especificaci´on que el analista haya hecho de esa situaci´on.3
Si el analista fuese capaz de determinar con absoluta precisi´on el valor de todas las variables que explican la conducta del elector, as´ı como la forma precisa en la que influyen, el valor del error ser´ıa cero. Si ´unicamente fuese debido a los errores de medici´on de las variables podr´ıa ser un simple ruido blanco. En la medida en que este error se deba a la ausencia en el modelo de variables explicativas o a diferencias en la especificaci´on de la influencia de ´estas en el comportamiento, la distribuci´on de estos errores y las correlaciones entre los errores de las distintas alternativas, los distintos individuos o las elecciones de un mismo individuo podr´an ser diferentes.
Si bien la elecci´on del individuo, bajo las hip´otesis mencionadas, es plenamente determinista; el analista no va a conocer el valor de las utilidades reales, por lo que lo ´unico que va a poder conocer es la probabilidad de que una alternativa sea la de mayor utilidad.
Como se ha comentado, el t´ermino ǫnj se trata como un error aleatorio de media cero. Si se denomina f(ǫn) a la funci´on de densidad conjunta del vector aleatorio ǫn = (ǫn1, ǫn2, . . . , ǫnJ) se puede estimar la probabilidad que el individuo escoja
cada una de las alternativas, dado que conoce la utilidad representativa Vjn. La probabilidad de que el individuon escoja la alternativa i ser´a:
Pni = P(Uni > Unj), ∀j 6=i
= P(Vni+ǫni ≥Vnj+ǫnj), ∀j 6=i = P(ǫnj−ǫni ≤Vni−Vnj), ∀j 6=i
Esta es la probabilidad de que cada t´ermino aleatorioǫnj−ǫni sea inferior a una cantidad observada Vni −Vnj, por lo tanto se trata de una funci´on de distribuci´on acumulada. A partir de la funci´on de densidad conjuntaf(ǫn) se puede calcular esta
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2.1 Generalidades 31 probabilidad como:
Pni = P(ǫnj−ǫni ≤Vni−Vnj), ∀j 6=i (2.1.9) =
Z
i
I(ǫnj −ǫni ≤Vni−Vnj)f(ǫn)dǫn ∀j 6=i
Siendo I(·) una funci´on indicadora que valga uno si el individuo ha escogido la
alternativa i y cero en otro caso. Dependiendo de la distribuci´on que cada modelo asuma para el ǫnj se tendr´a un valor cerrado de esta integral (en modelos como el Logit o el Logit jer´arquico) o tendr´a que ser evaluada num´ericamente por simulaci´on (como en el probit o el Logit mixto).
El proceso de calibrado del modelo consistir´a en la estimaci´on de los valores de los coeficientes βkj. (k = 1, . . . , K j = 1, . . . , J). El procedimiento m´as empleado es tomar como estimadores aquellos valores que maximicen la verosimilitud de la muestra utilizada. La funci´on de verosimilitud de una muestra determinada ser´a en general: L(β) = N Y n=1 Y i (Pni)yni (2.1.10) con yni = (
1, si el individuo n ha escogido la alternativai; 0, e.o.c.
Para facilitar la maximizaci´on num´erica se trabaja con el logaritmo neperiano de la verosimilitud, esto es,
£= logL(β) = N X n=1 X i yniln(Pni) (2.1.11)
El estimador es el valor de β que maximiza la funci´on de log-verosimilitud. Para hallar el estimador de β existen diversos procedimientos num´ericos, en algunos casos se utilizan m´etodos de estimaci´on, principalmente con modelos que requieren simulaci´on para calcular la probabilidad, como es el caso delM´etodo de M´axima Verosimilitud Simulada (MSL) el cual requiere condiciones estrictas para que el estimador sea consistente, eficiente y asint´oticamente normal.
La elecci´on observada ´unicamente proporciona informaci´on acerca de cu´al de las utilidades es mayor. Por lo tanto, no se puede determinar la escala ni el nivel de utilidades, ya que un cambio en ´estos, igual para todas las utilidades, no va a modificar el hecho de que la utilidad de una alternativa sea mayor que la de otra. En este caso se podr´a normalizar el modelo en cuanto a escala y nivel, en un proceso
conocido como identificaci´on.
Por este motivo, no pueden estimarse todos los par´ametros de los modelos, ni todos los elementos de la matriz de covarianza4 que caracteriza la distribuci´on
conjunta de los t´erminos de error.