CAPÍTULO 5. Series de tiempo
5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares
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Series de tiempo
oda institución, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tienen que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en día diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de planificar, prever o prevenir.
Debido a que las condiciones económicas y comerciales varían en el tiempo, los líderes de los negocios deben encontrar formas de mantenerse al día respecto a los efectos que esos cambios tendrán en sus operaciones. Una técnica que pueden usar los líderes de negocios como ayuda en la planeación de las necesidades operativas en lo futuro es el pronóstico. Aunque se han desarrollado numerosos métodos para pronosticar, todos tienen un objetivo común, predecir los eventos futuros de manera que las proyecciones se puedan incorporar en el proceso de toma de decisiones.
Suponga que necesitamos hacer pronósticos trimestrales para el volumen de ventas de determinado producto durante el próximo año. Los programas de producción, las compras de materias primas, las políticas de inventarios y las cuotas de venta serán afectados, todos, por esos pronósticos. Entonces, los malos pronósticos darán como resultado una mala planeación y, en consecuencia, aumentarán los costos de la empresa. ¿Cómo se hace para elaborar los pronósticos trimestrales del volumen de ventas?
Desde luego que se deben considerar los datos reales de ventas del producto en periodos pasados. Con tales datos históricos podemos identificar el nivel general de ventas y cualquier tendencia, como aumento o disminución en el volumen a través del tiempo. Por ejemplo, un examen más detallado de los datos puede revelar un comportamiento estacional, como el de los picos que se presentan en el tercer trimestre de cada año y los mínimos durante el primer trimestre. Al repasar los datos históricos se puede, con frecuencia, adquirir una mejor comprensión de la tendencia de las ventas en el pasado para poder pronosticar las ventas del producto en el futuro de una mejor manera.
Las ventas históricas forman una serie de tiempo que es un conjunto de observaciones de una variable medida en puntos o periodos sucesivos en el tiempo.
En esencia, existen dos enfoques de pronósticos: cualitativo y cuantitativo. Los métodos de pronóstico cualitativos son importantes en especial cuando no se dispone de datos históricos, como sería el caso de un departamento de finanzas que desea pronosticar los ingresos de una compañía nueva. Los métodos de pronóstico cualitativos se consideran altamente subjetivos o basados en la opinión. Incluyen el método de elaboración de escenarios, la opinión de expertos y la técnica Delphi.
Método Delphi. El método délfico, desarrollado en principio por un grupo de investigación de la Rand Corporation. Trata de determinar pronósticos mediante ¨consenso de grupo¨. En forma normal, a los miembros de un equipo de expertos, todos ellos separados físicamente y desconocidos entre sí, se les pide contestar una serie de cuestionarios. Se tabulan las respuestas del primer cuestionario y éstas se usan para preparar un segundo cuestionario que contiene la información y las opiniones de todo el grupo. A continuación se pide a cada encuestado reconsiderar y, posiblemente, corregir sus respuestas anteriores a la vista de la información obtenida con el grupo.
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Este proceso continua hasta que el coordinador siente que ha alcanzado cierto nivel de consenso. El objetivo del método délfico no es llegar al resultado de una sola respuesta, sino producir un conjunto compacto de opiniones dentro del cual esté la mayoría de los expertos.
Opinión de expertos. Con frecuencia, los pronósticos se basan en el juicio de un solo experto, o representan el consenso de un grupo de expertos. Por ejemplo, cada año se reúne un grupo de expertos en Merrill Lynch con el fin de pronosticar el nivel del promedio industrial Dow Jones y la tasa prima para el siguiente año. Al hacerlo, los expertos se basan, de manera individual en información que cree que influye en el mercado accionario y las tasas de interés, a continuación combinan sus conclusiones en forma de un pronóstico. No se usa modelo formal alguno, y es improbable que dos expertos cualesquiera visualicen de la misma forma la misma observación.
La opinión de expertos es un método de pronóstico que se recomienda normalmente cuando es probable que las condiciones en el pasado no rijan en el futuro. Aunque no se usa modelo cuantitativo formal, el juicio experto ha producido buenos pronósticos en muchos casos.
Elaboración de escenarios. Este método consiste en desarrollar un escenario conceptual del futuro, basado en un conjunto bien definido de supuestos. Los distintos conjuntos de supuestos producen diferentes escenarios. La tarea de quien toma decisiones es decidir lo probable que es cada escenario y, a continuación, tomar las decisiones pertinentes.
Por otro lado, los métodos de pronóstico cuantitativo utilizan los datos históricos. La meta es estudiar lo que ocurrió en el pasado para entender mejor la estructura fundamental de los datos y proporcionar los medios necesarios para predecir los sucesos futuros.
Los métodos de pronóstico cuantitativos se dividen en dos tipos: series de tiempo y causales.
Los métodos de pronóstico de series de tiempo implican la proyección de los valores futuros de una variable basada por completo en las observaciones pasadas y presentes de esa variable.
Series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de valores numéricos obtenidos en periodos iguales en el tiempo
Los métodos de pronóstico causales comprenden la determinación de factores relacionados con la variable que se predice, e incluyen análisis con variables retrasadas, modelado econométrico, análisis de indicador líder, índice de difusión y otros medidores económicos más allá del alcance de este libro. La figura 5.1 representa una perspectiva de los métodos de pronóstico.
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Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González Figura 5.1 Clasificación de los métodos de pronósticos
5.1. Modelo clásico de series de tiempo
La suposición fundamental del análisis de series de tiempo es que los factores que han influido en los patrones de actividad en el pasado y el presente tendrán más o menos la misma influencia en lo futuro. Entonces la meta principal del análisis de series de tiempo es: identificar y aislar estos factores de influencia con el fin de realizar predicciones (pronosticar), así como fines administrativos de planeación y control.
Para conseguir estas metas, se han desarrollado muchos modelos matemáticos que exploran las fluctuaciones entre los factores que componen una serie de tiempo. Tal vez el más esencial sea el modelo multiplicativo clásico para datos registrados cada año, trimestre o mes. En principio, el modelo multiplicativo clásico se usará para pronosticar. Otras aplicaciones incluyen un análisis detallado de los componentes particulares mediante la descomposición de las series de tiempo. Por ejemplo, con frecuencia los economistas estudian una serie de tiempo anual, trimestral o mensual para filtrar el componente cíclico y evaluar su movimiento respecto a la actividad económica general. No obstante, las aplicaciones de la descomposición de una serie de tiempo están fuera de los objetivos de este libro.
Para exponer el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo, en la figura 5.2 se presentan los ingresos brutos reales de Eastman Kodak Company de 1975 a 1998. Si se intenta observar las características de esta serie de tiempo, es evidente que los ingresos reales muestran una propensión a aumentar en este periodo de 24 años. Esta inclinación global a largo plazo o impresión de un movimiento hacia arriba o hacia abajo se conoce como tendencia
Método de pronostico
Cuantitativos
Causales Serietemporal
Suavizamiento
Proyección de tendencia
Proyección de tendencia ajustada por influencia estacional
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Figura 5.2 Gráfica de ingresos netos reales (en miles de millones de dólares) de Eastman Kodak Company (1975-1998)
Sin embargo, la tendencia no es el único factor componente que influye en estos datos en particular o en otra serie de tiempo anual. Otros dos factores, el componente cíclico y el componente irregular, están presentes en los datos.
El componente cíclico describe la oscilación o movimiento hacia arriba o hacia abajo en una serie de tiempo. Los movimientos cíclicos varían en longitud, en general, duran de 2 a 10 años; difieren en intensidad o amplitud, y a menudo se relacionan con los ciclos de los negocios. En algunos años los valores serán más altos que los pronosticados por una sencilla recta de tendencia lineal (es decir, se encuentran en o cerca de un pico) de un ciclo); en otros años los valores serán menores que el pronóstico de una recta de tendencia (esto es, están en o cerca del fondo o depresión de un ciclo). Cualquier dato observado que no siga la tendencia curva modificada por el componente cíclico es un indicio del componente aleatorio o irregular. Cuando los datos se registran por mes o trimestre, se considera un componente adicional llamado factor estacional junto con los componentes de tendencia, cíclico e irregular.
Los tres o cuatro componentes que influyen en una serie de tiempo económica o de negocios se resumen en la tabla 5.1. El modelo multiplicativo clásico de series de tiempo establece que todo valor observado en una serie de tiempo es el producto de estos factores de influencia; es decir, cuando los datos se obtienen cada año, una observación registrada en el año se puede expresar por la ecuación (5.1)
Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos anuales (5.1) donde, en el año i
= valor del componente de tendencia = valor del componente cíclico = valor del componente irregular
Modelo clásico 143
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Cuando los datos se obtienen por trimestre o por mes, una observación registrada en el periodo puede estar dada por la ecuación (5.2)
Tabla 5.1 Factores que influyen en datos de series de tiempo. Componentes Clasificación del componente Definición Razón de la influencia Duración Tendencias Estacional Cíclico Irregular Sistemático Sistemático Sistemático No sistemático Patrón de movimiento global o persistente, a largo plazo hacia arriba o hacia abajo. Fluctuación más o menos regular que ocurre en cada periodo de 12 meses cada año.
Oscilación o movimiento repetitivo arriba o abajo en cuatro 4 etapas; pico(prosperidad), contracción (recesión), fondo (depresión) y expansión (recuperación) Fluctuación errática o residual en una serie que está presente después de tomar en cuenta los efectos sistemáticos (de tendencia, estacional y cíclica) Cambios en tecnología, población, riqueza, Valores. Condiciones de clima, costumbres sociales y religiosas. Interacción de numerosas combinaciones de factores que influyen en la economía
Variaciones aleatorias en los datos o debidas a eventos no previstos como huelgas, huracanes, inundaciones,
asesinatos políticos, tec.
Varios años Dentro de 12 meses (o datos menstruales o trimestrales). De 2 a 10 años con diferente intensidad en el ciclo completo Corta duración y sin repetición. 5.2. Análisis de fluctuaciones
El primer paso en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el método de promedios móviles o el de suavización exponencial para “emparejar” la serie y
Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos con Componente estacional
(5.2) donde
= valores respectivos del componente de tendencia, cíclico e irregular en el periodo
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proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral.
El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la tendencia, el cíclico, el estacional y el irregular para definir valores específicos de la serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes.
El gráfico de la serie permitirá:
a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un
outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.
Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la siguiente situación ver figura 5.3:
Figura 5.3 Producción diaria
Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.
b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento
predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo.
c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un
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año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc.
Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + ks).
Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:
1) en invierno las ventas de helado 2) en verano la venta de lana 3) exportación de fruta en marzo.
Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)
d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al
azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas.
Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia,
estacionalidad y un término de error aleatorio.
Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:
1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)
2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t)
3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t)
donde:
X(t) serie observada en instante t
T(t) componente de tendencia E(t) componente estacional
A(t) componente aleatoria (accidental)
Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.
Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.
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5.3. Análisis de tendencia
En el análisis de serie de tiempo, las mediciones pueden efectuarse cada hora, día, semana, mes o año o en cualquier otro intervalo regular periódico. Aunque los datos de serie de tiempo presentan, por lo general, fluctuaciones aleatorias, esta serie puede mostrar también desplazamientos o movimientos graduales hacia valores relativamente mayores o menores a lo largo de un lapso importante de tiempo. El desplazamiento gradual de la serie de tiempo se llama tendencia de esa serie; este desplazamiento o tendencia es, por lo común, el resultado de factores a largo plazo, como cambios en la población, características demográficas de la misma, la tecnología y/o las preferencias del consumidor.
Por ejemplo, un fabricante de bicicletas podría detectar cierta variabilidad, de año a año, en la cantidad de bicicletas vendidas. Sin embargo, al revisar las ventas durante los últimos 10 años, puede encontrar que hay un aumento gradual en el volumen anual de ventas. Suponga que sus ventas fueron:
Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ventas (miles) 21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4
Este crecimiento anual de las ventas a través del tiempo muestra una tendencia creciente de la serie de tiempo. La figura 5.4 presenta una recta que puede ser una buena aproximación a la tendencia de las ventas de bicicletas. Aunque esa tendencia parece ser lineal y aumentar con el tiempo a veces, en una serie de tiempo, la tendencia se puede describir mejor mediante otros patrones.
Figura 5.4 Tendencia lineal de las ventas de bicicletas
Si al graficar nuestros datos observamos de manera clara la tendencia lineal a largo plazo (no importando si es positiva o negativa), entonces estaremos en la posición de pronosticar con un buen nivel de confianza, con alguno de los métodos que se indicaran más adelante.
La figura 5.5 muestra otros patrones posibles de tendencia. La sección A representa una tendencia no lineal; en este caso, la serie de tiempo crece poco al principio; luego tiene un crecimiento rápido y, finalmente, se nivela.
0 5 10 15 20 25 30 35 0 2 4 6 8 10 12 V e n ta (m ile s) Año
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Esa tendencia podría ser una buena aproximación de las ventas de un producto, desde su introducción, pasando por un periodo de crecimiento y llegando a una etapa de saturación del mercado. La tendencia lineal decreciente en la sección B se aplica a una serie de tiempo que tenga una disminución continua a través del tiempo. La recta horizontal de la sección C representa una serie de tiempo que no tiene aumento o disminución consistentes a través del tiempo y que, en consecuencia, no tiene tendencia.
Figura 5.5 Ejemplos de algunos posibles patrones de tendencia en series de tiempo
A B C
5.4. Análisis de variaciones cíclicas
Aunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a través de periodos grandes, sus valores no caerán con exactitud sobre la línea de tendencia. De hecho, con frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la línea de tendencia, que dura más de un año, se puede atribuir a un componente cíclico de la serie. La figura 5.6 es la gráfica de una serie de tiempo con un componente cíclico obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un año.
Figura 5.6 Componente de tendencia y cíclico de una serie de tiempo con datos anuales
Los ciclos aparecen como series de Observaciones sobre y debajo
V de la línea de tendencia o l u m e n Línea de tendencia Tiempo
Muchas series se tiempo presentan comportamiento cíclico con tramos regulares de observaciones abajo y arriba de la línea de tendencia. En general, este comportamiento de la serie se debe a movimientos cíclicos de la economía a través de varios años. Por ejemplo, los periodos de inflación moderada seguidos de periodos de
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inflación rápida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de una línea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la década de los ochenta presentaron este comportamiento