3. ANTONIMIA Y SUPLEMENTARIDAD
3.3. Medidas antónimas: suplementaridad
3.3.2. Medidas de suplementaridad: caso intuicionista
En este apartado se aborda el estudio de la suplementaridad en la estructura de los A-IFSs, para lo que se sigue un procedimiento paralelo al caso borroso.
Denición 3.3.10. Sea S una t-conorma intuicionista. DadoX ̸=∅, dos A-IFSs χA, χB ∈ LX se dice que sonS-suplementarios siS ◦(χA×χB) = χ1L, es decir, siS(χA(x), χB(x)) = 1
L para todo x∈X.
Axiomas para medir la suplementaridad
A continuación se formulan los axiomas de medida de suplementaridad entre dos A-IFSs. Denición 3.3.11. Sea S una t-conorma intuicionista. Dado X ̸= ∅, una función S : LX ×LX →[0,1]se dice que es una medida de S-suplementaridad sobre LX si verica:
(i) S(χ1L, χ1L) = 1.
(ii) Dados χA, χB ∈ LX no S-suplementarios, esto es, S ◦(χA× χB) ̸= χ1L, entonces
S(χA, χB) = 0.
(iii) Simetría: S(χA, χB) =S(χB, χA) para cualesquiera χA, χB ∈LX.
(iv) Monotonía: Dados χA, χB ∈ LX con χA ≤L χB, se tiene que S(χA, χC)≤ S(χB, χC) para todo χC ∈LX.
Denotaremos por SS(LX) al conjunto de todas las medidas de S-suplementaridad sobre
los A-IFSs de X.
Relación de las medidas de suplementaridad con las de incompatibilidad
Seguidamente se presenta un resultado que establece, para el caso intuicionista, la relación entre las medidas de incompatibilidad y las de suplementaridad. Previamente se introduce el lema que se indica a continuación.
Lema 3.3.12. SeanX ̸=∅, φ, ψ∈ A([0,1])recíprocos (esto es, tales queψ(a) = 1−φ(1−a) para todoa ∈[0,1]),I una medida deTWφ[Wφ]∗-incompatibilidad ySuna medida deS[Wψ]∗Wψ- suplementaridad. Entonces, para cadaχA= (µA, νA), χB= (µB, νB)∈LX tal que existex∈X
con φ(µA(x)) +φ(µB(x))̸= 1, se verica que I(χA, χB) = 0 ó S(χA, χB) = 0.
Demostración. Si I(χA, χB) = 0̸ , entonces TWφ[Wφ]∗(χ
A(x), χB(x)) = 0
L para todo x ∈ X, por lo queWφ(µA(x), µB(x)) = 0para todox∈X, en consecuencia,φ(µA(x))+φ(µB(x))≤1
para todo x ∈ X. Como, por hipótesis, φ y ψ son recíprocos y existe x ∈ X tal que φ(µA(x)) +φ(µB(x))<1, resulta que [Wψ]∗(µA(x), µB(x)) Observación 2.1.5 = [W∗]φ(µA(x), µB(x)) = φ−1(m´ın{φ(µA(x)) +φ(µB(x)),1}) < 1. Así, S[Wψ]∗Wψ(χ A, χB) ̸= 1
L y S(χA, χB) = 0. Análogamente se tiene que I(χA, χB) = 0 si
S(χA, χB)̸= 0.
Proposición 3.3.13. Sean X ̸= ∅ y φ, ψ ∈ A([0,1]) recíprocos. Si I es una medida de
TWφ[Wφ]∗-incompatibilidad y S es una medida de S[Wψ]∗Wψ-suplementaridad tales que para cada (χA, χB) ∈ LX × LX que verican φ(µ
A(x)) +φ(µB(x)) = 1 para todo x ∈ X es I(χA, χB) = 0 ó S(χA, χB) = 0, entonces I y S son N-antónimas para cualquier negación
fuerte N.
Demostración. Obsérvese queI,S∈M(LX)y son tales queI es una≥
L×L-medida borrosa
y S es una ≤L×L-medida borrosa. Ahora para comprobar que se verican los axiomas de
antónimo se procede como en la prueba del Corolario 3.3.4. Construcción de medidas de suplementaridad
A continuación se construyen algunas medidas de suplementaridad respecto a t-conormas intuicionistas representables utilizando medidas de incompatibilidad e involuciones. Además, en algunos casos, las medidas de incompatibilidad de las que se parte y las de suplementaridad así obtenidas resultan antónimas.
Teorema 3.3.14. Sean φ, ψ ∈ A([0,1]) recíprocos y Nφ la IFN fuerte determinada por φ. Dado X ̸= ∅, considérense las involuciones αb1,αb2 de LX ×LX denidas, respectivamente,
para cada (χ1, χ2)∈LX ×LX, por b α1(χ1, χ2) = (Nφ◦χ1,Nφ◦χ2) b α2(χ1, χ2) = (Nφ◦χ2,Nφ◦χ1). Si I ∈ITWφ[Wφ]∗(L X), entoncesS 1 =I ◦αb1, S2 =I ◦αb2 ∈SS[Wψ]∗Wψ(L X).
Demostración. Sólo haremos la prueba de S1, ya que la de S2 es similar. Los axiomas (i),
(iii) y (iv) de la denición de medida de suplementaridad se comprueban trivialmente. Con respecto al axioma (ii): Sean χA = (µA, νA), χB = (µB, νB) ∈ LX y supongamos que existe
x ∈ X tal que S[Wψ]∗Wψ(χ
A(x), χB(x)) ̸= 1
L. Entonces, como [Wψ]∗ = [W∗]φ, se tiene que
φ(µA(x))+φ(µB(x))<1óψ(νA(x))+ψ(νB(x))>1. Pero si se verica esta última condición,
comoφyψ son recíprocos, resulta queφ(µA(x)) +φ(µB(x))≤φ(1−νA(x)) +φ(1−νB(x)) =
1−ψ(νA(x)) + 1−ψ(νB(x))<1 + 1−1 = 1. Así, basta considerar el primer caso.
Si φ(µA(x)) +φ(µB(x)) < 1, entonces ψ(ψ−1(φ(µA(x)))) +ψ(ψ−1(φ(µB(x)))) < 1, y
dado que ψ−1(a) = 1−φ−1(1−a) para todoa ∈[0,1], se tiene que
ψ(1−φ−1(1−(φ(µA(x))))) +ψ(1−φ−1(1−(φ(µB(x)))))<1,
es decir,
ψ(1−Nφ(µA(x))) +ψ(1−Nφ(µB(x)))<1,
así existe x∈X tal que [W∗]ψ(1−Nφ(µA(x)),1−Nφ(µB(x)))<1.
Por lo que TWφ[Wφ]∗((Nφ◦χ A)(x),(Nφ◦χB)(x)) = TWφ[W∗]ψ((Nφ◦χ A )(x),(Nφ◦χB)(x)) = (Wφ(Nφ(1−νA(x)), Nφ(1−νB(x))),[W∗]ψ(1−Nφ(µA(x)),1−Nφ(µB(x)))) ̸ = 0L.
Luego, por el axioma (ii) de la denición de medida de incompatibilidad, se tiene que
S1(χA, χB) = (I ◦αb1)(χA, χB) = I(Nφ◦χA,Nφ◦χB) = 0. Así, S1 ∈SS[Wψ]∗Wψ(L
Ejemplo 3.3.15. SeanX ̸=∅,φ, ψ∈ A([0,1])recíprocos,Nφla IFN fuerte determinada por φy αb1 la involución dada, para cada(χ1, χ2)∈LX×LX, porαb1(χ1, χ2) = (Nφ◦χ1,Nφ◦χ2).
Si se considera la medida de TWφ[W∗]ψ-incompatibilidadIφψ:L
X ×LX →[0,1] denida en el
Teorema 2.2.17, para cada χA= (µ
A, νA), χB= (µB, νB)∈LX, por Iφψ(χA, χB) = m´ax { 0,m´ın { 1−sup x∈X (φ(µA(x)) +φ(µB(x))),´ınf x∈X(ψ(νA(x)) +ψ(νB(x)))−1 }} , entonces la función Sφψ(χA, χB) = (Iφψ◦αb1)(χA, χB) = Iφψ(Nφ◦χA,Nφ◦χB) = m´ax { 0,m´ın { 1−sup x∈X (φ(φ−1(1−φ(1−νA(x)))) +φ(φ−1(1−φ(1−νB(x))))), ´ınf x∈X(ψ(1−φ −1(1−φ(µ A(x)))) +ψ(1−φ−1(1−φ(µB(x)))))−1 }} = m´ax { 0,m´ın { 1−sup x∈X (1−φ(1−νA(x)) + 1−φ(1−νB(x))), ´ınf x∈X(1−φ(1−(1−φ −1(1−φ(µ A(x)))))+1−φ(1−(1−φ−1(1−φ(µB(x))))))−1 }} = m´ax { 0,m´ın { 1−sup x∈X (ψ(νA(x)) +ψ(νB(x))),´ınf x∈X(φ(µA(x)) +φ(µB(x)))−1 }}
es una medida de S[W∗]φWψ-suplementaridad.
Las medidasIφψ ySφψde este ejemplo verican las condiciones de la Proposición 3.3.13,
por tanto, son N-antónimas para cualquier negación fuerte N.
Si bien el resultado anterior es válido únicamente cuando se consideran t-normas y t- conormas intuicionistas representablesTT S ySST, conT yS nilpotentes y los automorsmos que las determinan recíprocos, siguiendo el mismo procedimiento se puede construir la me- dida que se indica a continuación.
Teorema 3.3.16. Sean X ̸= ∅ y αb la involución en LX ×LX dada, para cada (χ1, χ2) ∈
LX ×LX, por αb(χ1, χ2) = (Ns◦χ1,Ns ◦χ2), donde Ns es la IFN estándar. Si IZZ
∗ es la medida deTZZ∗-incompatibilidad denida en el Teorema 2.2.6, para cadaχA= (µA, νA), χB= (µB, νB)∈LX, por IZZ∗(χA, χB) = m´ın { ´ınf x∈XνA(x),x´ınf∈XνB(x) } ,
entonces la función SZ∗Z : LX × LX → [0,1] denida, para cada χA = (µA, νA), χB = (µB, νB)∈LX, por SZ∗Z(χA, χB) = (IZZ∗◦αb)(χA, χB) = m´ın { ´ınf x∈XµA(x),´ınfx∈XµB(x) } verica que SZ∗Z ∈SSZ∗Z(L X).
Demostración. Los axiomas (i), (iii) y (iv) de la denición de medida de suplementaridad se comprueban trivialmente. Con respecto al axioma (ii): Sean χA= (µ
A, νA), χB= (µB, νB) ∈
LX, si SZ
∗Z(χA(x), χB(x))̸= 1L para algúnx∈X, entonces para este x, Z∗(µA(x), µB(x))<1 ó Z(νA(x), νB(x))>0.
SiZ∗(µA(x), µB(x))<1, entoncesm´ın{µA(x), µB(x)}= 0, por lo que quem´ın{´ınfx∈X µA(x),
´ınfx∈XµB(x)} = 0. Y, si Z(νA(x), νB(x))> 0, entonces m´ax{νA(x), νB(x)} = 1, por lo que
m´ax{supx∈XνA(x),supx∈XνB(x)} = 1 y como de µA(x) ≤ 1−νA(x) para todo x ∈ X se
obtiene que´ınfx∈XµA(x)≤1−supx∈XνA(x), resulta quem´ın{´ınfx∈XµA(x),´ınfx∈XµB(x)}=
0. En cualquiera de los dos casos SZ∗Z(χA, χB) = 0, y así SZ∗Z es una medida de SZ∗Z-
Conclusiones e investigaciones futuras
Como ya se ha comentado en la introducción, el propósito de la investigación presentada en esta memoria fue, por una parte, profundizar en el estudio de la incompatibilidad, tanto en el campo de los conjuntos borrosos como en el de los conjuntos de Atanassov y por otra, iniciar el estudio de algunas nociones relacionadas con aquélla: la compatibilidad y la suplementaridad, dentro del mismo marco. Al respecto, seguidamente se presentan las conclusiones y los problemas abiertos del estudio realizado.
Conclusiones
Entre las aportaciones originales obtenidas durante el desarrollo de la investigación se destacan las siguientes.
Capítulo 1.
Se han propuesto dos métodos directos para construir funciones que sirvan para medir la incompatibilidad entre dos conjuntos borrosos, uno basado en distancias y el otro a partir de una propiedad de los conjuntos borrosos incompatibles.
Se ha mostrado una forma de obtener medidas de incompatibilidad de manera indirecta, esto es, a partir de otras medidas dadas, por medio de agregación y por medio de medidas de contradicción.
Se han formulado axiomas que exigen que los valores que toman las medidas de incom- patibilidad se den de forma continua, tanto si los conjuntos se aproximan superiormente a uno dado como si se aproximan inferiormente.
Se ha establecido el tipo de continuidad de las medidas de incompatibilidad construidas por medio de los métodos anteriormente señalados y se han propuesto nuevas medidas de incompatibilidad vericando algún tipo de continuidad.
Se ha formalizado la noción de conjuntos borrosos compatibles, se ha propuesto una denición axiomática de medida de compatibilidad y se han construido diferentes fun- ciones para medir esta propiedad de los conjuntos borrosos.
Capítulo 2.
Se ha formalizado una denición axiomática para medir la incompatibilidad entre dos conjuntos de Atanassov.
Se han construido diferentes funciones como medidas de incompatibilidad respecto a t-normas intuicionistas representables y no representables, a través de las dos vías seguidas para el caso borroso: por un método geométrico y por un método analítico. Se han presentado algunos casos particulares en los que las medidas de incompatibilidad coinciden.
Se han obtenido mecanismos de construcción indirecta de medidas de incompatibilidad por medio de medidas de contradicción, empleando para ello negaciones asociadas a una t-norma y funciones de implicación.
Se han formulado axiomas de continuidad para las medidas de incompatibilidad, se ha determinado el tipo de continuidad de las medidas de incompatibilidad construidas por medio de los dos métodos anteriormente señalados y se han propuesto nuevas funciones que son medidas de incompatibilidad vericando algún tipo de continuidad.
Se ha formalizado la noción de conjuntos de Atanassov compatibles, se ha presentado una denición axiomática de medida de compatibilidad y se han construido diferentes funciones para medir esta propiedad de los conjuntos de Atanassov.
Capítulo 3.
Se ha presentado una denición de antónimo para conjuntos borrosos con un núme- ro nito de intervalos de monotonía y se ha propuesto una técnica para obtener el antónimo de un conjunto borroso mediante la introducción de la noción de función antónimo.
Se ha estudiado la antonimia de medidas sobre pares de conjuntos borrosos y sobre pares de conjuntos de Atanassov. Dentro de este estudio, es de destacar la obtención de un teorema de representación de las involuciones denidas en el cuadrado unidad. Se ha formalizado una denición de antónimo para conjuntos de Atanassov con un número nito de intervalos de monotonía y se ha propuesto una técnica para obtener el antónimo de un conjunto de Atanassov dado.
Se ha establecido la relación que existe entre los conjuntos borrosos antónimos y los conjuntos de Atanassov antónimos.
Se han presentado las nociones de conjuntos suplementarios, tanto borrosos como de Atanassov, y se han formalizado deniciones axiomáticas de medidas de suplementa- ridad en ambos casos.
Se han determinado algunas relaciones entre las medidas de incompatibilidad y las medidas de suplementaridad, tanto para el caso borroso como para el caso intuicionista. Se han obtenido medidas de suplementaridad por medio de involuciones denidas en pares de conjuntos borrosos y en pares de conjuntos de Atanassov.
Investigaciones futuras
A continuación se enuncian algunos problemas que han quedado pendientes por resolver durante el desarrollo de la investigación y relacionados con la misma.
Investigar si es posible construir medidas de incompatibilidad y de compatibilidad por otras vías distintas a los métodos aquí presentados.
Cuando el universo X tiene más de un elemento, las medidas de incompatibilidad propuestas verican alguno de los dos axiomas de continuidad, pero no los dos, esto es, son completamente semicontinuas superiormente o son completamente semicontinuas inferiormente. Por lo que falta determinar si existen medidas que veriquen los dos axiomas, es decir, que sean completamente continuas.
Aunque las medidas de incompatibilidad y de compatibilidad se han estudiado para un universo cualquiera X, en la mayoría de las aplicaciones únicamente se consideran universos nitos. Por lo que falta por investigar en qué medida se ven afectados los axiomas de continuidad cuando se restringe el estudio a universos nitos.
Dentro del estudio de la antonimia de medidas sobre pares de conjuntos borrosos y sobre pares de conjuntos de Atanassov, se ha obtenido un teorema de representación de las involuciones denidas en el cuadrado unidad. Falta establecer si es posible obtener un teorema de representación de las involuciones denidas en L×L.
Se han construido medidas de suplementaridad a partir de medidas de incompatibilidad (vía antónimos). Se podría estudiar si es posible construir medidas de suplementaridad por otras vías.
Realizar un estudio sobre la continuidad de las medidas de suplementaridad.
Un paso previo para el diseño de sistemas de inferencia borrosos es el etiquetado de varibles. Este etiquetado debe hacerse de tal manera que cubra todas las posibles carac- terísticas del fenómeno objeto de estudio, esto es, que garantice la suplementaridad. Luego, sería interesante evaluar la aplicación de las medidas de suplementaridad en el etiquetado de variables, así como en otras áreas del conocimiento.
Anexo A
APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE
COMPATIBILIDAD
Las aplicaciones de la lógica borrosa son innumerables, y en muchas de ellas se utilizan distancias que, en numerosos casos, se pueden sustituir por medidas de compatibilidad o de incompatibilidad. Como muestra de ello nos centraremos en su aplicación en el campo de la inferencia. En tal sentido, primero, se especica en qué consiste un proceso de inferencia y se describen los dos procedimientos básicos para obtener la proposición de salida: la regla composicional de inferencia y el método de modicación de compatibilidad. Es éste último el que trataremos utilizando las medidas presentadas en este documento, tanto para el caso de conjuntos borrosos como para el de Atanassov.
A.1. Inferencia en lógica borrosa
En muchos ámbitos de la vida, el ser humano debe sus éxitos a su capacidad de inferir, esto es, a su capacidad de deducir de conocimientos establecidos, otro conocimiento que se encuentre implícito en las premisas o que resulte posible de acuerdo a ellas.
El esquema de inferencia por antonomasia es el Modus Ponens: Si x es A entonces y esB
“x esA “y esB,
siendoAun predicado nítido sobre un universo de discursoX yB un predicado nítido sobre un universo de discurso Y.
Zadeh [51], al observar que la lógica clásica presenta algunas desventajas importantes que la hacen poco apropiada para su aplicación en sistemas automatizados de deducción, propuso un formalismo llamado razonamiento aproximado con el que se pueden deducir conclusiones aproximadas de premisas imprecisas. De esta manera se tiene el esquema siguiente mucho más exible, denominado Modus Ponens Generalizado:
Si x es A entonces y esB “x esA′
“y esB′,
(A.1)
donde A′ es una aproximación al predicado A, y B′ es la conclusión utilizando esta nueva premisa (A, A′ son predicados borrosos sobre un universo X yB, B′ son predicados borrosos sobre un universo Y).
Para determinar la salida yesB′ en el esquema (A.1), Zadeh consideró las extensiones conjuntistas de las proposiciones xesA′, yesB′ y SixesAentoncesyesB, y determinó la relación que mantienen sus funciones de pertenencia. Así obtuvo la Regla Composicional de Inferencia (RCI):
µB′(y) = sup x∈X
Min(µA′(x), µR(x, y)),
donde Min es la t-norma mínimo (la versión actual se considera un poco más general, uti- lizando no sólo el operador Min, sino cualquier t-norma T1) y R es una relación borrosa
1Pradera et al. [37] mostraron que, además de las t-normas, existen otras funciones que se pueden utilizar
binaria entre X eY (subconjunto borroso del producto cartesiano X×Y, determinado por su función de pertenencia µR ∈ [0,1]X×Y) que modeliza la proposición condicional deni-
da, para cada (x, y) ∈ X ×Y, por µR(x, y) = J(µA(x), µB(y)), siendo J una función de
implicación.
Uno de los inconvenientes que presenta la RCI (véase [28]) es que no se puede utilizar cualquier implicación, sino que debe elegirse vericando el Modus Ponens Generalizado. Éste fue uno de los motivos que propició el desarrollo de la técnica conocida como inferencia por Modicación de Compatibilidad (MC), que consiste en relacionar primero, el antecedente A con la entrada A′ por medio de una medida de similitud (relación borrosa que expresa el grado con el que dos conjuntos borrosos son iguales), y después construir la proposición de salida utilizando el resultado de la comparación anterior y el consecuente B.