Za razliku od metode rezolucije, metoda analitiˇckih tabloa se primenjuje u ve´cini logika koje se koriste u raˇcunarstvu. U postupku izvod¯enja se koriste samo podfor- mule polaznih formula, odakle potiˇce pridev analitiˇcki u imenu metode. Osnovna ideja koja se koristi u metodi je slede´ca. Pod pretpostavkom da imamo klasu modela kojom dajemo znaˇcenje (semantiku) formulama i neki formalni sistem koji karakteriˇse tu klasu modela, obiˇcno je pogodno koristiti aksiomatski sistem da bi se pokazalo da formula jeste teorema (i zbog korektnosti valjana formula), dok je konstrukcija kontramodela, koja je semantiˇcki postupak, pogodnija da se pokaˇze da neˇsto nije valjana formula, odnosno teorema. U metodi analitiˇckih tabloa pokuˇsava se objedinjavanje ova dva postupka, tj. formalno i sistematski se nastoji napraviti
3.8. Metoda analitiˇckih tabloa u iskaznoj logici 93
kontramodel za neku formulu, pa ako se u tome ne uspe, metoda garantuje da je formula valjana. Zvog ovog oslanjanja na semantiku, metoda se nekada naziva i semantiˇcki tabloi.
3.8.1
Ujednaˇcavaju´ca notacija
Postoji viˇse med¯usobno ekvivalentnih formulacija metode tabloa, a ovde ´cemo pri- kazati opis koji koristi ujednaˇcavaju´cu notaciju12.
Definicija 3.8.1 Neka se iskazni jezik sastoji od prebrojivog skupa Φ iskaznih slova, logiˇckih veznika ¬, ∧, ∨ i → i zagrada. Neka su T i F novi formalni simboli koji se ne nalaze u iskaznom jeziku. Ako je A iskazna formula, T A i F A su oznaˇcene formule. Konjugat oznaˇcene formule T A (u oznaci T A) je formula F A i obrnuto F A = T A.
Oznaˇcene formule shvatamo na slede´ci naˇcin. Za proizvoljnu interpretaciju I, I(T A) = I(A) i I(F A) = I(¬A). Zapravo znak T ispred formule se moˇze shvatiti kao ’taˇcno je’, dok se znak F moˇze shvatiti kao ’netaˇcno je’.
Sve oznaˇcene neatomske formule se dele u dve grupe, takozvane α i β formule. U tabeli 3.7 je prikazana podela na te dve grupe formula i njihove komponente α1,
α2, β1 i β2formule. α α1 α2 T A ∧ B T A T B F A ∨ B F A F B F A → B T A F B T ¬A F A F A F ¬A T A T A β β1 β2 F A ∧ B F A F B T A ∨ B T A T B T A → B F A T B Tabela 3.7. α i β formule.
Oˇcigledno je da se α formule ponaˇsaju sliˇcno konjunkciji, dok se β formule ponaˇsaju sliˇcno disjunkciji. Taj utisak je iskazan slede´cim tvrd¯enjem.
Teorema 3.8.2 Za proizvoljnu interpretaciju I vaˇzi: • I(α) = > ako i samo ako I(α1) = I(α2) = >
• I(β) = > ako i samo ako I(β1) = > ili I(β2) = >
• Oznaˇcena formula je taˇcna pri interpretaciji I ako i samo ako je njen konjugat netaˇcan.
Dokaz. Analiziraju´ci tipove formula koje se klasifikuju kao α, odnosno β formule, lako se dokazuje traˇzeno. Recimo, I(T A ∧ B) = I(A ∧ B) = > ako i samo ako
I(A) = I(B) = > ako i samo ako I(T A) = I(T B) = >.
Uloga ujednaˇcavaju´ce notacije je da se mnogobrojni sluˇcajevi sloˇzenih formula koje treba analizirati svode samo na dva, tj. na sluˇcaj α i β formula.
α2 α1 α β1 β2 β @ @ Slika 3.3. α i β pravilo.
3.8.2
Tablo
Analitiˇcki tablo za formulu A je ured¯eno binarno drvo13ˇciji ˇcvorovi sadrˇze oznaˇcene
formule i koje se konstruiˇse prema slede´cim pravilima: • U korenu drveta je formula F A.
• Neka je ˇcvor Y kraj neke grane do tog momenta konstruisanog drveta. Za- visno od formula na grani koja sadrˇzi Y , nastavak konstrukcije je mogu´ce izvesti na dva naˇcina:
α-pravilo: ako je neka α formula na grani, tada se grana produˇzava sa dva nova ˇcvora od kojih jedan sadrˇzi α1 formulu, a drugi α2 formulu,
β-pravilo: ako je neka β formula na grani, tada se grana u ˇcvoru Y grana, pri ˇcemu levi naslednik sadrˇzi β1, a desni β2 formulu.
Pravila za konstrukciju tabloa se ˇcesto ˇsematski prikazuju kao na slici 3.3. Ovde je vaˇzno obratiti paˇznju na slede´ce. Ako kroz jedan ˇcvor prolazi viˇse grana, tj. postoji grananje grane kojoj ˇcvor pripada ispod ˇcvora, primena pravila konstrukcije na taj ˇcvor se odraˇzava na sve grane kojima pripada, kao ˇsto je to sluˇcaj sa ˇcvorom (3) tabloa sa slike 3.5.
Za data dva ured¯ena binarna drveta T1i T2ˇciji ˇcvorovi sadrˇze oznaˇcene formule
kaˇzemo da je T2 direktno proˇsirenje T1ako se T2dobija iz T1primenom jednog od
α i β pravila.
Odatle je T tablo za formulu A ako postoji konaˇcan niz drveta T1, T2, . . . ,
Tn = T , i T1 je drvo ˇciji je jedini ˇcvor (koren) oznaˇcen sa F A i za svako i =
1, 2, . . . , n − 1, Ti+1 je direktno proˇsirenje od Ti.
Grana tabloa je zatvorena ako se na njoj nalazi neka formula i njen konjugat. Tablo je zatvoren ako mu je zatvorena svaka grana. Dokaz za (neoznaˇcenu) formulu A je zatvoren tablo za A. Formula A je teorema (u oznaci ` A) ako postoji tablo koji je dokaz za nju. Grana je zavrˇsena ako su odgovaraju´ca pravila konstrukcije primenjena na sve ˇcvorove sa te grane. Tablo je zavrˇsen ako mu je svaka grana zavrˇsena ili zatvorena. Grana tabloa je zadovoljiva pri nekoj interpretaciji I ako
13Drvo je DAG (videti definiciju 4.3.1) u kome postoji samo jedan ˇcvor, koren, sa stepenom ulaznog grananja nula, dok su svi ostali ˇcvorovi njegovi potomci i imaju stepen ulaznog grananja jedan. ˇCvorovi koji imaju stepen izlaznog grananja nula se nazivaju listovi. Grana je put u drvetu koji poˇcinje u korenu, a zavrˇsava se u nekom listu. U binarnom drvetu ˇcvorovi imaju najviˇse dve izlazne ivice, za koje se zna koja je leva, a koja desna.
3.8. Metoda analitiˇckih tabloa u iskaznoj logici 95 (1) F p → (q → p) (2) T p (3) F q → p (4) T q (5) F p ×
Slika 3.4. Tablo dokaz za formulu p → (q → p). (1) F (p ∨ q) → (p ∧ q) (2) T p ∨ q (3) F p ∧ q (4) T p (5) T q (6) F p (7) F q (8) F p (9) F q × ×
Slika 3.5. Tablo za formulu (p ∨ q) → (p ∧ q).
I zadovoljava sve oznaˇcene formule koje se nalaze u ˇcvorovima te grane. Tablo je zadovoljiv ako postoji interpertacija I takva da je bar jedna grana tabloa zadovoljiva pri I.
Primer 3.8.3 Slika 3.4 prikazuje tablo za formulu p → (q → p). Da bi se kon- strukcija uˇcinila preglednijom, ˇcvorovi su numerisani. Konstrukcija se obavlja na slede´ci naˇcin. Najpre se u ˇcvor (1) postavi formula sa prefiksom F . Primenom α pravila na ˇcvor (1) dobijeni su ˇcvorovi (2) i (3), a potom primenom istog pravila na ˇcvor (3) dobijeni su (4) i (5). Kako (2) i (5) sadrˇze formule konjugate, jedina grana, pa i sam tablo su zatvoreni.
Na slici 3.5 prikazan je tablo za formulu (p∨q) → (p∧q). Konstrukcija se obavlja na slede´ci naˇcin. Najpre se u ˇcvor (1) postavi formula sa prefiksom F . Primenom α pravila na ˇcvor (1) dobijeni su ˇcvorovi (2) i (3). Primenom pravila β na ˇcvor (2) dolazi do grananja i dobijaju se ˇcvorovi (4) i (5). Pravilo β se primenjuje i na ˇcvor (3). Grananje se vrˇsi na svim granama koje prolaze kroz ovaj ˇcvor, tako da se u ˇcvorovima (4) i (5) dodaju ˇcvorovi (6), (7), (8) i (9). U ovom momentu tablo je zavrˇsen, grane koje zavrˇsavaju ˇcvorovima (6) i (9) su zatvorene, ali preostale dve grane nisu, pa nije zatvoren ni celi tablo i on ne predstavlja dokaz za polaznu
formulu.
Intuitivno, α i β pravila su konstruisana u skladu sa definicijom istinitosti for- mula, tako da, ako su formule koje sadrˇze ˇcvorovi na grani zadovoljive, onda je to sluˇcaj i sa granom dobijenom nakon primene α pravila, odnosno sa bar jed- nom granom nakon primene β pravila. U suˇstini, konstrukcija tabloa za neku formulu A, upravo kao ˇsto je u uvodu i reˇceno, sistematski generiˇse sve kontramod- ele za A. Neuspeh u konstrukciji jednog kontramodela se ogleda zatvaranjem jedne grane, poˇsto skup formula sa zatvorene grane ne moˇze biti zadovoljiv jer sadrˇzi i neku oznaˇcenu formulu i njen konjugat. Zatvaranje celog tabloa znaˇci da A nema
kontramodel i predstavlja dokaz za A. U narednom odeljku formalizova´cemo ove konstatacije i pokazati da formula ima tablo dokaz ako i samo ako je valjana.
3.8.3
Korektnost i kompletnost metode tabloa
Teorema 3.8.4 Ako je tablo T1zadovoljiv i T2 njegovo direktno proˇsirenje, onda
je i tablo T2zadovoljiv.
Dokaz. Neka je grana θ tabloa T1zadovoljiva pri intepretaciji I. Ako je T2dobijen
pravilom koje ne menja granu θ, onda je trivijalno i T2 zadovoljiv. Ako primena
pravila menja granu θ, to moˇze biti ili pravilo α ili β. Ako je θ proˇsirena primenom pravila α na neku α-formulu, prema teoremi 3.8.2 je I(α) = I(α1) = I(α2) = >,
pa su i novodobijena grana i tablo T2 zadovoljivi. Sliˇcno je i sa pravilom β, kada
su bar jedan nastavak grane θ, a time i tablo T2, zadovoljivi.
Teorema 3.8.5 (Korektnost) Ako formula A ima tablo dokaz, ona je valjana. Dokaz. Neka je tablo T dokaz za A. To znaˇci da se u korenu tabloa nalazi formula F A i da su sve grane tabloa T zatvorene. Oˇcigledno je da ni jedna zatvorena grana ne moˇze biti zadovoljiva jer sadrˇzi formulu i njen konjugat. Kada bi formula A imala kontramodel, tj. kada bi bilo I |= F A za neku interpretaciju I, morala bi, prema teoremi 3.8.4, biti zadovoljiva i bar jedna grana tabloa T . Kako to nije sluˇcaj, znaˇci da ni F A nije zadovoljivo, tj. da je formula A valjana. Teorema 3.8.6 Svaka zavrˇsena grana tabloa koja nije zatvorena je zadovoljiva. Dokaz. Neka je θ zavrˇsena grana tabloa koja nije zatvorena i neka je Sθ skup
formula sa te grane. On ima slede´ce osobine:
1. ni za jedno iskazno slovo p nije T p ∈ Sθi F p ∈ Sθ,
2. ako je neka α-formula α ∈ Sθ, tada su i α1, α2∈ Sθ i
3. ako je neka β-formula β ∈ Sθ, tada je β1∈ Sθ ili β2∈ Sθ.
Definisa´cemo interpretaciju Iθtako da za svako iskazno slovo p bude Iθ(p) = > ako
i samo ako T p ∈ Sθ. Zbog osobine 1 skupa Sθ ova definicija je korektna, poˇsto
ni za koje iskazno slovo p ne vaˇzi T p, F p ∈ Sθ. Indukcijom po sloˇzenosti formula
se dokazuje da Iθ zadovoljava sve formule iz skupa Sθ. Za iskazna slova dokaz
neposredno sledi po definiciji interpretacije Iθ. Ako se razmatra neka α-formula
α ∈ Sθ, u skupu Sθ su i njene komponente α1 i α2 koje su manje sloˇzenosti, pa
po indukcijskoj pretpostavci Iθ |= α1 i Iθ |= α2. Prema teoremi 3.8.2, tada je i
Iθ|= α. Sliˇcno se dokazuje i sluˇcaj za β-formule.
Teorema 3.8.7 (Kompletnost) Ako je formula A tautologija, svaki zavrˇseni tablo za A mora biti zatvoren.
Dokaz. Neka je T zavrˇsen tablo za formulu A. Ako neka grana tabloa nije zatvorena, ona bi bila, prema teoremi 3.8.6, i zadovoljiva, pa bi postojala inter- petacija I takva da je I |= F A, tj. I |= ¬A, ˇsto je kontradikcija sa pretpostavkom da je |= A. Dakle, svaki zavrˇseni tablo za A je dokaz za A.