CAPÍTULO 2 CONCEPTOS TEÓRICOS PARA EL DESARROLLO
2.4 Control Difuso
2.4.2 Control Difuso con capacidad de emulación PID
2.4.2.1 Metodología para la equivalencia PID Difuso Emulador
Para obtener u n FLC qu e em u la el com p ortam iento d e u n controlad or PID d iscreto se debe considerar los siguiente aspectos:
1. Tres conju ntos d ifu sos d efinen cad a u na d e las entrad as d el controlad or. Reem p lazand o las ecu aciones ( 2.13 ), ( 2.14 ) y ( 2.15 ) en la ecu ación ( 2.12 ) que define el PID discreto en modo posición se tiene la ecuación ( 2.33 ).
( 2.33 )
De la ecu ación ( 2.16 ) p od em os asegu rar qu e p ara u n sistem a d e control en lazo cerrad o el error m áxim o ocu rre cu and o R(z)=100 y Y(z)=0 y qu e cu alqu ier valor d e referencia R(z) será d irectam ente p rop orcional a la m agnitu d d e la constante K d e la p lanta com o se exp resa en la ecu ación ( 2.17). Esto p erm ite tomar cada término de la ecuación ( 2.33 ) e igualarlo a 100 como se muestra en la ecu ación ( 2.34)p ara el p rim er térm ino, la ecu ación ( 2.35)p ara el segu nd o término y la ecuación ( 2.36 ) para el tercero.
( 2.34 )
( 2.35 )
( 2.36 )
Desp ejand o en térm inos d el error y los filtros integral y d erivativo, segú n sea el caso, obtenem os las ecu aciones ( 2.37 ), ( 2.38 ) y ( 2.39 ) p ara Ep, Ei y Ed
respectivamente y presentados en la Figura 2.5.
1 1 1 1 1 z T z E K z T z E K z E K z U P d i P P 100 z E KP 100 1 1 1 z T z E K i P 100 1 z 1 T z E KP d
( 2.38 )
( 2.39 )
Con estos resu ltad os y asu m iend o qu e se d esea qu e u na sola fu nción d e m em bresía rep resente el conju nto d e entrad a d el error d el p rim er térm ino d e la ecu ación ( 2.33 ) al cu al llam arem os error p rop orcional Ep (ver Figura 2.5),
entonces el sop orte o base d e d icho conju nto d ifu so estaría d ad o p or la ecuación ( 2.41 ) en d ond e los valores y qu ed an d efinid os p or las ecuaciones ( 2.40 ) ya planteadas por Díaz [ 1 ] y cuya deducción se presenta en la ecuación ( 2.37 ).
( 2.40 )
( 2.41 )
Igu alm ente p od em os d efinir u n error integral Ei (Figura 2.5) basad os en el
m ism o p rincip io, esta vez los valores d e y
se exp resan en las ecu aciones ( 2.42 ) qu e inclu yen el tiem p o d e m u estreo qu e no se inclu yó en [ 1 ] (ver ecuación ( 2.38 ) ) y el soporte se define en la ecuación ( 2.43 ).
( 2.42 )
( 2.43 )
Análogam ente p ara el error d erivativo Ed (véase Figura 2.5) se d efinen los
valores d e y en las ecu aciones ( 2.44 ) ( ver ecu ación ( 2.39 ) ) y el sop orte para el error derivativo según la ecuación ( 2.45 ).
entrada Ei: T K T K p i i p i i 100 100 p p p E S( ) , i i i E S( ) , entrada Ep: p p p p
K
K
100
100
T K z z E E P i i 100 1 1 1 d P d K T z z E E 1 1 100( 2.44 )
( 2.45 )
La inclu sión d el tiem p o d e m u estreo en las ecu aciones qu e d efinen los p arám etros d e las fu nciones d e m em bresía d e los conju ntos d ifu sos d e entrad a d el error integral y el error d erivativo son u n ap orte d e este trabajo sobre el realizado por Díaz [ 1 ] y son la clave de la emulación de la parte derivativa del controlador PID Difuso Emulador.
La Figura 2.15 m u estra cóm o qu ed a gráficam ente la fu nción d e m em bresía d e cad a u no d e los conju ntos d ifu sos d e entrad a. N ótese qu e es el caso d e u na función sim étrica en d ond e el valor absolu to de es igu al al valor absolu to de y el valor pico está localizado en = 0.
Figura 2.15 Función de membresía triangular para la entrada de error proporcional, integral o derivativo
2. Tres fu nciones d e m em bresía conform an el u niverso d e d iscu rso d e cad a u na d e las entrad as d el FLC. Esto es, la entrad a d el error p rop orcional tiene 3 funciones de membresía llamadas respectivamente Negativo, Cero y Positivo y están d efinid as p or fu nciones d e m em bresía triangu lares igu ales a las calcu lad as m ed iante las ecu aciones ( 2.40 ) a ( 2.45 ) resp ectivam ente p ara el error p rop orcional, integral y d erivativo. Se d efinen los valores np, ni y nd com o la cantid ad d e fu nciones d e p ertenencia d e los conju ntos Ep, Ei y Ed, en
donde np=3, ni=3 y nd=3. La Figura 2.16 m u estra gráficam ente cóm o qu ed an d d d E S( ) , entrada Ed: d p d d p d K T K T 100 100
im p ortante recalcar qu e están igu alm ente esp aciad as entre sí y qu e el punto de cru ce d e las fu nciones es d e grad o 0.5 lo qu e p rop orciona el m enor sobretiro, tiempo de elevación más rápido y menor bajo impulso [ 6 ]. También se puede ap reciar qu e el valor p ico d el su bconju nto d ifu so N egativo es el valor y el valor p ico d el su bconju nto d ifu so Positivo es d ad os p or las ecu aciones ( 2.40 ), ( 2.42 ) y ( 2.44 ) y el sop orte d e las tres fu nciones d e m em bresía está dado en la ecu ación ( 2.25 ) resp ectivam ente p ara los conju ntos error p rop orcional, integral y d erivativo. A este valor lo llam arem os base nom inal d e las fu nciones d e m em bresía. De esta form a tenem os u na base nom inal p ara el conju nto d ifu so d e entrad a Ep d ad o p or la ecu ación ( 2.41 ), u na base
nom inal p ara Ei en la ecu ación ( 2.43 ) y u na base nom inal p ara el conju nto Ed
definido por la ecuación ( 2.45 ).
Figura 2.16Tres funciones de membresía que definen cada entrada de error proporcional, integral y derivativo
3. La salida del FLC según Díaz [ 1 ] está dada por las ecuaciones ( 2.46 ) y ( 2.47 ). Para el caso d e u tilizar 3 conju ntos d ifu sos d e entrad a con 3 fu nciones d e p ertenencia en cad a u no, se d efine u na salid a con u n conju nto d e siete singletons. Sea N el m áxim o valor entre np = 3, ni = 3 y nd = 3 segú n la ecuación( 2.46 ). Dicho valor sólo p u ed o ser u n nú m ero entero e im p ar segú n Díaz, entonces ns = 7, será el nú m ero o cantid ad d e singletons a la salid a d el FLC d efinid o en la ecu ación ( 2.47 ) qu e siem p re nos asegu ra p ara el caso d el PID obtener u n nú m ero m ú ltip lo d e 3 singletons (d ebid o a las tres acciones d el PID) d e am bos lad os d el singleton Cero qu e se p resenta en la Figura 2.17. Por ejem p lo si N=5, en am bos lad os d el singleton Cero se tend rían 6 singletons, si N=7 entonces se obtienen 9 singletons a cad a lad o d el Cero y así sucesivamente, todos múltiplos de tres debido a dicha ecuación.
( 2.46 )
( 2.47 )
Tam bién se d efine la d istancia entre los singletons d e la salid a m ed iante la ecuación ( 2.48 ) como se muestra a continuación:
( 2.48 )
Para el caso d el PID Difu so Em u lad or los valores d e ns = 7, Sd = 100 serán constantes inclusive para el caso del Controlador Difuso Mejorado.
La Figura 2.17 m u estra la d istribu ción y valores d e los siete singletons necesarios p ara la salid a d el FLC. Su s nom bres son m u y negativo (MN ), negativo (N ), p oco negativo (PN ), cero, p oco p ositivo (PP), p ositivo (P) y m u y positivo (MP). Sus valores se obtienen de las cuatro ecuaciones anteriores.
Figura 2.17 Siete singletons que definen la salida del FLC
Para d enotar al FLC, esp ecíficam ente al PID Difu so Em u lad or, en fu nción d e su s variables lingü ísticas p reviam ente p resentad as con la nom enclatu ra d e la ecuación ( 2.29 ) tenemos lo siguiente:
Variable lingüística de entrada Error Proporcional (Ep)
( 2.49 )
donde Ep = { Negativo, Cero, Positivo}, = [2 p, 2 p] y MEp : LEp LEp
que gráficamente se ven en forma general en la Figura 2.16 y se define:
( 2.50 )
Distancia entre singletons: Sd 200 N/( 1)
Ep , Ep , ,MEp Negativo = LEp1 = p p x x p p 2 2 / 0 , , 2 ; Cantidad de singletons:
ns
3N
2
( 2.51 )
( 2.52 )
en d ond e el sím bolo X d enota u n conju nto d ifu so sobre X p ara tod os los casos aquí presentados.
Variable lingüística de entrada Error Integral (Ei)
( 2.53 )
en donde Ei es { Negativo, Cero, Positivo}, = [2 i, 2 i] y MEi : LEi LEi
que gráficamente se ven en forma general en la Figura 2.16 y se define:
( 2.54 )
( 2.55 )
( 2.56 )
Variable lingüística de entrada Error derivativo (Ed)
( 2.57 )
donde Ed = { Negativo, Cero, Positivo}, = [2 d, 2 d] y MEd : LEd LEd
que gráficamente se ven en forma general en la Figura 2.16 y se define:
( 2.58 )
Cero = LEp2 = p p x x p p 2 2 / , 0 , ; Positivo = LEp3 = p p x x p p 2 2 / 2 , , 0 ; Ei , Ei , ,MEi Negativo = LEi1 = i i x x i i 2 2 / 0 , , 2 ; Cero = LEi2 = i i x x i i 2 2 / , 0 , ; Positivo = LEi3 = i i x x i i 2 2 / 2 , , 0 ; Ed , Ed , ,MEd Negativo = LEd1 = d x x d d 2 2 / 0 , , 2 ;
( 2.59 )
( 2.60 )
Variable lingüística de salida (S)
( 2.61 )
d ond e S = { MN, N, PN, Cero, PP, P, MP }, = [-300, 300] y MS : LS
f1(s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 ) que gráficamente se presentó en la Figura 2.17y se definen: ( 2.62 ) ( 2.63 ) ( 2.64 ) ( 2.65 ) ( 2.66 ) ( 2.67 ) ( 2.68 )
4. La m atriz d e inferencia o conju nto d e reglas d e inferencia com p rend e tod as aqu ellas com binaciones d e anteced entes con u n consecu ente esp ecífico. La cantid ad d e reglas p or lo tanto está d ad a p or la cantid ad d e fu nciones d e membresía a la entrada como se define en la ecuación ( 2.69 ).
( 2.69 ) nd ni np M Cero = LEd2 = d d x x d d 2 2 / , 0 , ; Positivo = LEd3 = d d x x d d 2 2 / 2 , , 0 ; S , S , ,MS MN = s1 = -300 N = s2 = -200 PN = s3 = -100 Cero = s4 = 0 PP = s5 = 100 P = s6 = 200 MP = s7 = 300
Lo qu e ind ica qu e, d ebid o a qu e se ha d efinid o np=3, ni=3 y nd=3, se requ ieren 27 reglas qu e relacionan cad a com binación d e anteced entes con u n d eterm inad o consecu ente qu e p ara el caso d el PID Difu so Em u lad or, se trata d e algu no d e los siete singletons d el conju nto d e salid a d el FLC. La Figura 2.18, la Figura 2.19 y la Figura 2.20 presentan las reglas involucradas en el FLC.
Figura 2.18 Reglas para una entrada Ed = Negativo
Figura 2.19 Reglas para una entrada Ed = Cero
entre p aréntesis siem p re es u no, este valor es el p eso d e la regla correspondiente.
1. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Negativo) y (Ed es Negativo) , entonces (S es MN) (1) 2. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Cero) y (Ed es Negativo) , entonces (S es N) (1) 3. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Positivo) y (Ed es Negativo) , entonces (S es PN) (1) 4. Si (Ep es Cero) y (Ei es Negativo) y (Ed es Negativo) , entonces (S es N) (1) 5. Si (Ep es Cero) y (Ei es Cero) y (Ed es Negativo) , entonces (S es PN) (1) 6. Si (Ep es Cero) y (Ei es Positivo) y (Ed es Negativo) , entonces (S es C) (1) 7. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Negativo) y (Ed es Negativo) , entonces (S es PN) (1) 8. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Cero) y (Ed es Negativo) , entonces (S es C) (1) 9. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Positivo) y (Ed es Negativo) , entonces (S es PP) (1) 10. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Negativo) y (Ed es Cero) , entonces (S es N) (1) 11. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Cero) y (Ed es Cero) , entonces (S es PN) (1) 12. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Positivo) y (Ed es Cero) , entonces (S es C) (1) 13. Si (Ep es Cero) y (Ei es Negativo) y (Ed es Cero) , entonces (S es PN) (1) 14. Si (Ep es Cero) y (Ei es Cero) y (Ed es Cero) , entonces (S es C) (1) 15. Si (Ep es Cero) y (Ei es Positivo) y (Ed es Cero) , entonces (S es PP) (1) 16. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Negativo) y (Ed es Cero) , entonces (S es C) (1) 17. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Cero) y (Ed es Cero) , entonces (S es PP) (1) 18. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Positivo) y (Ed es Cero) , entonces (S es P) (1) 19. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Negativo) y (Ed es Positivo) , entonces (S es PN) (1) 20. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Cero) y (Ed es Positivo) , entonces (S es C) (1) 21. Si (Ep es Negativo) y (Ei es Positivo) y (Ed es Positivo) , entonces (S es PP) (1) 22. Si (Ep es Cero) y (Ei es Negativo) y (Ed es Positivo) , entonces (S es C) (1) 23. Si (Ep es Cero) y (Ei es Cero) y (Ed es Positivo) , entonces (S es PP) (1) 24. Si (Ep es Cero) y (Ei es Positivo) y (Ed es Positivo) , entonces (S es P) (1) 25. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Negativo) y (Ed es Positivo) , entonces (S es PP) (1) 26. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Cero) y (Ed es Positivo) , entonces (S es P) (1) 27. Si (Ep es Positivo) y (Ei es Positivo) y (Ed es Positivo) , entonces (S es MP) (1)
Con lo anterior ya se cu enta con los elem entos necesarios p ara aju star u n FLC qu e em u le exactam ente el com p ortam iento d e u n PID d iscreto com o se verá en la inform ación contenid a en el CAPÍTULO 4sección 4.2. Otros resu ltad os se p resentan en el Apéndice B de esta tesis.