Los estados que no son puros se llaman estados mezclados. Recordemos que los estados son una extensi´on de los promedios cu´anticos. En el caso cl´asico tener estados puros significa tener un punto en el espacio fase es decir tener total certe- za del comportamiento del espacio fase en ese punto. Si tenemos por ejemplo dos estados puros (dos puntos del espacio fase) podemos crear un nuevo estado como combinaci´on convexa de los dos anteriores donde los coeficientes suman 1 con esto estamos dando cierta probabilidad a cada uno de los estados puros, y esto que obtenemos es la suma de las probabilidades de ambos estados lo que ya no puede ser un punto del espacio fase, pero s´ı es lo que se llama un estado estad´ıstico del sistema, y todas las combinaciones finitas que se obtengan de este modo as´ı co- mo sus l´ımites tambi´en son estados estad´ısticos (en el sentido f´ısico), esta es la interpretaci´on f´ısica del teorema de Krein Milman. En el caso cu´antico tenemos la posibilidad de seguir interpretando los estados puros como puntos del espacio.
Definici´on 42 Decimos que un estado ρ domina a otro estadoρ si existe α >1
tal que ρ ≤αρ.
Esto se puede escribir de manera equivalente como
ρ= 1
αρ+ (1−
1
α)ρ
ya que ρ y ρ son estados y por lo tanto son normalizados. Entonces un estado puede dominar a otro estado siempre y cuando se pueda escribir como mezcla de otros dos estados.
Con respecto a la construcci´on Gelfand-Naimark-Segal , podremos hallar un v´ınculo entre estados puros y representaciones irreducibles, a partir de este con- cepto de dominaci´on de estados.
2.8. ESTADOS MEZCLADOS 67 Sup´ongase queρ ≤αρ. Consid´erese la forma sesquilineal
ρ(a∗b) a, b∈A.
Al aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en esta forma, hallamos que
|ρ(a∗b)|2 ≤ρ(a∗a)ρ(b∗b)≤α2ρ(a∗a)ρ(b∗b). Utilizando ahora el producto escalar en Hρ
α2ρ(a∗a)ρ(b∗b) =α2[a]2[b]2. (2.4) Esto quiere decir que se puede introducir el operador acotado S:Hρ→Hρ
ρ(a∗b) = ([a], S[b]) (2.5) esto se debe a la desigualdad (2.4) y a la dominaci´on de ρ.
Proposici´on 36 El operadorS es positivo
Demostraci´on Al considerar a=b en la ecuaci´on (2.5), se obtiene 0≤ρ(a∗a) = ([a], S[a])
y por lo tanto es positivo.
Existen dos maneras de introducir positividad de un operador en un ´algebra
C∗, una es que su espectro sea un subconjunto de los reales positivos y la otra es
que
(x, S(x))≥0 para todox∈Hρ
esto se cumple para x∈A/Iρ, pero se extiende de forma natural a todoHρ.
Proposici´on 37 El operador S es un operador de intercambio para Dρ, es decir S ∈Mor(Dρ, Dρ).
Demostraci´on
ρ(a∗cb) = ([a], S([cb])) = ([a], S(Dρ(c)[b])) =ρ[(c∗a)∗b] = ([c∗a], S[b]) = (Dρ(c∗)[a], S[b])
= (Dρ[c]∗[a], S[b]) = ([a], Dρ(c)S[b])
Hemos llegado a que para dos elementos arbitrarios [a],[b] se cumple la igualdad ([a], S(Dρ(c)[b])) = ([a], Dρ(c)S[b])
por lo tanto
EntoncesSconmuta con todos los operadores de la representaci´on de Gelfand-Naimark-Segal , esto es consecuencia directa de la definici´on de S.
ComoS≥0 podemos tomar la ra´ız cuadradaT =√S, y entonces
ρ(a∗b) = ([a], T2[b]) = (D
ρ(a)ψρ, T2Dρ(b)ψρ) = (ψρ, T2Dρ(a∗b)ψρ)
El producto est´a dado por ([a],[b]) = ρ(a∗b), donde ρ(a) = ψρ|Dρ(a)|ψρ. La ´
ultima igualdad se debe a queT tambi´en conmuta con todos los operadores de la representaci´on. Haciendo c=a∗bobtenemos
ρ(c) = (ψρ, T2Dρ(c)ψρ) = (ϕ, Dρ(c)ϕ)
donde ϕ = T ψρ. Esto nos dice que el estado dominado ρ se puede escribir en t´erminos de la representaci´on de Gelfand-Naimark-Segal como promedio cu´antico por un vector ϕ dado por ϕ = T ψρ, donde T conmuta con cada operador de la representaci´on de Gelfand-Naimark-Segal .
TantoT comoSconmutan con todos los operadoresDρ, y todos los operadores en esta ´algebra (el conmutante de Dρ(A)) est´an determinados por su valor en el vector c´ıclico ψρ, por ejemplo,
T[a] =T Dρ(a)ψρ=Dρ(a)T ψρ,
como estos vectores [a] forman un subconjunto denso en todas partes dentro de
Hρ, entoncesT est´a completamente determinado por su acci´on enψρ.
Esta construcci´on se puede revertir, si ahora comenzamos con un conjunto de operadores T, ´estos deben cumplir las siguientes condiciones para llegar a la equivalencia del proceso, es decir, construir a partir de ellos el estadoρ:
T :Hρ→Hρ
T ≥0
T ∈Mor(Dρ, Dρ)
ϕ=T ψρ, ϕ= 1
dondeρ(a) = (ϕ, Dρ(a)ϕ). Esto nos da una biyecci´on entre los operadores T que cumplen estas condiciones y los estados ρ dominados porρ.
2.8. ESTADOS MEZCLADOS 69
Demostraci´on Tenemos una correspondencia entre estados dominados y ope- radores positivos en Mor(Dρ, Dρ) m´odulo dilataciones por la norma de φ. Como hemos visto los operadores de intercambio de las representaciones irreducibles for- man un ´algebra trivial, es decirDρes irreducible si y solo si Mor(Dρ, Dρ) =C1, es decir que los operadores positivos son operadores positivos escalares, esto quiere decir que ρno puede ser un estado dominante cuandoDρ es irreducible, es decir, es un estado puro.
De este modo los estados puros permiten clasificar todas las representaciones irreducibles.
Proposici´on 39 Una representaci´on D : A → B(H) es irreducible si y solo si cada vector no cero de H es un vector c´ıclico.
Demostraci´on Suponiendo que D es irreducible tomemos un vector unitario
ψ∈H, consideremos el estado ρ inducido porψ
ρ(a) = (ψ, D(a)ψ)
Aplicando la construcci´on de Gelfand-Naimark-Segal , sabemos que D y Dρ se relacionan por medio del operador
T :Hρ→H, T ∈Mor(Dρ, D)
De modo que Hρ es invariante para D pero por ser D irreducible entonces
Hρ =H y por lo tanto T es en realidad una equivalencia entre representaciones tal que T :ψρ→ ψ y comoψρ es un vector c´ıclico, tambi´en debe serlo ψ. Por lo tantoψ es c´ıclico para Dirreducible.
Ahora bien, suponiendo que cualquier vector no cero en H es c´ıclico, si Dno fuera irreducible, entonces existir´ıa un subespacio propio K ⊂H invariante bajo
D, es decir que cumple D(a)(K) =K. Seaψ∈K,ψ= 0, entonces el subespacio generado porD(a)ψdebe estar contenido enK, pero entoncesψ no puede ser un vector c´ıclico, lo cual contradice la hip´otesis, y por lo tantoDes una representaci´on irreducible.
Hemos visto pues que si ψ= 1 y D es irreducible, se establece una equiva- lencia entreDyDρmediante el operador unitarioT. Definiendo el estadoρcomo lo hemos ya establecido a partir de ψ obtenemos que debe ser un estado puro, ahora podemos decir que revertimos la construcci´on anterior de llegar de estados puros a representaciones irreducibles.
Resumiendo un poco, para ψ ∈ H, ψ = 1, si ρ(a) = (ψ, D(a)ψ) define un estado distinto para cadaψ.
Tener dos estados puros distintos no necesariamente implica que sus repre- sentaciones irreducibles asociadas sean inequivalentes entre si. De hecho podemos considerar el conjunto Ext[S(A)] en el que se puede establecer una relaci´on de equivalencia. Diremos que dos estados puros ρ1 yρ2 son equivalentes si sus repre- sentaciones irreducibles asociadasDρ1 yDρ2 son equivalentes.
El espacio de las clases dadas por esta relaci´on de equivalencia, o bien el factor espacio inducido por esta relaci´on nos da una clasificaci´on de las representacio- nes irreducibles, y en la mayor´ıa de los casos se tiene una partici´on erg´odica o dicho en t´erminos de geometr´ıa diferencial una foliaci´on erg´odica, es decir que este espacio no se puede escribir como la uni´on disjunta de conjuntos que contengan completamente una clase.
En tal caso la consecuencia es que no se puede utilizar teor´ıa de la medida en tal espacio ya que los ´unicos conjuntos medibles resultan ser negligibles o el total, lo que tambi´en impide utilizar cualquier herramienta cl´asica de an´alisis. Sin embargo se puede asociar un ´algebraC∗ no conmutativa A, y estudiarlo a partir de esta.