Modelación en elementos finitos

Frecuentemente el uso el estudio de los sistemas físicos se realiza mediante ecuaciones diferenciales parciales, las cuales no pueden ser resueltas analíticamente o carentes de una solución analítica exacta debido a la complejidad de las condiciones límite. En los estudios detallados y realistas se utiliza un método numérico que resuelve este problema. Frecuentemente el más adecuado es el método de elemento finito. Al pasar de los años y con el desarrollo de las computadoras modernas el método de elemento finito ha llegado a ser una de las más importantes herramientas de análisis en la ingeniería. Básicamente este método consiste en la aplicación por secciones de métodos variacionales clásicos para reducir y simplificar subdominios llamados elementos finitos conectados uno a otro en un número finito de puntos llamados nodos [19].

Modelo simplificado de la viga como un sistema masa resorte.

Muchas estructuras, tal como un casco de barco o el cárter de un motor, son demasiado complicadas para analizarse por técnicas clásicas, así que se debe utilizar un método de aproximación. Esto puede verse desde el análisis de receptancia de estructuras complicadas que dividen una estructura dinámica en un gran número de sub-estructuras, esta es una técnica analítica de considerable uso, que proveída de las suficientes facilidades computacionales están disponibles para resolver las ecuaciones resultantes. El método de elemento finito extiende este método a la consideración de estructuras continuas como un número de elementos conectados uno a otro por las condiciones de compatibilidad y equilibrio. De esta forma se pueden modelar estructuras complicadas como el agregado de estructuras más simples [16].

La principal ventaja del método de elemento finito es su generalidad; este puede ser usado para calcular las frecuencias naturales y las formas de los modos de algún sistema elástico lineal. En todo caso, esta es una técnica numérica la cual requiere una bastante capacidad computacional, y se debe cuidar la sensibilidad de la salida de la computadora ante pequeños cambios de entrada.

Para sistemas del tipo viga el método de elemento finito es similar al método de concentración de masa, ya que se considera al sistema como un número de elementos de masa rígidos de tamaño finito conectados por resortes de masa despreciable. El número infinito de grados de libertad asociado con un sistema continuo puede ser reducido a un número finito de grados de libertad, los cuales pueden ser analizados individualmente [11].

Por tanto el método de elemento finito consiste en la división del sistema dinámico, en una serie de elementos por líneas imaginarias, y conectando esos elementos solo por la intersección de esas líneas. Esas intersecciones son llamadas nodos. Los esfuerzos y deformaciones en cada elemento, están entonces definidos en términos de los desplazamientos y fuerzas en los nodos, y la masa de los elementos es concentrada en los nodos. Así se producen una serie de ecuaciones para el desplazamiento de los nodos y por lo tanto del sistema. Mediante la solución de esas ecuaciones, se pueden determinar los esfuerzos, las deformaciones, las frecuencias naturales, y la forma de los modos del sistema. La precisión del método de elemento finito es la mayor a modos más bajos, y esta crece en la medida que el número de elementos en el modelo lo hace también [19].

En otros trabajos se han desarrollado modelos de elemento finito para una viga activa basados en la teoría de vigas de Euler Bernoulli y aplicado un control óptimo de retroalimentación desde la salida. Otros trabajos desarrollaron un modelo de elemento finito para el control de vibraciones de una placa laminada con sensores y actuadores piezoeléctricos. También se han presentado desarrollos experimentales y analíticos de actuadores piezoeléctricos como elementos de estructuras inteligentes. De igual forma se han derivado modelos analíticos dinámicos para actuadores piezoeléctricos que están incluso unidos a un agregado elástico o acoplados en una viga laminada compuesta. Los modelos de elemento finito de una estructura contienen sensores y actuadores piezoeléctricos distribuidos como pueden ser vistos en

diferentes aplicaciones. Las dificultades en los modelos de elemento finito de una estructura inteligente que enfrentan los ingenieros de sistemas de control, las ventajas ofrecidas desde el punto de vista mecánico estructural y el método para obtener un modelo de orden reducido son aspectos ya desarrollados en trabajos previos. En este trabajo se discuten los aspectos de control de vibración de una viga inteligente y flexible para el caso de un sistema de una entrada y una salida [8].

5 Prototipos virtuales.

Los prototipos virtuales han sido desarrollados en años recientes como una simulación computacional de sistemas, con realismo y precisión para mejorar el diseño y algunas veces hasta reemplazar el prototipo físico para el ahorro de tiempo y recursos. Para los principales productores automotrices es importante mejorar los procesos de diseño y obtener un modelo más preciso antes de construir un prototipo físico que generalmente es costoso, y que comúnmente se construye en varias ocasiones hasta la culminación del diseño. Una solución al problema es usar un prototipo virtual [32].

Un Prototipo Virtual es una simulación hecha por computadora del modelo de un producto final, de un componente, o de un sistema. A diferencia de otros métodos similares, que distinguen modelos basándose en sus características, el término Prototipo Virtual no hace referencia a ninguna característica en particular del modelo, sino que se refiere a la función del modelo dentro del proceso de diseño, específicamente para [32]:

• Explorar alternativas de diseño. • Demostrar conceptos de diseño.

• Examinar requerimientos de satisfacción/exactitud.

Para resultar de utilidad en el diseño de un sistema más grande, un modelo virtual define las interfaces de un componente o sistema que se esté diseñando. Como con cualquier diseño, debe existir una plataforma de prueba para verificación regresiva.

En contraste con un prototipo físico, que requiere diseño detallado de software y hardware, un prototipo virtual puede ser configurado más rápidamente y a menor costo, puede ser más abstracto, y puede ser invocado en etapas más tempranas del proceso de diseño. Otra diferencia es que un prototipo virtual, siendo una simulación por computadora, brinda mayor observabilidad no invasiva de estados internos que normalmente no es posible con modelos físicos. Comparativamente los prototipos virtuales introducen riesgos debido a la posibilidad de imprecisiones de modelación.

La modelación virtual de un prototipo es la actividad de configurar (construir) y utilizar (simular) un modelo, realizado mediante el software de una computadora, de un producto, sistema o componente, para explorar, examinar, demostrar, y/o validar el diseño, su concepto, y/o características de diseño, alternativas, u opciones. Específicamente el acto de utilizar el prototipo virtual como si fuera un ejemplo del producto (físico) final.

La modelación de un prototipo virtual es sinérgica ya que acorta los ciclos de evolución del producto de días o semanas reduciéndolos a minutos. El diseñador puede determinar los efectos de los cambios de diseño sobre el comportamiento del sistema final tan rápido como lo que toma editar un archivo.

Construcción mecánica Modelo dinámico Sistema de control Prototipo virtual Idea

Fig. 5.1 Proceso de un prototipo virtual.

Así como existe un proceso a seguir para la obtención de un modelo o prototipo virtual, es también necesario un proceso sistemático para su implementación en la construcción del modelo físico. Este proceso incluye las etapas que se especifican en el diagrama de la figura siguiente: Análisis de software y diseño Implementación de software Sistema de control Prototipo virtual Especificaciones de software

Fig. 5.2 Proceso de implementación de un prototipo virtual.

Con referencia a los pasos definidos en los procesos anteriores, se desarrollan la mayoría de los diseños de un prototipo virtual, siendo este el caso del estudio que se presenta. El software de modelación utilizado es MSC ADAMS y a su vez este desarrolla una interacción con el software Matlab para el diseño del sistema de control. A continuación se presenta la descripción general de una modelación tipo en este software de simulación para la obtención del prototipo virtual que sirve de base para el diseño de un futuro prototipo físico.