La modelación una mirada desde los Lineamientos Curriculares y los Estándares

Los Lineamientos (1998) describen el proceso general de modelación partiendo de una consideración básica de que los estudiantes aprenden matemáticas “haciendo matemáticas”, postura proveniente de enfoques como la fenomenología didáctica y la EMR, corrientes fundadas por el matemático holandés Hans Freudenthal. Desde esta consideración, es indispensable integrar al currículo de matemáticas una gran variedad de problemas que giren en torno al contexto o cotidianidad de los estudiantes, es decir situaciones próximas a su vida diaria. Así, en su sentido más elemental la modelación permite describir la interrelación entre el mundo real y las matemáticas. En este ámbito, la figura 2 describe los elementos básicos del proceso de modelación.

Figura 2. Elementos básicos de la construcción de modelos

El esquema anterior concibe como punto de partida del proceso de modelación una situación problemática real. Dicha situación debe ser idealizada, estructurada y sujeta a condiciones y restricciones, que le permitan un tratamiento en el aula (escolar), lo que conduce a una formulación del problema. Sin embargo, es pertinente señalar que dicha formulación conlleva por un lado características fundamentales de la situación original y por otro una esquematización que permite abordarla con elementos matemáticos.

Una vez enunciado matemáticamente, el problema, debe trasladarse al ámbito matemático, es decir los conceptos, relaciones, condiciones y suposiciones deben ser matematizados, generando un modelo matemático de la situación real. Este modelo como lo argumentan los Lineamientos (1998, p. 98) consta fundamentalmente de ciertos objetos matemáticos que se identifican con los “elementos básicos” de la situación original o del problema formulado, pero también de ciertas relaciones entre estos objetos, que corresponden a relaciones entre esos “elementos básicos”.

Dado que la modelación asume la resolución de problemas de la vida real como eje primordial de la actividad matemática escolar, este proceso general permite obtener determinados resultados matemáticos, a través de cálculos y revisión de ejemplos concretos, extracción de conclusiones, aplicación de métodos y resultados matemáticos ya conocidos, así como el desarrollo de nuevas deducciones matemáticas. Es así como entra en juego la validación de dichos resultados, es decir su interpretación en el contexto de la situación original. De este modo, quien soluciona el problema valida al mismo tiempo el modelo, si este se ajusta al propósito para el cual fue construido.

Este proceso de validación de un modelo suele tener incompatibilidades que conllevan a la modificación o al reemplazo total del modelo, por ende la resolución de problemas puede ser un proceso que requiera la devolución o retorno varias veces. Al obtenerse un modelo satisfactorio, este puede ser usado como base para efectuar predicciones acerca de la situación original o del objeto modelado, con el fin de tomar decisiones. Lo que es reafirmado en los Estándares (2006) donde se pone de manifiesto que la modelación de una situación problema, hace posible establecer modelos matemáticos de diferentes grados de complejidad4, a partir los cuales se pueden hacer predicciones, obtener resultados y comprobar que tan razonables son estos a la luz de las condiciones iniciales de la situación problemática real. Es precisamente la

capacidad de predicción la potencialidad del modelo matemático dentro de la actividad matemática en el aula.

Tanto los Lineamientos como los Estándares generan la discusión sobre el uso de modelación y matematización como sinónimos, particularmente los Lineamientos (1998) realizan una aclaración con respecto al significado conferido a cada uno de estos términos. Se entiende por modelación (o construcción de modelos) “el proceso completo que conduce desde la situación problemática real original hasta un modelo matemático” (Lineamientos, 1998, p. 98) y por matematización “el proceso desde el problema enunciado matemáticamente hasta las matemáticas” (Lineamientos, 1998, p. 98).

Desde esta perspectiva, se considera la descripción de modelación dada por Treffers y Goffree como “una actividad estructurante y organizadora, mediante la cual el conocimiento y las habilidades adquiridas se utilizan para descubrir regularidades, relaciones y estructuras desconocidas” (Lineamientos, 1998, p. 98). Añadiendo que los modelos matemáticos estructuran y crean una parte de realidad (proceso real pre – existente) y que por tanto la modelación no puede ser limitada simplemente a la producción de una imagen simplificada de un proceso real; pero que en últimas todo depende de los intereses, conocimientos e intenciones de quien resuelve la situación problema.

Tomando como base a Treffers y Goffree, los Lineamientos (1998) señalan algunas actividades que pueden ayudar al paso de la situación problemática real a la formulación del problema, proceso que se identifica con lo que Freudenthal ha denominado matematización horizontal. Algunas de estas actividades (Lineamientos, 1998, p. 99) son:

 Identificar las matemáticas específicas en un contexto general

 Esquematizar, formular y visualizar un problema en diferentes formas

 Descubrir relaciones y regularidades

 Transferir un problema de la vida real a un problema matemático

 Transferir un problema del mundo real a un modelo matemático conocido

Asimismo, una vez el problema haya sido planteado matemáticamente es posible identificar algunas actividades que permiten abordarlo con herramientas matemáticas, es decir matematizar la situación para “construir” el modelo matemático; paso que se identifica con la

matematización vertical establecida por Freudenthal, algunas de estas actividades (Lineamientos, 1998, p. 99) son:

 Representar una relación en una fórmula

 Probar o demostrar regularidades

 Utilizar diferentes modelos

 Combinar e integrar modelos

 Generalizar (Siendo esta última el nivel más alto de modelación).

De acuerdo con lo anteriormente expuesto, los Lineamientos (1998) dan gran relevancia al proceso de modelación en el aprendizaje de las matemáticas, permitiendo a los estudiantes observar, reflexionar, discutir, explicar, predecir y comprobar con el fin de construir de modo significativo conceptos matemáticos, es decir que experimenten procesos de matematización que les conlleven al descubrimiento, creación y utilización de modelos en todos los niveles. Visión que se corresponde con el principio de actividad en la EMR, al propiciar una matemática para todos.

Con respecto a los Estándares (2006), estos avanzan más en la concepción y definición de modelo, que en el proceso mismo de modelación, como si lo hacen los Lineamientos (1998). Desde los Estándares (2006, p. 52), se entiende por modelo: un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible, es decir un buen modelo debe permitir al estudiante efectuar manipulaciones o transformaciones sobre la situación, explorar diferentes alternativas de solución, así como la conjeturación y verificación de estas soluciones. Este punto de vista se corresponde, con la definición de modelo concebida por Freudenthal dentro del enfoque de la EMR, donde es considerado como un intermediario por medio del cual una realidad es simplificada con el propósito de tornarla asequible a un tratamiento matemático formal.

Los Estándares (2006) al igual que los Lineamientos (1998) retoman elementos de la propuesta de Freudenthal en torno a la matematización. Sin embargo, la postura de los Estándares (2006, p. 53) considera equivalentes los procesos de modelación y matematización, entendiendo estos, desde su forma más sencilla “como simplificación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida”, de tal modo que

pueda detectarse qué esquema se le puede aplicar, cómo es su relación con otras situaciones y qué operaciones matemáticas resultan adecuadas para dar solución a los interrogantes que dicha situación plantea; siendo esta la acepción de matematización y modelación para la Educación Básica y Media.

Así, la modelación puede simplificar una situación de diferentes maneras y representarla ya sea de forma gráfica, mental, gestual o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos, de tal forma que los estudiantes formulen y resuelvan situaciones problema relacionados con ella; pero ante todo debe permitirles la detección de esquemas similares en las diversas situaciones cotidianas, de otras disciplinas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente.

Esta reseña acerca del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos, así como del proceso de modelación, deja claro que las políticas curriculares Colombianas son congruentes con posturas internacionales, fundamentalmente con el enfoque de la EMR, que establecen la complejidad de este proceso general, en tanto requiere asumir la cotidianidad y la experiencia del estudiante en espacios fuera del aula de clase; ámbitos donde los conceptos y herramientas matemáticas deben adquirir significado en el marco de situaciones problema reales.