Modelo de Datos

La clave en la estimación del DOA en los métodos, como ESPRIT, basados en el subespacio es explotar correctamente el conjunto de datos obtenido del arreglo de antenas mediante un modelo de datos. Para la descripción del modelo de datos general, se utilizará como referencia el escenario mostrado en la figura 48.

Se considera que las fuentes (usuarios) se encuentran en el campo lejano del arreglo de antenas, por lo que las señales en el entorno se propagan como frentes de ondas planas. Se considera un arreglo lineal uniforme de N elementos cuyo intervalo de operación es de

° ≤ ≤ °

−60 θ_i 60 en el plano horizontal, donde θ_i representa la dirección de arribo (DOA) de la i-ésima fuente.

De esta forma, la salida de señal compleja obtenida a partir del n-ésimo elemento del arreglo de antenas en el tiempo t, está dada por la expresión (114) que a continuación se reescribe:

∑

donde, como ya se había establecido, M es el número de fuentes presentes y a_n(θ_i) representa la respuesta compleja del n-ésimo elemento correspondiente a la fuente s_i(t) en la dirección θ_i.

La expresión (119) puede expandirse para considerar las respuestas de los N elementos del arreglo de antenas. Utilizando notación vectorial para las salidas de los N elementos, se obtiene el modelo de datos requerido:

∑

donde a(θ_i)=[a₁(θ_i),⋅ ⋅ ⋅,a_N(θ_i)]T representa el vector de respuesta o de direccionamiento del arreglo para la dirección θ_i. De esta forma, el n-ésimo elemento del vector a(θ_i) está definido de acuerdo a la expresión (115).

Haciendo A(θ)=[a(θ₁), ⋅ ⋅ ⋅ ,a(θ_M)] y s(t)=[s₁(t), ⋅ ⋅ ⋅ ,s_M(t)]T, y considerando el ruido de medición de la antena n(t), el modelo de datos puede ser expresado como [Roy y Kailath, 1989]:

) ( ) ( ) ( ) (t = A θ s t +n t ε . (121)

Debe notarse que ε(t), n(t) ∈ CN, s(t) ∈ CM, y A(θ ) ∈ CN×M , donde se considera que el número de fuentes M es menor al número de elementos de que consta el arreglo de antenas, eso es, N >M , y donde C representa el espacio de los números complejos. La expresión (121) representa el modelo de datos general con mediciones de ruido para un escenario como el mostrado en la figura 48. Este modelo es la base para el análisis del método ESPRIT para la estimación del DOA. Cabe destacar que el modelo de datos de la expresión (121) es el modelo base, a partir del cual es posible incluir características específicas del entorno espacial en cuestión.

V.3.1 Diversidad del Arreglo y Subespacio de Señal

En la estimación del DOA mediante un método basado en el subespacio, son de gran importancia los términos diversidad del arreglo (array manifold) y subespacio de señales. Para explicar a qué se refieren dichos términos, se considera el modelo de datos libre de ruido, es decir, ε(t)= A(θ)s(t). Los vectores a(θ_i) ∈ CN, que representan las columnas de la matriz A(θ) de dimensiones M×N, son elementos de un conjunto (no un subespacio) conocido como diversidad del arreglo (δ ) [Roy y Kailath, 1989], el cual se encuentra conformado por todos los vectores de respuesta (direccionamiento) del arreglo correspondientes a todos los valores θ en el intervalo −60°≤θ ≤60°. Por tanto, las características geométricas del arreglo de antena determinan el conjunto δ .

Ahora bien, considerando el modelo de datos sin ruido para una sola señal ) ( ) ( ) (t a θ s_θ t

ε = , los datos se encontrarían en un subespacio unidimensional de CN

caracterizado por el vector a(θ). Para el caso en que se tengan M fuentes, los vectores de datos observados ε(t)= A(θ)s(t) estarán contenidos en un subespacio M -dimensional de

N

C , al cual se le denomina como subespacio de señal (S_X) [Roy y Kailath, 1989]. Este subespacio de señal es expandido (ver Apéndice V.1) por los M vectores a(θ_i) que representan las columnas de A(θ).

Como puede derivarse a partir del modelo de datos y de la definición de los términos de diversidad del arreglo (δ) y subespacio de señal (S_X), el objetivo en la estimación del DOA es determinar los M vectores a(θ_i) correspondientes a las M fuentes, los cuales contienen la información del ángulo de llegada de las señales. Por tanto, con el modelo

libre de ruido considerado anteriormente, se puede vislumbrar una posible respuesta mediante la utilización de los términos de diversidad del arreglo y subespacio de señal. Esto es, las salidas de los elementos del arreglo subyacen en un subespacio M -dimensional de

N

C , dicho subespacio es el subespacio de señal (S_X) que como se ha mencionado, es expandido por las columnas de A(θ). Ya que el subespacio de señal (S_X) es M - dimensional, se requiere de M vectores independientes los cuales expandirán dicho subespacio. Por tanto, una vez que se han observado M vectores independientes obtenidos mediante el muestreo establecido en la sección V.2, se conoce el subespacio de señal. Cabe destacar, que se considera que las señales no están correladas entre sí, y por ello el subespacio de señal obtenido con los M vectores observados es el subespacio deseado donde subyacen las columnas de A(θ). Puesto que ya se conoce el subespacio de señal

)

(S_X , las columnas de A(θ) buscadas se obtienen al encontrar las intersecciones entre el subespacio de señal observado y la diversidad del arreglo (δ) [Roy y Kailath, 1989]. Se debe recordar que la diversidad del arreglo (δ) es el conjunto de vectores de direccionamiento del arreglo en todo el intervalo de operación [-60°,60°], y que las columnas de A(θ), que subyacen en el subespacio de señal (S_X), son elementos que pertenecen a dicho conjunto. Es por ello que la intersección entre el subespacio de señal observado y la diversidad del arreglo, proporcionan el conjunto de vectores que expanden el subespacio de señal observado y a partir de los cuales es posible determinar el ángulo de llegada de las señales emitidas por las fuentes. Esta solución, representa la solución general en la cual se basan los métodos de estimación del DOA basados en el subespacio.

La solución al problema de estimación del DOA establecida anteriormente se hizo con referencia al modelo de datos libre de ruido. Cuando se considera el modelo de datos con mediciones de ruido de la expresión (121), la solución ya no es tan directa. Ya que ahora, no es posible conocer el subespacio de señal (S_X) debido a que las muestras tomadas están contaminadas con ruido.

Es en este punto, donde los métodos de estimación del DOA basados en el subespacio desempeñan un papel fundamental a través de sus respectivas técnicas, para estimar un subespacio de señal aproximado (Sˆ_X) que permita determinar la dirección de arribo de las señales provenientes de las fuentes existentes.