MODELO MATEMÁTICO

El modelo matemático para el problema planteado involucra dos tipos de decisiones principales: la primera involucra identificar cuántos serán los vehículos que visitarán a los diferentes tipos de clientes y por otro lado se debe identificar en qué instante de tiempo se visitará a cada cliente. Con estos dos argumentos podremos definir la configuración de flota que atenderá a los clientes y a su vez identificar el programa de entregas a realizar diariamente. Posteriormente se presentará un modelo de programación matemática que representa el problema, sin embargo la metodología de uso no resuelve explícitamente este problema, sino que considera las restricciones que deben satisfacerse en la solución. Es por esto que se presenta a modo de entendimiento de las restricciones que se consideraron para la formulación de la metodología.

A continuación se detallan los aspectos más relevantes del modelo utilizado, entre los cuales se encuentran: los conjuntos que se utilizarán para definir los estados, los parámetros relevantes de cada conjunto, las variables de decisión de los problemas, las restricciones a satisfacer y la función objetivo a minimizar.

El modelo que se presentará corresponde al modelo básico de programación para un modelo de ruteo de vehículos con ventanas de tiempo, basado en la estructura presentada en [4].

5.3.1 CONJUNTOS

V : Conjunto de vehículos para transportar los productos.

C : Conjunto de clientes a atender

N : Conjunto de clientes a atender, más nodos auxiliares que representan al depósito.

5.3.2 PARAMETROS

ddai : Cantidad de cajas solicitados por el cliente i

dij : Distancia ([Km]) entre el cliente i y el cliente j

tij : Tiempo ([Minutos]) de viaje entre cliente i y cliente j

ai : Cota inferior de la ventana de tiempo ([Minutos]) del

cliente i

bi : Cota superior de la ventana de tiempo ([Minutos]) del

cliente i

tei : Tiempo ([Minutos]) promedio de espera en el cliente i

tdi : Tiempo ([Minutos]) promedio de descarga en el cliente i

capk : Capacidad (cajas) asociada al vehículo k-ésimo 5

cfuk : Costo fijo ([$]) por uso del vehículo k-ésimo 5

cvek : Costo variable ([$/cajas entregadas]) de entrega del

vehículo k-ésimo5

5

En estricto rigor esta restricción no debería depender del sub-índice k, dado que todos los valores de capacidad son iguales. Se deja explicito para mejor entendimiento de las soluciones, puesto que un vehículo corresponderá a una ruta.

cvvij : Costo variable ([$/Km]) de viaje de cliente i a j 5.3.3 VARIABLES DE DECISIÓN 0 1 ijk x ik s 5.3.4 RESTRICCIONES

a) Cada cliente debe ser visitado por solamente un vehículo

V k j N

ijk

x 1 i C (1)

b) Condición sobre la capacidad del vehículo

C i j N k ijk i x cap dda k V (2)

c) El vehículo puede salir de la bodega hacia algún cliente

N j

jk

x0 1 k V (3)

Si el vehículo k-ésimo viaja desde el cliente i al cliente j Si no

d) Para cada cliente debe existir una conservación de flujos. N j hjk N i ihk x x 0 h C, V (4)

e) El vehículo debe regresar a la bodega.

N i

k in

x ₁ 1 k V (5)

f) Condición de secuencialidad de las visitas a los clientes

jk ijk ij i i i ik te td dda t M x s s (1 ) i,j N, k V (6)

g) Se debe respetar las restricciones temporales para la entrega de los productos.

i ik

i s b

a i N, k V (7)

h) Naturaleza de las variables

} 1 , 0 { ijk x i,j N, k V (8) 0 ik s i,j N, k V ₍₉₎ 5.3.5 FUNCIÓN OBJETIVO

Minimización de los costos de viaje y arriendo de camiones.

Min V k i N j N ij ij i k ijk jk V k k x x cve dda cvv d cfu ₀ ( ) (10)

5.4 OBSERVACIONES AL MODELO MATEMÁTICO

En la ecuación (1) se modela la condición para que cada cliente deba ser visitado exclusivamente una vez. Esta restricción hace referencia a que la demanda solicitada por un cliente debe estar completamente incluida en alguno de los vehículos. Esto es claro ya que no existen demandas que lleguen a ser mayor que la capacidad de los vehículos seleccionados. En la ecuación (2) se establece que ningún vehículo puede transportar pedidos en que su conjunto sea mayor que la capacidad establecida para el vehículo. En esta restricción se puede apreciar el concepto de flota homogénea presente en el problema, ya que se trabajará con capacidades únicas para definir los tipos de vehículos. En la ecuación (4) y (5) se representa la idea de conservación de flujos en las redes en el sentido que se restringe la solución a que un vehículo visite solamente una vez a un cliente. La ecuación (6) restringe el instante de llegada a un cliente en la secuencia es decir que el instante de tiempo en que se visita al cliente j, debe considerar el instante de llegada al cliente i (anterior en la secuencia), el tiempo que debe esperar en él, el tiempo de descarga y el tiempo de viaje entre el cliente i y j. Finalmente la ecuación (7) determina que se deben respetar las ventanas de tiempo existente para la entrega de productos en cada uno de los clientes y la condición (8) y (9) hace referencia a la integralidad de las variables de decisión de asignación de cliente a algún vehículo.

En el modelamiento planteado no se considera la opción de asumir un costo de espera hasta activar la ventana de tiempo de los clientes, es decir, se impone de forma explícita que los vehículos deben visitar a los clientes dentro del período posible de entrega. La función objetivo (9) mide el costo de la solución incluyendo la componente de costos fijos por utilización del vehículo en la ruta

y la parte variable que contempla el gasto por demanda entregada y por distancia recorrida.

En esta formulación se asume que la cantidad de vehículos de cada tipo es un número fijo y grande, ya que la empresa utiliza un modelo de arrendamiento de vehículos en los cuáles siempre existe mayor oferta de la utilizada. Este punto es importante puesto que se debe considerar un tamaño para el conjunto V. Para este problema se utiliza la cantidad histórica de camiones utilizados en el último año.

En resumen, en este problema no sólo se debe decidir las rutas, sino la composición de la flota de vehículos a utilizar. Sin perjuicio de lo anterior, este modelo presentado es para tener un lenguaje familiar dentro de las condiciones que se deben satisfacer en el modelamiento de la heurística central.

La resolución de este problema de forma explícita en algún software comercial sería imposible dada la cantidad de clientes que se deben considerar y la integridad de las soluciones. En las instancias que se trabajaran se consideran cerca de 400 clientes para los cuales existen diferentes ventanas de tiempos. Dada esta problemática es que se procede a mostrar la metodología desarrollada para lograr resolver la problemática actual de la empresa.