Modelo de propagación de la señal en la fibra

5.1 Introducción

Los pulsos ultracortos [84] (menos de unos pocos centenares de femtosegundos) se utilizan en una gran variedad de aplicaciones. Así intervienen en el control cuántico de procesos químicos [85], la generación de imágenes de células vivas (fluorescencia dos fotones) [86], y la fabricación de componentes y estructuras de tamaño micrométrico (micro-mecanizado) [87, 88]. En todas estas aplicaciones es necesario conocer de la forma más precisa posible las características de los pulsos utilizados, ya que su mayor o menor utilidad depende de ello [89].

Este hecho lleva intrínseco el problema de cómo se pueden caracterizar pulsos de luz tan pequeños, ya que se carece de referencias de tan corta duración. Una posible solución es compararlos con ellos mismos, y en este sentido se han desarrollado una serie de técnicas que se basan en la autocorrelación del pulso. La primera aproximación consiste en medir la autocorrelación de intensidad del pulso. La autocorrelación de intensidad puede ser medida mediante el cruce de un pulso con una réplica retrasada en un cristal de generación de segundo harmónico (o cualquier medio no lineal con un alto coeficienteχ2, cómo un two-photon absorber) y detectando la energía de SHG en función del retardo. Mediante esta medida podemos aproximar la duración temporal del pulso, siempre y cuando la forma del pulso sea sencilla. Además no proporciona ninguna información sobre la fase del pulso.

Si el cristal de SHG se sitúa a la salida de un interferómetro de Michelson, podemos apreciar la aparición de unas franjas de interferencia en la señal de autocorrelación. Esta técnica de caracterización de pulsos se denomina Autocorrelación Interferométrica (IA) [90, 91]. A través de la IA podemos obtener cierta información sobre la fase del pulso, pero no la determina totalmente. Según la estructura de IA podemos deducir si el pulso analizado está limitado en frecuencia (transform limited) o si presenta una variación de frecuencia (chirp). Sin embargo resulta imposible determinar si el chirp es positivo o negativo.

Una característica importante de las IA normalizadas es la relación entre los valores para diferentes retardos. Cuando los pulsos están totalmente superpuestos el valor máximo de la IA es de 8 y el valor mínimo es 0. Cuando los pulsos no se superponen, el valor en cambio es de 1. Esta relación 8:1 nos proporciona una medida de calidad de las medidas realizadas, previniendo de posibles desalineamientos en el interferómetro [82].

Otro tipo de medidas son las denominadas técnicas temporal-frecuenciales [92, 93]. Este tipo de medidas proporciona simultáneamente cierta información de la señal en el dominio temporal y en el frecuencial y consiste en medir la intensidad en función del tiempo para diferentes segmentos del espectro de un pulso ultracorto [94]. El conjunto de datos (o traza) así obtenidos se denomina sonograma. Si en cambio medimos el espectro en función de la frecuencia para diferentes partes temporales del campo obtenemos un espectrograma.

En la Figura 5.1 podemos observar una representación del tipo de información que nos proporciona cada una de estas técnicas. En la primera y segunda fila podemos observar, respectivamente, la intensidad y la frecuencia del pulso que queremos caracterizar en función del tiempo. Observamos, en la tercera fila, que la autocorrelación puede darnos información sobre la duración del pulso

transform limited y ninguna sobre la fase del mismo. En cambio, a partir de la

autocorrelación interferométrica podemos distinguir si el pulso tiene chirp o no, dependiendo de la forma de sus alas, pero sin ser capaces de determinar su signo. En la última fila se muestra el espectrograma correspondiente al pulso analizado, donde el eje vertical es la frecuencia, el eje horizontal el retardo y la intensidad se muestra según una escala de colores. Podemos observar como el espectrograma es diferente según el signo del chirp.

Figura 5.1: Intensidad en funcion del tiempo, la frecuencia en función del tiempo y las

medidas correspondiente a dicho pulso (autocorrelación de intensidad, autocorrelación interferométrica y espectrograma) para un pulso gaussiano con chirp negativo, sin chirp y con chirp positivo. En el espectrograma el eje vertical representa la frecuencia y la intensidad de muestra mediante una escala de colores.

Dentro de las técnicas temporal-frecuenciales, una de las más robustas para la caracterización de pulsos ultracortos es la conocida con el nombre de

Frequency Resolved Optical Gating (FROG). En ella se mide el espectro de la

autocorrelación para diferentes retardos entre los pulsos. Se ha utilizado con éxito en la caracterización de pulsos de unos pocos femtosegundos de duración y con longitudes de onda comprendidas entre la banda de ultravioleta (UV) y de infrarrojo cercano (NIR) [95,96]. La técnica FROG puede utilizar diversos efectos no lineales, dando lugar a las técnicas de Polarization-Gate (PG-FROG), Self-Diffraction (SD-FROG), Transient Gating (TG-FROG) y Generación de Segundo Harmónico (SHG-FROG) [95-97]. De ellas, la más

popular es SHG-FROG ya que utiliza el alto coeficiente no lineal de ciertos materiales en lugar de no linealidades de tercer orden, en general mucho más débiles. Además SHG-FROG es el método preferido para la caracterización de pulsos de menos de 100 fs ya que introduce poca dispersión de material en el proceso de medida.

La traza obtenida mediante SHG-FROG (en adelante nos referiremos simplemente como FROG) consiste en una autocorrelación de intensidad de la señal de segundo armónico resuelta en frecuencia (es decir, un espectrograma de la autocorrelación), y contiene toda la información necesaria para la reconstrucción de la intensidad y la fase original del pulso tanto en tiempo como en frecuencia. Podemos describir el espectrograma de la siguiente forma [95-97]

( ), E^ˆ( ) (t E^ˆ t ) ( )exp j t dt

²

I

_FROG ^∞

∫

∞ −

−

∝ τ ω

ω

τ

(5.1)

donde Eˆ

( )

t es el campo eléctrico del pulso y Eˆ

(

t−τ

)

es una replica del mismo pulso pero retardada t =τ .

La recuperación de la fase del pulso a partir de la magnitud de la transformada de Fourier es sólo posible para funciones de dos variables, como los espectrogramas obtenidos mediante FROG [98]. Para ello, es necesario el uso de algoritmos iterativos que consisten en la búsqueda de un campo eléctrico estimado,E_test(t), que minimiza la diferencia entre el espectrograma medido y el espectrograma obtenido a partir de dicha estimación del campo. La suposición inicial sobre la forma del campo eléctrico es refinada a través de sucesivas iteraciones, comparando continuamente el espectrograma estimado y el medido. En la Figura 5.2 representamos esquemáticamente el algoritmo utilizado.

( )

,τ ' t E_sig

( ) ∫

^∞

( )

∞ − = E tτ dτ t E _sig' , E_sig

( )

t,τ =E

( ) (

t ·E t−τ

)

FFT^-1 FFT

Sustituir módulo E_sig

( )

ω,τ por I_FROG

( )

ω,τ

( )

ω,τ

'

sig

E E_sig

( )

ω,τ

Figura 5.2: Diagrama del algoritmo FROG utilizado para obtener el módulo y la fase

Consideramos un pulso inicial arbitrario, E

( )

t . A partir de dicho campo calculamos la señal de segundo harmónico

( )t τ =E( ) (t E t−τ)

E

_sig

, ·

(5.2)

Realizamos la transforma de Fourier para obtener la señal de segundo harmónico en el domino de la frecuencia, E_sig

( )

ω,τ , cambiando el módulo de

( )

ω,τ sig

E por el módulo de la traza experimental, I_FROG

( )

ω,τ . Finalmente, se realiza la transformada inversa de Fourier e integramos la señal obtenida respecto a τ .

Un punto importante de esta técnica consiste en que al utilizar los NxN puntos del espectrograma en lugar de los N puntos del dominio temporal y los N puntos del dominio en frecuencia, se consigue una mejor estimación del pulso, ya que contamos con mucha más información con la que trabajar, presentando una mayor inmunidad al ruido [99].

Estos algoritmos de estimación de la fase normalmente convergen a una solución, aunque, desafortunadamente, no siempre es la solución correcta. Por ello es necesario realizar diversas estimaciones y comprobar a través de la obtención de las autocorrelaciones de intensidad, que pueden ser medidas experimentalmente el laboratorio, qué solución presenta la mejor aproximación a la señal medida. El análisis de las autocorrelaciones de intensidad (marginal

analysis) nos permite además reconocer posibles fuentes de error en la

medida.

En un gran número de aplicaciones donde se requiere conocer con detalle las características del pulso es necesario utilizar una geometría colineal, como la caracterización de objetivos con una apertura numérica grande [100-102]. En este caso, por ejemplo, es necesario que el haz de luz ocupe toda la apertura numérica del objetivo, lo que solamente es posible con una geometría colineal. La medición de pulsos ultracortos bajo geometría colineal presenta varias dificultades, no existiendo ningún método general. La autocorrelación interferométrica (AI) es, como hemos visto, una técnica colineal extremadamente sensible a los cambios de fase, por lo que podría pensarse que es un excelente instrumento para la caracterización de pulsos ultracortos. Sin embargo, existen ciertos problemas que limitan el uso de AI, como el hecho de que diferentes pulsos pueden generar AI y espectros SHG muy similares [103]. Aunque ha habido diversos intentos de diseñar un método general para este caso concreto, normalmente es necesario algún conocimiento a priori del pulso [104].

El algoritmo PICASO [105] es quizá la técnica de AI más exitosa. Sin embargo, las técnicas AI carecen de la posibilidad de chequeo del error, por lo que siempre están sujetas a posibles errores experimentales. Por este motivo se ha dedicado mucho esfuerzo a conseguir trazas FROG a partir de una geometría

colineal mediante el uso de señales SHG tipo II. Estas técnicas incorporan láminas de λ/2 en un brazo del autocorrelador para eliminar las franjas interferométricas. Esta técnica deja de ser útil para pulsos con anchos inferiores a 20 fs debido a la dispersión introducida por la lámina. Una alternativa es el uso de periscopios para cambiar la polarización en el autocorrelador, pero esta solución complica la técnica [106].

A continuación presentamos una técnica, denominada a Collinear Frequency

Resolved Optical Gating (CFROG) que permite convertir una traza obtenida de

forma colineal, en una traza convencional FROG, solucionando de una forma muy sencilla los problemas que presentaban las opciones anteriores.

5.2 FROG bajo geometría colineal (CFROG)

5.2.1 Estudio teórico

La técnica SHG-FROG es una extensión de una autocorrelación SHG en la que la señal SHG es resuelta espectralmente en función del retardo entre los pulsos. Mediante esta técnica se obtiene una representación del pulso tanto en frecuencia como en tiempo conocido como traza o espectrograma. Aplicando un algoritmo de recuperación a dicha traza podemos extraer toda la información del pulso.

El autocorrelador con geometría colineal se basa en un interferómetro de Michelson tal y como se muestra en la Figura 5.3. Para obtener una geometría no colineal basta con sustituir los dos espejos del espectrómetro por corner

cubes. La salida del autocorrelador la señal se focaliza sobre un cristal no lineal

generando la señal de segundo harmónico detectada por el espectrómetro, que tiene incorporada una cámara CCD. Tanto la línea de retardos como el espectrómetro están controlados por ordenador.

El campo eléctrico proveniente del láser se puede escribir como

( )t E( ) (t j f t)

E^ˆ = exp 2π

₀ (5.3)

donde E

( )

t es la amplitud de variación lenta, f es la frecuencia de portadora ₀

óptica, y Eˆ

(

t−τ

)

el campo eléctrico del mismo pulso retardado. En la Figura 5.4 representamos la interacción no lineal tanto para la configuración colineal como para la no colineal.

(a)

(b)

Figura 5.4: Señales detectadas según la geometría del experimento: (a) no colineal (b) colineal.

Si utilizamos una geometría no colineal (ver Figura 5.4 (a)) es posible retener solamente la información del término cruzado entre el pulso y el pulso retardado

( ) (t E t−τ)

E^{ˆ ˆ}

(5.4)

La traza FROG es una autocorrelación de intensidad que ha sido resuelta en frecuencia y muestreada para diferentes retardos relativos entre los pulsos. La expresión general es [95,97]

( ), f E^ˆ( ) (t E^ˆ t ) (exp j2 ft)dt

²

I

SHG FROG ^∞

∫

∞ −

−

−

∝ τ π

τ

(5.5)

En cambio, para la geometría colineal (ver Figura 5.4 (b)), la respuesta no lineal viene dada por

( ) ( )

(Eˆ t + tEˆ −τ )

2 (5.6) Por lo tanto, en lugar de la expresión (5.5) tenemos:

( ) ( ( ) ( ))

2

( )

²

2

exp

ˆ

ˆ

, f E t E t j ft dt

I

_CFROG^{SHG ∞}

∫

∞ −

−

−

+

∝ τ π

τ

(5.7)

Desarrollando la ecuación (5.7) podemos establecer una relación entre la traza generada para el caso colineal y la correspondiente al caso no colineal

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( ) ( )( ( ) ( ( ) ))

{ }

( )

f I f f j f j f E f E f f f I f I f I SHG FROG SHG FROG SHG SHG SHG SHG CFROG , 4 2 exp 2 exp , Re 4 2 2 cos 2 2 , 0 0 * 0 τ τ π τ π τ τ π τ + + + − + + + ∝ (5.8) donde

( )

^∞

∫ ( ) ( )

∞ −

−

∝ E t j ft dt

f

E

_SHG ²

exp 2π

(5.9)

( ) ( )

2

f

E

f

I

_SHG

∝

_SHG (5.10)

( )f E( ) (t E t ) ( j ft)dt

E

_FROG^SHG

τ, ∝

^∞

∫ −τ exp − 2π

∞ − (5.11)

Los dos primeros términos de la ecuación (5.8) corresponden a la intensidad resultante de la interferencia lineal entre la señal SHG del pulso y del pulso retrasado. En particular, el primero corresponde a la intensidad SHG tanto del pulso retrasado como del no retrasado y representa el background inherente a las IA. El segundo término contiene exactamente el mismo background pero modulado por 2 f en las frecuencias retardas y es el término cruzado de la ₀ interferencia entre los dos pulsos SHG.

El tercer término, modulado a f , se obtiene de la interacción entre el campo ₀

Finalmente, el último término contiene la información SHG-FROG. Este último término es exactamente el mismo que el medido bajo geometría no colineal, y el que necesitamos extraer.

Para mostrar la posibilidad de extraer la traza no colineal que nos interesa, que se encuentra dentro de la traza colineal, consideramos en primer lugar un ejemplo canónico. En la Figura 5.5 (a) mostramos un pulso de ancho ∆t=25fs

con un módulo y fase arbitrarios. Aplicando la ecuación (5.7) obtenemos la traza CFROG de dicho pulso (Figura 5.5 (c)). La traza CFROG consiste en una autocorrelación interferométrica resuelta en frecuencia para cada uno de los retardos, por lo que integrando en frecuencia podemos obtener la autocorrelación interferométrica del pulso (Figura 5.5 (b)). Esto permite obtener un método sencillo para verificar la integridad de la traza medida en el laboratorio, ya que debe cumplirse la relación 8:1 característica de las correlaciones interferométricas, como vimos en el apartado anterior. Además, el eje de retardo puede auto-calibrarse a través de la medida de las franjas. Esto mejora la detección de errores producidos durante la medida experimental, a la vez que añade consistencia a los resultados obtenidos. En la Figura 5.5 (d) mostramos la transformada de Fourier de la traza obtenida.

Figura 5.5: Resultados numéricos: (a) Pulso complejo con fase cúbica utilizado como

entrada en nuestro simulador (b) Autocorrelación interferométrica (c) Traza CFROG

Podemos observar cinco componentes espectrales a las frecuencias DC, ± y f₀ 0

2 f

± , tal y como indica la ecuación (5.8). El segundo y el tercer término de dicha ecuación se encuentran modulados a frecuencias 2 f y ₀ f ₀

respectivamente por lo que pueden ser eliminados sencillamente mediante el uso de filtros paso-bajo. Tras el filtrado solamente retenemos la traza FROG más un cierto nivel de background correspondiente al primer término de la ecuación (5.8). Este término es el correspondiente al espectro SHG y puede ser medido en los extremos del eje de retardos. Mediante la sustracción del promedio de varias muestras obtenemos el término en DC, y por lo tanto obtenemos la misma información que la traza no colineal SHG-FROG.

Para poder realizar la trasformación de Fourier de la traza CFROG es necesario asumir periodicidad en la dirección en la que se aplica. Esta es una condición impracticable cuando se adquiere temporalmente la traza. Como consecuencia, se introduce un error en la forma de modulación de las componentes en la dirección frecuencial. Este error puede reducirse significativamente si utilizamos un filtro de Fourier bidimensional. En la Figura 5.6 podemos ver tanto la traza FROG como la traza CFROG filtrada, observando que las dos trazas son iguales. El error RMS entre las dos trazas se calcula a partir de

( )f τ I ( )f τ df dτ

I

G

_FROG

,

_{filtered CFROG}

, · ·

2

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

−

=

(5.12)

obteniendo un valor de G=2.7·10^-7. En el caso de utilizar un filtro unidimensional este error se incrementa, obteniéndose valores >10-2.

Figura 5.6: Resultados numéricos (a) traza CFROG filtrada (b) Traza FROG. El error

5.2.3 Experimento

Para comprobar la validez de la técnica considerada, hemos caracterizado el pulso proveniente de un láser Kerr-lens mode locked Ti:Sapphire mediante la técnica FROG, comparando los resultados con los obtenidos mediante la técnica CFROG. El láser utilizado presenta una potencia media de 1.5 W y una tasa de repetición de 76 MHz. La longitud de onda de emisión es de 800 nm. El haz del láser es enfocado en un cristal no lineal tipo I (BBO) y la señal de segundo harmónico generada es medida con un espectrógrafo que cuenta con una cámara CCD. El paso temporal de la línea de retardo es de ∆τ =1.76fs. La AI tiene un ancho estimado de τ_IA ≈450fs por lo que utilizaremos un

fs

span =900

τ , asegurando así que las colas de AI llegan al valor de 1.

La figura 5.7 (a) muestra la traza medida y la figura 5.7 (b) su transformada de Fourier bidimensional. En la Figura 5.7 (c) se observa la relación 8:1 característica de la autocorrelación interferométrica.

Figura 5.7: Resultados experimentales (a) Traza CFROG medida (b) Transformada de

Fourier de la traza CFROG (c) Autocorrelación interferométrica medida.

Tras procesar la traza CFROG medida obtenemos la traza CFROG filtrada mostrada en Figura 5.8 (a). Si la comparamos con la traza medida con geometría no colineal (Figura 5.8 (b)) obtenemos un error de G=3.9·10^-6, mostrando gran concordancia entre ambas trazas.

Figura 5.8: Resultados experimentales (a) Traza CFROG filtrada (b) Traza FROG. El

error rms entre ambas trazas es de G=3.9·10-6.

Si aplicamos el algoritmo de recuperación de pulsos a ambas trazas obtenemos los mismos pulsos, tal y como se puede ver en la Figura 5.9.

Figura 5.9: (a) Espectro de la traza CFROG filtrada (azul) y la traza FROG (rojo) (b)

5.3 Caracterización de pulsos ultracortos: propagación

de pulsos intensos en fibras ópticas con dispersión

normal.

Como hemos visto en el apartado anterior, CFROG nos permite caracterizar completamente nuestros pulsos de una forma fiable y sencilla. En esta sección caracterizaremos los pulsos a la entrada y salida de una fibra óptica para diferentes potencias de los pulsos de entrada. El objetivo de estas medidas es conocer como afecta al pulso ultracorto un segmento de fibra óptica monomodo con dispersión normal a través de la cual lo propagaremos.

Debido a las altas potencias de pico de los pulsos ultracortos y a la dependencia con la intensidad del índice de refracción de la fibra, los pulsos cortos de alta intensidad generados por una fuente láser se ensanchan espectralmente y adquieren un chirp en frecuencia a medida que se propagan por la fibra (ver Capítulo 2: automodulación de fase (SPM)). Si dicho chirp es lineal a la salida de la fibra, el pulso puede ser temporalmente comprimido mediante algún dispositivo dispersivo, como la combinación de prismas [83] o mediante redes de difracción de Bragg [107].

A partir del pulso de entrada obtenido aplicando la técnica CFROG y mediante un modelo de propagación como el descrito en los capítulos anteriores podemos, en primer lugar, estimar algunos de los valores característicos de la fibra que el fabricante no proporciona (como el coeficiente no lineal o la dispersión). Para ello compararemos los resultados del modelo con los pulsos medidos a la salida de la fibra mediante CFROG. En segundo lugar, una vez conocidos los parámetros de la fibra, podemos encontrar un régimen óptimo donde alcanzar la máxima compresión posible de los pulsos.

Además utilizaremos un medio no lineal diferente, una solución de almidón, mucho más barata que los cristales no lineales típicos y que ha demostrado unos buenos resultados en la caracterización de pulsos ultracortos [108].

5.3.1 Medio no lineal

La elección del medio no lineal utilizado para la caracterización de pulsos ultracortos puede resultar problemática en algunas aplicaciones, como por ejemplo cuando se quiere caracterizar pulsos tras una lente de apertura numérica alta [109]. Esto es debido al gran número de ángulos incidentes en el plano focal. Los ángulos mayores pueden modificar la polarización del haz de salida [110]. Además los pulsos ultracortos presentan un gran ancho de banda, por lo que el ancho de banda de phase matching ha de ser muy ancho, lo que fuerza a tener medios no lineales muy delgados.

Estos problemas pueden resolverse mediante la utilización de una suspensión de almidón como medio no lineal para la generación de señal de segundo

In document Optimización de las prestaciones de enlaces ópticos submarinos de gran capacidad y larga distancia mediante el control de la dispersión (página 132-163)