Modelo de Ross-Macdonald

En la literatura, encontramos muchas variantes del modelo de Ross-Macdonald (ver una revisi´on completa en [92]). Nosotros elegimos una versi´on simple, como la presentada origi- nalmente por R. Anderson y R. May [3], donde dos poblaciones que interact´uan, es decir, la poblaci´on humanaNhy la poblaci´on de mosquitos hembra o vectoresNv, se normalizan a la

unidad. Ambas poblaciones se dividen en individuos susceptibles e infectados, por lo que la fracci´on de humanos infectados se denota comoh(t)∈[0,1] y la fracci´on de mosquitos hem- bra infectados (vectores) se denota comom(t) ∈ [0,1] para cadat ≥ 0. Los otros supuestos esenciales de este modelo son:

(i) Ambas poblacionesNv y Nh son cerradas y permanecen esencialmente invariantes en

el tiempo.

(ii) Ambas poblaciones son homog´eneas en t´erminos de susceptibilidad, exposici´on y atrac- ci´on.

(iii) No hay mortalidad debida a la enfermedad para humanos ni vectores transmisores.

(iv) Una vez infectados, los mosquitos hembra no se recuperan y mueren siendo infeccio- sos.

(v) El per´ıodo de incubaci´on (o latencia) se ignora en ambas poblaciones.

(vi) Solo las personas susceptibles (o totalmente recuperadas) pueden infectarse y las ad- quisiciones graduales de inmunidad por parte de individuos humanos son ignoradas.

Los supuestos (i)-(v) son t´ıpicos para muchos modelos epid´emicos que describen las pro- pagaciones de infecciones transmitidas por vectores. El ´ıtem (vi) tambi´en es razonable cuando diferentes serotipos de dengue circulan simult´aneamente en el ambiente, como lo hacen en Cali, Colombia durante los a˜nos de la epidemia4. De hecho, recuperarse de la infecci´on por un serotipo proporciona inmunidad de por vida contra ese serotipo en particular. Sin embar- go, la inmunidad cruzada de los otros serotipos despu´es de la recuperaci´on es solo parcial y temporal.

Adem´as, las infecciones posteriores por otros serotipos (consideradas como re-infecciones) son favorables en individuos humanos recientemente recuperados de un virus diferente del dengue [50]. Por lo tanto, es razonable suponer que los individuos humanos se vuelven sus- ceptibles despu´es de la recuperaci´on.

4_{En Colombia, el dengue tiene patrones endemo-epid´emicos con brotes epid´emicos causados por la circula-}

ci´on simult´anea de m´aximo tres serotipos del virus del dengue (DENV1-4) y los per´ıodos inter-epid´emicos (o end´emicos) se correlacionan con el fuerte predominio de un serotipo particular de DENV [63, 71].

1.4. APLICACI ´ON NUM ´ERICA. BROTE EPID ´EMICO A ˜NO 2013 15 Con respecto a su formulaci´on matem´atica, el modelo de Ross-Macdonald se describe mediante el siguiente sistema din´amico con dos variables de estado x(t) = m(t),h(t) _∈ [0,1]×[0,1]⊂_R2₊:            ˙ m(t) = αpvh(t) 1−m(t)−µvm(t), ˙ h(t) = αph Nv Nh m(t) 1−h(t)₋γ h(t). (1.21)

Aqu´ıα >0 representa el n´umero de ingestas con sangre de un mosquito hembra en promedio por d´ıa (que tambi´en se conoce como la “tasa de picadura”),pvyph(ambas en [0,1]) expresan

las probabilidades de transmisi´on de pat´ogenos de un hu´esped humano a un vector y viceversa durante la ingesta sangu´ınea,γ >0 es la tasa de recuperaci´on para humanos,µv >0 es la tasa de mortalidad natural para mosquitos y Nv

Nh

representa la llamada “densidad vectorial media”, es decir, el n´umero promedio de mosquitos hembras por individuo humano.

Por simplicidad, usaremos la siguiente notaci´on

βv = αpv, βh =αph

Nv

Nh

, (1.22)

y asignaremos valores num´ericos a todos los par´ametros y condiciones inicialesx0 =(m0,h0), de tal forma que se correspondan con el brote de dengue de 2013 en Cali, Colombia [31] (ver Tabla 1.1). Es importante notar que no hay datos cre´ıbles sobre la fracci´on inicial de mosquitos hembra infectados,m(0) = m0. Por lo tanto, consideraremos tres casos de m0 ∈ {0.001, 0.003, 0.005} en los experimentos num´ericos que presentaremos en la Sub-secci´on 1.4.2.

Par´ametro Valor Unidad

α 0,36 d´ıas−1 pv 0,2128 Adimensional µv 0,0333 d´ıas−1 ph 0,199 Adimensional Nv Nh 1,0087 Adimensional γ 0,1 d´ıas−1 βv 0,07661 d´ıas−1 βh 0,07226 d´ıas−1 h0 0,00025 Adimensional

Tabla 1.1: Valores de referencia de los par´ametros del modelo tomados de [31] y utilizados posteriormente en los experimentos num´ericos.

El sistema din´amico (1.21) es cooperativo debido a que cumple con las desigualdades del lado izquierdo de (1.4) parax=(m,h).

La propagaci´on del dengue y otras enfermedades transmitidas por vectores pueden con- trolarse mediante la erradicaci´on del vector o aumentando la mortalidad naturalµv del mos- quito mediante la fumigaci´on con insecticidas. Por lo tanto, el sistema din´amico (1.21) puede

transformarse en un modelo epidemiol´ogico controlado al introducir una funci´on de control a trozosu(t)∈[um´ın,um´ax]=[0,1] que describa la tasa de mortalidad adicional de mosquitos causada por la aplicaci´on de un insecticida. Esta mortalidad adicional debe depender de la efectividad del insecticida (o letalidad ) la cual es denotada por 0 < η < 1 y generalmente var´ıa entre el 15 % y el 98 % [85]. En consecuencia, la forma final del modelo controlado del tipo Ross-Macdonald que utilizaremos en los experimentos num´ericos (Sub-secci´on 1.4.2) se describe de la siguiente manera

f(m0,h0)=                        ˙ m(t)= βvh(t) 1−m(t)₋ µv+η u(t) m(t) t∈(0,T) ˙ h(t)= βhm(t) 1−h(t)₋γ h(t) t∈(0,T) u(t)∈[0,1] t∈[0,T] m(0),h(0)= (m0,h0). (1.23)

F´acilmente, se comprueba que el modelo (1.23) satisface las dos desigualdades de (1.4), por lo tanto, es un modelo epidemiol´ogico controlado cooperativo.

Para este modelo, consideraremos los siguientes indicadores:

I₁ x(t),u(t)=

h(t) (proporci´on de personas infectadas) (1.24a)

I₂ x(t),u(t)=

m(t) (proporci´on de mosquitos hembra infectados) (1.24b)

Cη u(t)=Cf(η)+Cv(η)u(t) (costo de la aplicaci´on del controlu), (1.24c)

dondeCf(η) ≥ 0 representa los costos fijos diarios (relacionados con el almacenamiento de

insecticidas, el mantenimiento de equipos especiales, personal, etc.) yCv(η) > 0 representa

el costo del insecticida y su aplicaci´on; ambos costos est´an asociados con un insecticida de letalidadη∈[0,1]. Los costos fijos son asumidos por los responsables de la toma de decisio- nes (quienes determinan si el insecticida se utiliza o no), mientras que los costos relacionados con la aplicaci´on del insecticida se suponen proporcionales al controlu.

Es sencillo verificar que los indicadores definidos por (1.24) satisfacen el Supuesto 1.2. Por lo tanto, el objetivo de la Sub-secci´on 1.4.2 se puede resumir de la siguiente forma: Dada una condici´on inicial (m0,h0) y dada la letalidadηdel insecticida junto con los costos

Cf(η), Cv(η), determinar los umbrales ( ¯C,H¯,M¯), para los cuales existe un tripla m(·),h(·),u(·)

que satisfaga las condiciones

             Cη u(t)≤C¯ h(t)≤ H¯ m(t)≤ M¯,

y cumpla con la din´amica (1.23). Estos umbrales ( ¯C,H¯,M¯) deben ser sustentables para todo

t∈[0,T], dondeT > 0 representa el per´ıodo de tiempo en que se mantendr´a la implementa- ci´on del control y est´a definido por los responsables de la toma de decisiones.

1.4. APLICACI ´ON NUM ´ERICA. BROTE EPID ´EMICO A ˜NO 2013 17