LOS MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS 109

6.2.1. INTRODUCCIÓN

El método de los elementos de los elementos finitos constituye una potente herramienta de cálculo que permite resolver numerosos problemas de ingeniería donde los cálculos manuales son inviables.

El método se basa en la creación de un modelo geométrico que sirva de base para la creación del modelo de elementos finitos (malla) formado por una serie de elementos conectados entre sí a través de unos puntos comunes llamados nodos. En el caso de los modelos en 2D, la forma de los elementos suele ser triangular o rectangular. Cuando se trata de modelos en 3D, las formas adoptadas son tetraedros, prismas triangulares o paralelepípedos. Cada elemento del modelo, está representado por unas funciones de forma y una matriz de rigidez que relaciona las fuerzas con los desplazamientos. Esta matriz es constante en cada paso del proceso de cálculo. La relación entre fuerzas y desplazamientos puede ser lineal o no lineal dependiendo del modelo utilizado.

El proceso de cálculo de un modelo de elementos finitos está dividido en pasos, en cada paso existe una relación fuerza-desplazamiento impuesta.

Las matrices de rigidez de cada elemento se integran en la matriz de rigidez global del modelo.

6.2.2. EL MODELO CONSTITUTIVO DE MOHR COULOMB

Se ha optado por la elección del modelo constitutivo elasto-plástico de Mohr-Coulomb porque es, con enorme diferencia, el modelo del que se dispone más información referente a los suelos de Madrid. Es indudable que otros modelos reproducen de forma más realista el comportamiento real del suelo (modelos con endurecimiento o reblandecimiento con la deformación, modelos con distintos módulos deformacionales en carga y descarga, modelos que tienen en cuenta la presión de preconsolidación del suelo, etc.), pero al desconocer los valores a emplear para los parámetros que definen estos modelos, la validez de los resultados obtenidos es incierta.

Por otra parte, para el problema estudiado, las deformaciones del suelo son pequeñas (inferiores al 0.1%), y las plastificaciones que se producen en el terreno son de poca entidad, trabajando fundamentalmente en régimen elástico y lineal, lo que hace que la elección del modelo constitutivo en su fase "plástica" no sea un problema crítico.

El modelo de Mohr Coulomb es un modelo elastoplástico simple con elasticidad lineal. En la figuras 6-1 y 6-2, se diferencian los comportamientos elástico lineal, elástico no lineal y plástico.

Figura 6-1: Comportamiento elástico lineal y no lineal.

Figura 6-2: Comportamiento plástico.

Los modelos elastoplásticos se diferencian en la descripción del comportamiento plástico del material. Denominando a la función que representa la superficie que delimita el comportamiento elástico del plástico, cuando se cumpla que el comportamiento será elástico. Cuando la tensión se iguala al valor de entonces las deformaciones a partir de este estado de carga pasan a ser plásticas.

En el caso de los modelos en 3D, las tensiones y deformaciones el criterio de rotura se expresa en términos de invariantes en tensiones o deformaciones, o combinaciones de ambas. ɛ σ ɛ σ ɛ σ

Coaxialidad: Las tensiones principales se suponen coincidentes con los ejes principales de incremento de tensión plástica.

Función de superficie de plastificación: la superficie 0 separa el comportamiento elástico del elastoplastico y se expresa de la siguiente forma. Esta función se representa en la figura 6-3.

, , sin   2 cos

Figura 6-3: Modelo de Mohr-Coulomb en coordenadas

Definición de los procesos de carga y descarga: Si el estado tensional cumple la condición , , 0 es necesario distinguir los estados de carga y descarga.

El estado de carga viene definido por la expresión:

0

El estado de descarga viene definido por la expresión:

0

Esta distinción permite definir distintas matrices de rigidez para cada estado

Potencial plástico: El incremento de deformaciones plásticas en la superficie de plastificación no se puede derivar solamente de los incrementos de tensiones.

Para definir la dirección del incremento de deformaciones plásticas para un estado tensional dado se introduce la función de potencial plástico   representada en la figura 6-4.

, , 0

Mediante el potencial plástico se obtiene la función de fluencia definida como:

∆ , ,

σ τ

, , 0

La magnitud de los incrementos de deformación plástica se controla mediante el parámetro que se obtiene a partir de la condición de consistencia.

Figura 6-4: Potencial plástico

Parámetros geotécnicos utilizados:  Modulo de Young (E)

 Modulo de Poisson (ʋ)

 Angulo de rozamiento interno ( )  Cohesión (c)

 Dilatancia ( )

6.2.3. LOS MODELOS EN ANSYS

El programa ANSYS es un código de análisis mediante elementos finitos que permite el cálculo de numerosos problemas estructurales, térmicos, electromagnéticos y de mecánica de fluidos. El sistema incluye un entorno completo de desarrollo que consta de las siguientes etapas:

 Preproceso o introducción de los datos,.

 Modelado sólido 2D y 3D del problema a resolver,  Introducción de condiciones de contorno y cálculo,

 Postproceso, gráficos de todo tipo y optimización del diseño.

Puede aplicarse no sólo a la determinación de desplazamientos, tensiones y fuerzas en cálculos estructurales, sino también a la distribución de temperaturas en cálculos térmicos y la determinación del flujo, presiones y caudales en cálculos de mecánica de fluidos. Como principales características del programa pueden señalarse las siguientes:

1. Permite la definición de malla de elementos de forma directa o bien basada en un modelo sólido, incorporando en tal caso unos algoritmos de mallado automático. El modelado sólido se puede efectuar mediante operaciones booleanas de varios sólidos sencillos (primitivas) o bien como superposición de elementos simples: puntos, líneas, arcos, áreas y volúmenes. El mallado automático incorpora un control del usuario mediante diversos comandos. Es posible también efectuar un mallado en 2D y luego efectuar una extrusión, desplazamiento o rotación para transformarlo en una malla tridimensional.

, , 0 , , 0 , ∆ , ∆ ∆ ∆

2. El programa incluye un lenguaje propio de programación, denominado APDL, que permite efectuar cálculos en modo de proceso por lotes y facilita la optimización, variación de parámetros, repetición de cálculos, etc.

3. Admite la introducción de gran número de efectos no lineales: grandes movimientos, grandes deformaciones, endurecimiento bajo tensión, plasticidad, hiperelasticidad, viscoplasticidad, viscoelasticidad, fluencia, expansividad, cambio de fase, elementos de sólo tracción o sólo compresión, contactos, mecánica de la fractura, pandeo, aparición y desaparición de partes del modelo entre fases de cálculo, etc.

4. El modelado del terreno puede efectuarse bidimensionalmente con elementos cuadrangulares y triangulares o tridimensionalmente con elementos tetraédricos o prismáticos.

5. El comportamiento del terreno puede modelizarse tanto elástica como elastoplásticamente.

6. Puede efectuarse el cálculo en varias fases constructivas sucesivas. Cada fase del programa se inicia de forma automática partiendo del estado tensional resultante de la fase anterior. La capacidad de aparición y desaparición de elementos (“Element Birth and Kill”) permite emplear una única malla de elementos para todas las fases constructivas.

7. Los criterios de convergencia pueden ser proporcionados por el usuario o bien generarse automáticamente por el programa. Se realizan las iteraciones necesarias para la convergencia de cada una de las fases constructivas por separado.