Modelos de paseo aleatorio y martingala

Las primeras aportaciones en relación con la hipótesis de mercado eficiente (desde Bachelier, 1900, hasta los trabajos empíricos de Cowles, 1933, 1944; Working, 1934; Kendall, 1953; Osborne, 1959; Roberts, 1959) condujeron hacia la idea de que el modelo teórico consistente con la citada hipótesis era el de paseo aleatorio. Formalmente, para los procesos

estocásticos1 _{

t

p } y {r_t} ya definidos en la sección 1.1 del Capítulo 1, la expresión de un paseo aleatorio es

− = 1 + t t t p p r _(3.1) donde _IID(0, 2₎ t

r ∼ σ , es decir, es un proceso independiente e idénticamente distribuido (IID) con media 0 y varianza

σ

2. Aunque inicialmente no se hacían supuestos explícitos sobre la distribución de r_t, con frecuencia, implícitamente se suponía que su distribución era normal.

Si se considera que los procesos se inician en t₀ = , la sustitución 0 recursiva2 _{en (3.1) conduce a la expresión}

− − = = ₀ +

∑

1 0 t t t j j p p r (3.2)

de donde se tiene que la esperanza y varianza condicionadas al valor inicial p₀ son, respectivamente,

⎡E p p_{⎣ t 0}⎤ =_⎦ p₀ y

(

)

= σ2 0

t

V p p t

lo que significa que el proceso (3.1) es estacionario en media, pero no en varianza (depende del tiempo).

La expresión (3.2) permite ver los precios como sumas parciales de los rendimientos r_t, cuyas características según la formulación (3.1) suponen cambios en los precios impredecibles y aleatorios, lo cual es consustancial con las primeras versiones de la hipótesis de mercado eficiente.

Diversos estudios empíricos han puesto de manifiesto que los datos financieros suelen ser inconsistentes con el modelo (3.1). La principal inconsistencia es con el supuesto de constancia de la varianza de r_t (Kendall (1953) y más tarde Mandelbrot (1963) comprobaron que no se cumplía el supuesto de distribuciones idénticas en el modelo de paseo aleatorio debido a que la varianza de r_t no parecía mantenerse constante en el tiempo), lo cual deja claro que el modelo (3.1) no refleja la realidad de la dependencia temporal de la volatilidad de los rendimientos de los activos financieros3_{. Este hecho llevó al planteamiento del denominado}

paseo aleatorio heterogéneo, una versión del modelo (3.1) en la que

2

(0, )

t t

r ∼I σ , es decir, es un proceso independiente pero no idénticamente distribuido.

Asimismo, la presencia de leptocurtosis y correlación temporal en las series de rendimientos analizadas en varios trabajos (Kendall, 1953; Working, 1960 y Moore, 1962), pusieron en duda los supuestos de normalidad e independencia temporal, respectivamente, que asume el modelo (3.1).

Por todo lo anterior, a mediados de los 60 se empezó a considerar que los requerimientos del modelo (3.1) eran muy restrictivos para

3 _{En trabajos más recientes (Campbell et al. (1997), Loretan y Phillips (1994), Schwert} (1989)) se ha justificado que el supuesto de igual distribución sobre r no es aceptable _t

para los precios de los activos financieros en largos períodos de tiempo ya que su incumplimiento puede deberse a los numerosos cambios que en dicho período se producen en la economía y la tecnología.

representar la hipótesis de eficiencia financiera. Así, algunos autores reconocieron que un mercado podía ser eficiente aún cuando los rendimientos que recoge la expresión (3.1) no fuesen independientes e idénticamente distribuidos (IID). En ese sentido, Samuelson (1965) y Fama (1970), entendiendo el mercado como un juego justo, plantearon la idea de eficiencia, desde el punto de vista del proceso de la información, con el modelo menos restrictivo de martingala4_{. En este caso, si Ω}

tes el

conjunto de información disponible en el instante t, se expresaría5

+

⎡ Ω =⎤ ⎣ t 1 t⎦ t

E p p (3.3)

es decir, en un mercado eficiente es imposible predecir el futuro usando el conjunto de información, de manera que el mejor pronóstico para el precio de un activo en el instante t+ es el precio de hoy. La formulación 1 (3.3) implica

+ +

⎡ − = Ω =⎤ ⎣ t 1 t t 1 t⎦ 0

E p p r

lo cual refleja la idea de juego justo, y permite afirmar que el rendimiento

t

r constituye una diferencia de martingala. En consecuencia, en este caso los cambios en los precios no solapados están incorrelados6_{, lo cual}

4 _{A este respecto LeRoy (1989) comenta:}

“…requiriendo independencia probabilística entre incrementos de precios sucesivos, el modelo de paseo aleatorio es simplemente muy restrictivo… sin embargo, una restricción más débil en los precios de los activos que aún captura la esencia del paseo aleatorio (el modelo de martingala), resultó ser más manejable”

implica la ineficacia de cualquier regla lineal de predicción de los cambios en los precios basada en la información disponible (Campbell et al, 1997).

La formulación de martingala (3.3) permite reinterpretar la expresión (3.1) en la forma siguiente:

− − ⎡ ⎤ = _⎣ Ω _1⎦+ = ₁ + t t t t t t p E p r p r

Donde r_t verifica las propiedades

(i) E r⎡ ⎤ < ∞_{⎣ ⎦t} (ii) E r⎡_{⎣ t} Ω_t−1⎤_⎦ =0

es decir, r_t constituye una diferencia de martingala que denotamos DM(0)

t

r ∼ .

La hipótesis de martingala fue considerada durante un tiempo condición necesaria para la eficiencia del mercado. En efecto, como ya se ha comentado un mercado es eficiente si los precios reflejan completamente toda la información disponible, lo cual implica que no es posible obtener beneficios negociando con dicha información; por consiguiente el valor esperado de los rendimientos (o cambios en los precios) condicionado a la información disponible debe ser cero. En este contexto, cuanto más eficiente es el mercado, más aleatoria es la secuencia de cambios en los precios generada por el mercado, y el mercado más eficiente de todos es aquel en el que los cambios en los precios son completamente aleatorios e impredecibles (Campbell et al., 1997).

No obstante, la hipótesis de martingala no impone restricción alguna en el riesgo de los activos7_{, sino que simplemente lo hace en los}

rendimientos esperados. De esta manera, si el rendimiento esperado de un activo es positivo debe reflejar la prima que exigen los inversores como compensación por el riesgo asumido. En consecuencia, la hipótesis de martingala no es condición suficiente ni necesaria para la determinación racional de los precios (LeRoy (1973), Rubinstein (1976) y Lucas (1978)) ya que no tiene en cuenta el riesgo del inversor en ningún caso.

La consideración de la aversión al riesgo es más consistente con la realidad del mercado, pues refleja el comportamiento racional del inversor, y condujo al enfoque de la eficiencia desde la perspectiva de las expectativas racionales. Si, además, se tienen en cuenta los costes necesarios para que los precios reflejen completamente la información disponible (costes de información y de transacción) con este nuevo enfoque nos acercamos aún más a la mencionada realidad del mercado. En este escenario (Pesaran, 2011), y en relación con una operación de arbitraje sobre un activo concreto, al inicio del instante t y para cada inversor i se debe tener en cuenta la prima de riesgo (λ_it > ), los costes 0 de información y transacción por unidad invertida (δ_it > ) y su conjunto 0 de información (Ψ ). Por un lado, la condición de arbitraje establece para _it cada inversor i el valor subjetivo esperado del exceso de rendimiento del activo respecto de Ψ _it

λ

δ

+ ⎡ Ψ =⎤ + ⎣ 1 ⎦ ˆ i t it it it E z (3.4)

mientras que desde el punto de vista de la valoración objetiva las expectativas racionales establecen

+ + ⎡ Ψ =⎤ ⎡ Ψ ⎤ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ˆ i t it t it E z E z i (3.5)

Tomando en (3.5) esperanzas condicionadas al conjunto de información

t

Ω respecto del cual se analiza la eficiencia, se tiene

+ + ⎡ _{⎡⎣ Ψ ⎤⎦ Ω =}⎤ ⎡ _{⎡⎣ Ψ ⎤⎦ Ω} ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ˆi t 1 it t⎦ t 1 it t E E z E E z y como Ω ⊂ Ψ resulta _{t it} + + ⎡ _{⎡⎣ Ψ ⎤⎦ Ω =}⎤ _{⎡⎣ Ω ⎤⎦} ⎣ ˆi t 1 it t⎦ t 1 t E E z E z

Sustituyendo (3.4) en la expresión anterior se tiene

λ δ ρ

+

⎡ Ω =⎤ ⎡ + Ω =⎤ ⎣ t 1 t⎦ ⎣ it it t⎦ t

E z E i (3.6)

condición que verifica el valor esperado del exceso de rendimiento del activo respecto del conjunto de información disponible Ω_t bajo la hipótesis de expectativas racionales, donde ρ_t es una medida promedio que combina las primas de riesgo y los costes de información y transacción de los inversores participantes en el mercado. La hipótesis de expectativas racionales junto con el arbitraje perfecto aseguran que los inversores tengan las mismas expectativas de riesgo y costes de

información y transacción. Asimismo, la racionalidad y la disciplina de mercado anulan las diferencias individuales en gustos, habilidades en el manejo de la información y otros costes de transacción relacionados, que es la base teórica de la hipótesis de mercado eficiente desde la óptica de las expectativas racionales. Esto es compatible con

λit =λt +εit, E⎡⎣εit Ω =t⎤⎦ 0

δ_it =δ_t +ν_it, ⎡E v_{⎣ it} Ω =_t⎤_{⎦ 0}

donde ε_it y ν_it están distribuidos con media cero independientemente de

t

Ω , y λ_t y δ_t son funciones conocidas del conjunto de información disponible Ω , de manera que la expresión (3.6) queda _t

λ δ ρ

+

⎡ Ω =⎤ + = ⎣ t 1 t⎦ t t t

E z i

En el caso particular de neutralidad frente al riesgo y constancia de los costes de información y transacción asociados, la hipótesis anterior se reduce a

+

⎡ Ω =⎤ ⎣ t 1 t⎦

E z constante i

que se corresponde con la condición de diferencia de martingala, supermartingala o submartingala, según que la constante sea igual, inferior o superior a cero, respectivamente8_.

rendimientos de los activos se ajustan por el riesgo (Lucas (1978), Cox y Ross (1976), Harrison y Kreps (1979)). Por otra parte, LeRoy (1973) validó empíricamente la hipótesis de martingala en presencia de aversión al riesgo, al constatar que cambios en el rendimiento esperado de un activo debidos a cambios en las estimaciones de la aversión al riesgo suelen ser pequeños en comparación a las fluctuaciones reales del rendimiento de dicho activo en el corto plazo. Es más, posteriormente, el propio LeRoy (1989) llegó a afirmar que no se pierde mucho empíricamente si se ignora la aversión al riesgo.

Por otro lado, debemos recordar que la premisa de que la información tiene un coste solo cuestiona la eficiencia fuerte, ya que en el contexto de las formas débil y semi-fuerte se asume que la información se proporciona sin coste alguno (Fama, 1991).

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