En un movimiento que parte del reposo, acelerado de tal forma que los

ímpetus crezcan continuamente en una proporción doble que la de los tiempos consumidos, la longitud recorrida en un tiempo será también a la longitud reco- rrida en otro tiempo como el producto del ímpetu por el tiempo de un movi- TRATADO DEL CUERPO

188

miento, al producto del ímpetu de un movimiento por el tiempo del otro mo- vimiento.

Figura 2

Sea pues (en la figura 2) el tiempo AB en cuyo comienzo del tiempo, A, el ímpetu sea como el propio tiempo A pero que, a medida que avanza el tiempo, el ímpetu crezca de forma continua en una proporción el doble que la de los tiempos, hasta que en el último punto del tiempo, B, se haya adquirido el ímpe- tu BI; y que en un punto F, situado en cualquier lugar del tiempo AB, se apli- que ordenadamente el ímpetu FK adquirido en ese tiempo. Como se supone que FK tiene respecto a BI una proporción el doble que la de AF a AB, AF tendrá respecto a AB una proporción subduplicada de la que tiene FK a BI y AB ten- drá respecto a AF una proporción subduplicada de la que tiene BI a FK y, por consiguiente, el punto K estará en una línea parabólica cuyo diámetro es AB y la base BI. Y por la misma razón, si se aplica en cualquier punto del tiempo AB el ímpetu adquirido en ese tiempo, se obtendrá una recta que designa ese ímpetu en la misma línea parabólica AKI. Por lo cual el ímpetu multiplicado por el to- tal del tiempo AB será la parábola AKIB, que es igual al paralelogramo AM, del cual un lado es el tiempo AB, y el otro el ímpetu AL, dos tercios del ímpetu BI. Porque toda parábola es igual a dos tercios del paralelogramo que tiene su misma base y su misma altura. Luego el total de la velocidad a lo largo de AB, como la que realiza el ímpetu AL en el tiempo AB, será el paralelogramo AM. De igual manera, si se toma FN, que es 2/3 del ímpetu FK y se completa el paralelogra- mo FO, FO será el total de la velocidad durante el tiempo AF, formada por el ímpetu uniforme AO, o FN, multiplicado por el tiempo AF. Tómese ahora la EL MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO Y EL MOVIMIENTO POR CONCURSO

189 19_Cap. 16 11/11/08 19:23 Página 189

recta DE como la longitud recorrida en el tiempo AB con la velocidad AM. Su- póngase por último que DP es la longitud recorrida en el tiempo AF con la ve- locidad AN. Digo que DE es a DP como AM a AN o como la parábola AKIB a la parábola AKF. Sea DE a DG como AM a FL, esto es, como AB a AF. Ahora bien, la proporción de AM a AN se compone de las proporciones de AM a FL y de FL a AN. Pero (por construcción) DE es a DG como AM a FL, y la longi- tud DG a la longitud DP como FL a AN (porque el tiempo es el mismo en am- bos lugares, esto es, AF), ya que las longitudes recorridas en el mismo tiempo son entre sí como las velocidades. Por lo cual, y por igualdad, DE es a DP como AM a AN, esto es, como el ímpetu AL multiplicado por su tiempo AB es al ímpetu AO multiplicado por su tiempo AF. Que es lo que se trataba de probar.

Corolario 1. Las longitudes recorridas con un movimiento de tal manera ace- lerado que los ímpetus crezcan continuamente en una proporción doble que la de los tiempos, estarán en una proporción triple que la de sus tiempos. Porque como es la longitud DE a la DP, así es el paralelogramo AM al paralelogramo AN, y la parábola ABIK a la parábola AKF. Ahora bien, la parábola ABIK tiene respecto a la parábola AKF una proporción el triple que la que tiene el tiempo AB respecto al tiempo AF. Luego también la proporción de DE a DP es el tri- ple de la de AB a AF.

Corolario 2. Las longitudes recorridas en tiempos iguales tomados desde el comienzo, con un movimiento de tal forma acelerado que el ímpetu esté en una proporción el doble que la de los tiempos (o en un movimiento doblemente ace- lerado), son como las diferencias de los cubos de los números que comienzan des- de la unidad, esto es, como 7, 19, 37, etc. Porque si en el primer tiempo se pone una longitud 1, al final del segundo tiempo será una longitud 8, al final del ter- cero 27, al final del cuarto 64, etc., que son números cúbicos, cuyas diferencias son 7, 19, 17, etc.

Corolario 3. En un movimiento acelerado de tal manera que los ímpetus crezcan en una proporción doble que la de los tiempos, cualquier longitud reco- rrida será igual a otra longitud recorrida en el mismo tiempo pero con ímpetus que en todas partes sean iguales al último adquirido, como una parábola al para- lelogramo que tenga su misma base y su misma altura, es decir, como 2 a 3. Por- que la parábola ABIK es un ímpetu creciente multiplicado por el tiempo AB, y el paralelogramo AI es el ímpetu máximo y uniforme multiplicado por el mismo tiempo AB. En consecuencia, las longitudes recorridas serán como una parábola a un paralelogramo, es decir, como 2 a 3.

TRATADO DEL CUERPO

190