3. Observación experimental de fénomenos estocásticos en un
6.6 Muerte de la oscilación en un circuito con desintonía en el
En esta sección, nos interesa el régimen colectivo debido a las modi…ca- ciones en la intensidad de acoplamiento. En particular, se proporcionará una veri…cación experimental de muerte de oscilaciones en sistemas caóticos acopla- dos.
En este régimen la dinámica de cada elemento de la población es suprimida como un efecto colectivo, esto es, resultando de la interacción entre acopla- miento y diversidad. La muerte de la oscilación ha sido preveamente descrita en poblaciones de ciclos límites de osciladores con acoplamiento directos [28], [29] o en sistema con retraso [30]. Recientemente el desarrollo del parámetro de orden ha sido usado para demostrar que ese régimen puede aparecer bajo condiciones genéricas en poblaciones de elementos acoplados globalmente con desintonía en el tiempo característico [22].
La ecuación para una población con tiempo característico y acoplamiento global [26], acoplado linealmente puede ser escrita como :
xj = jf (xj) + K (X xj) ; j = 1; 2; :::N: (6.21)
Esta ecuación puede ser vista como una simple forma generalizada del mod- elo de Kuramoto [13], [22], donde los parámetros de distribución son las frecuen- cias naturales de los osciladores para diferentes dinámicas individuales desde un ciclo límite. Asi, el ecuación para el sistema reducido es:
x = h i f(X) + JW;
W = 2f (X) + [h i J K]W;
(6.22)
donde J es el jacobiano de Dxf (x).
Debido al multiplicador de los parámetros distribuidos en la eq: 6:21, mu- chos puntos …jos de f son también …jos en el campo medio [26]. La estabilidad de tal punto …jo, no obstante, puede cambiar debido a la presencia del acopla- miento y de la desintonía en el tiempo característico. Segun algunos cálculos se descubre que existen condiciones genéricas bajo las cuales un foco inestable de f va siendo atraído por la población (ver referencia [22] para mayores de- talles). Aquí solamente se justi…ca que la desintonía del tiempo característico es su…cientemente grande, este equilibrio se estabiliza para valores intermedios del acoplamiento, es decir; lo su…cientemente grande para evitar incoherencia
6.7 Resumen 107
y más pequeño que aquellos donde se encuentra la solución a la coherencia no estacionaria.
En el caso del circuito de Chua destaca en la eq: 6:16 que la desintonía del tiempo característico puede cambiarse fácilmente a través del capacitor C1, C2y
la inductancia L. La escala del tiempo de uno de los circuitos ha sido modi…cada utilizando condensadores e inductancias que existen en el mercado, así ha sido posible obtener desintonía del 14% en este tiempo. Ambos circuitos, cuando no están acoplados, presentan una dinámica similar (atractor espiral doble) en su evolución temporal, pero con una pequeña diferencia en su frecuencia interna. El diagrama de bifurcación del sistema reducido (eq: 6:22) puede calcularse numéricamente para un intervalo de intensidad de acoplamiento comparable a la dinámica experimental. El diagrama proporciona los regimenes de difusión de los circuitos de Chua acoplados con la desintonía en los tiempos característicos como función de la intensidad de acoplamiento. La desviación estándar de la distribución del tiempo característico está cercana a 0:14.
Tal como se esperaba de la sección anterior, para valores pequeños del re- sistor de acoplamiento, los circuitos son arrastrados sobre un atractor caótico indistinguible desde la dinámica no acoplada. No obstante, cuando el acopla- miento se reduce, una cascada de regimenes coherentes bifurcan desde el atrac- tor caótico, y eventualmente se alcanza el estado de muerte de las oscilaciones (f ig: 6:4). Tal diagrama es independiente de la población en el caso del acopla- miento global difusivo [22].
Ahora las resistencias Rk
1 = Rk2 = Rk del circuito acoplado pueden ser
modi…cadas y …jadas en un determinado régimen conocido, de acuerdo con la caracterización numérica del sistema reducido. La f ig:6:5 muestra algunas de las dinámicas emergentes observadas en el experimento. El régimen de muerte de la oscilación aparece en el circuito para R cercana a 1:5k .
6.7 Resumen
En este capítulo se han estudiado dos circuitos de Chua acoplados simétri- camente operando en el régimen caótico con desintonía en sus parámetros en la región de acoplamiento fuerte. Para su análisis se ha utilizando una técnica conocida como desarrollo del parametro de orden (Order parameter expansion. Ver apartado 6:2).
Los resultados teóricos y las simulaciones numéricas sugieren que este caso es representativo en grandes poblaciones y se convierte en una herramienta para identi…car diversidades dependientes de dinámicas coherentes.
En los apartados 6:3 y 6:4 se expuso que la dinámica media de tal sis- tema acoplado puede ser muy diferente a la dinámica observada en el circuito
Fig. 6.4. Diagrama de bifurcación indicando el comportamiento de V1, V2 para dife-
rentes acoplamientos R. Los circuitos poseen diferentes escalas de tiempo .
Fig. 6.5.Comportamiento de V1, V2para Rc = 0 ,0:5k , 0:9k ,1:3k . Los circuitos
6.7 Resumen 109
individual no acoplado, y que es posible predecir tal comportamiento colectivo basándose en el conocimiento de la dinámica no acoplada; esto es posible a par- tir del control de los parámetros de desintonía y acoplamiento. Un ejemplo de cambios cualitativos de comportamiento colectivo, cuando la diferencia entre los circuitos se encuentre en sus tiempos característicos, se ha estudiado el caso de muerte de la oscilación (oscilation death).
La posibilidad de obtener un régimen plenamente coherente especí…co puede encontrar una amplia aplicación en poblaciones de sistemas no idénticos acopla- dos.