f(y)= (38)(7−y)
2, 5≤y≤7,
0, en cualquier otro punto.
a Encuentre E(Y) y V(Y).
b Encuentre un intervalo más corto que (5, 7) en el que deban estar al menos tres cuartos de las medi- ciones de pH.
c ¿Esperaría ver con frecuencia una medición de pH debajo de 5.5? ¿Por qué?
∗4.34 Suponga que Y es una variable aleatoria continua con densidad f(y) que es positiva sólo si y≥ 0. Si F(y)
es la función de distribución, demuestre que E(Y)= q 0 y f(y)dy= q 0 [1−F(y)]dy.
[Sugerencia: Si y>0,y= 0ydt, yE(Y)= 0∞ y f(y)dy= 0∞ 0ydt f(y)dy. Intercambie el or-
den de integración para obtener el resultado deseado.]4 4. Los ejercicios precedidos por un asterisco son opcionales.
∗4.35 Si Y es una variable aleatoria continua tal que E[(Y – a)2] <q para toda a, demuestre que E[(Y – a)2] se
minimiza cuando a=E(Y). [Sugerencia:E[(Y−a)2]=E({[Y−E(Y)] +[E(Y)−a]}2).]
∗4.36 ¿El resultado obtenido en el Ejercicio 4.35 también es válido para variables aleatorias discretas? ¿Por
qué?
∗4.37 Si Y es una variable aleatoria continua con función de densidad f(y) que es simétrica alrededor de 0 (es decir,
f(y)=f(–y) para toda y) y E(Y) existe, demuestre que E(Y) = 0. [Sugerencia:E(Y) = −0qy f(y)dy+
q
0 yf(y) dy. Haga el cambio de variable w= –y en la primera integral.]
4.4 La distribución de probabilidad uniforme
Suponga que un autobús llega siempre a una parada particular entre las 8:00 y las 8:10 a.m. y que la probabilidad de que llegue en cualquier subintervalo dado es proporcional sólo a la duración del subintervalo. Esto es, es igual de probable que llegue entre las 8:00 y 8:02 a que llegue entre las 8:06 y las 8:08. Denote con Y el tiempo que una persona deba esperar para que llegue el autobús si llegó a la parada exactamente a las 8:00. Si con cuidado medimos en minutos cuánto tiempo después de las 8:00 llegó el autobús en varias mañanas, podríamos desarrollar un histograma de frecuencia relativa para los datos.
A partir de la descripción que acabamos de dar, debe ser evidente que la frecuencia rela- tiva con la cual observamos un valor de Y entre 0 y 2 sería aproximadamente la misma que la frecuencia relativa con la cual observamos un valor de Y entre 6 y 8. Un modelo razonable para la función de densidad de Y se muestra en la Figura 4.9. Como las áreas bajo las curvas representan probabilidades para variables aleatorias continuas y A1=A2 (por inspección), se deduce que P(0 ≤Y≤ 2) =P(6 ≤Y≤ 8), como se desea.
La variable aleatoria Y que acabamos de examinar es un ejemplo de una variable aleatoria que tiene una distribución uniforme. La forma general para la función de densidad de una variable aleatoria con una distribución uniforme es como sigue.
DEFINICIÓN 4.6 Si u1<u2, se dice que una variable aleatoria Y tiene distribución de probabilidad uni- forme en el intervalo (u1, u2) si y sólo si la función de densidad de Y es
f(y)= 1 2− 1 , u1≤y≤u2, 0 u u
, en cualquier otro punto.
F I G U R A 4.9 Función de densidad para Y f(y) y A1 A2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W-cap-04.indd 174 W-cap-04.indd 174 27/7/09 02:25:3427/7/09 02:25:34
En el problema del autobús podemos tomar u1= 0 y u2= 10 porque estamos interesados sólo en un intervalo particular de diez minutos. La función de densidad que se estudia en el Ejemplo 4.2 es una distribución uniforme con u1= 0 y u2= 1. Las gráfi cas de la función de distribución y función de densidad para la variable aleatoria del Ejemplo 4.2 se dan en las Figuras 4.4 y 4.5, respectivamente.
DEFINICIÓN 4.7 Las constantes que determinan la forma específi ca de una función de densidad se deno- minan parámetros de la función de densidad.
Las cantidades u1 y u2 son parámetros de la función de densidad uniforme y son valores numéricos claramente signifi cativos asociados con la función de densidad teórica. Tanto la amplitud como la probabilidad de que Y caiga en cualquier intervalo determinado dependen de los valores de u1 y u2.
Algunas variables aleatorias continuas en física, administración y ciencias biológicas tie- nen distribuciones de probabilidad aproximadamente uniformes. Por ejemplo, suponga que el número de eventos, como las llamadas que entran en un conmutador, que se presentan en el intervalo (0, t) tienen una distribución de Poisson. Si se sabe que exactamente uno de estos eventos ha ocurrido en el intervalo (0, t), entonces el tiempo real del suceso está distribuido de manera uniforme en este intervalo.
EJEMPLO 4.7 La llegada de clientes a una caja en un establecimiento sigue una distribución de Poisson. Se sabe que durante un periodo determinado de 30 minutos, un cliente llega a la caja. Encuentre la probabilidad de que el cliente llegue durante los últimos 5 minutos del periodo de 30 minutos.
Solución Como acabamos de citar, el tiempo real de llegada sigue una distribución uniforme en el in- tervalo de (0, 30). Si Y denota el tiempo de llegada, entonces
P(25≤Y ≤30)= 30 25 1 30dy= 30−25 30 = 5 30 = 1 6.
La probabilidad de que la llegada ocurra en cualquier otro intervalo de 5 minutos también es
1/6. Q
Como veremos, la distribución uniforme es muy importante por razones teóricas. Los es- tudios de simulación son técnicas valiosas para validar modelos en estadística. Si deseamos un conjunto de observaciones de una variable aleatoria Y con función de distribución F(y), a menudo podemos obtener los resultados deseados si transformamos un conjunto de observa- ciones en una variable aleatoria uniforme. Por esta razón, casi todos los sistemas de cómputo contienen un generador de números aleatorios que produce valores observados para una va- riable aleatoria que tiene una distribución uniforme continua.
TEOREMA 4.6 Si u1 < u2 y Y es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (u1, u2), entonces Prueba m=E u u u u u u s (Y)= 1+ 2 2 y 2=V(Y)=( 2− 1)2 12 . Por la Definición 4.5, E(Y)= q −qy f(y)dy = u2 u1 y 1 2− 1 dy = u 1 2−u1 y2 2 2 u1 = u22−u12 2(u2−u1) = u2+u1 2 . u
Observe que la media de una variable aleatoria uniforme es simplemente el valor que está a la mitad entre los valores de los dos parámetros, u1 y u2. La obtención de la va- rianza se deja como ejercicio.
Ejercicios
4.38 Suponga que Y tiene una distribución uniforme en el intervalo (0, 1).