MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Se trata de que los niños se

inicien en el estudio de estos problemas a través de variedad de procedimientos. No se espera que en 1º año los resuelvan mediante una multiplicación sino que los alumnos apelen a diferentes recursos: dibujar, sumar, hacer rayitas, contar, etc. Algunos

Se trata de introducir a los niños en la resolución de diferentes tipos de problemas que se resuelven con la multiplicación.

Algunos de ellos, se refieren a cantidades que se repiten o series proporcionales. Por ejemplo:

¿Cuántos días hay en 2, 4 y 8 semanas?

¿Cuánto gastó Joaquín si compró

Los niños reinvertirán las estrategias utilizadas en años anteriores, en problemas que se les presentan en un nivel de complejidad mayor. A esta altura, se espera que utilicen el cálculo de multiplicación como herramienta de solución.

Se presentarán diversos tipos de problemas. Los problemas de series

Resolver problemas de suma y resta que involucran distintos sentidos de estas operaciones: unir, agregar, ganar, avanzar, quitar, perder,

retroceder, reconociendo y utilizando los cálculos que permiten resolverlos

Explorar problemas de suma y resta que involucran otros significados más complejos de estas operaciones, por medio de diversos procedimientos Construir y utilizar estrategias de cálculo mental para resolver sumas y restas

Explorar estrategias de cálculo aproximado de sumas y restas

Utilizar la calculadora para resolver cálculos y problemas de suma y resta y verificar resultados

Usar algoritmos de suma y resta en la resolución de problemas cuando los números lo requieran

Seleccionar estrategias de cálculo de suma y resta, de acuerdo con la situación y los números involucrados Resolver problemas que involucran sumas y restas en situaciones que presenten los datos en contextos variados, analizando datos necesarios e innecesarios, pertinencia de las preguntas y cantidad de soluciones

Resolver problemas de suma y resta que se resuelven con más de un cálculo, por medio de diversos procedimientos

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ejemplos de problemas podrían ser:

¿Cuántas ruedas tienen 5 triciclos?

Las pastillas se venden en paquetes de 6, ¿cuántas pastillas hay en 4 paquetes?

El maestro propondrá analizar las semejanzas y diferencias entre los procedimientos que circularon en la clase y la conveniencia de utilizar los que permiten organizar mejor los datos y facilitan el conteo. Es probable que algunos niños logren escribir sumas

sucesivas, estrategia que el docente podrá hacer circular.

Las primeras exploraciones de estos problemas promoverán la aparición de estrategias de resolución diversas por parte de los niños. No se espera que los resuelvan mediante una división, sino que utilicen dibujos, marcas, conteo, sumas, rayitas, restas, etc. Un ejemplo de problema podría ser: Sofía puso 8 manzanas en

2 canastas. Si en cada canasta puso la misma cantidad, ¿cuántas manzanas puso en cada una?

El maestro propondrá analizar las semejanzas y diferencias entre los procedimientos que circularon en la clase y la conveniencia de utilizar los que permiten organizar mejor los datos para resolver la situación.

5 lapiceras a $9 cada una?

Otro tipo de problemas que los alumnos pueden resolver son los llamados problemas de

organizaciones rectangulares en los que un cierto tipo de elementos (baldosas, cerámicos, butacas, timbres de un portero eléctrico, etc.) se disponen espacialmente en forma rectangular. Por ejemplo:

Para cubrir el piso del baño, el albañil

va a colocar 6 filas de 5 cerámicos cada una, ¿cuántos cerámicos necesita?

En un principio es probable que los niños desarrollen procedimientos basados en dibujos, marcas, números, sumas y se espera que avancen hacia el reconocimiento de escrituras multiplicativas para representar este tipo de problemas. Para ello será necesario que el maestro propicie un trabajo de reflexión en clase sobre diferentes estrategias, sobre los posibles cálculos, sus modos de

representación y la relación entre los números que intervienen.

Se trata de analizar semejanzas y diferencias entre estos problemas, teniendo en cuenta el sentido y los modos de resolver, enfatizando que un mismo problema puede ser resuelto con cálculos distintos. Por ejemplo:

¿Cuántos chocolates hay en 5 paquetes si en cada uno hay 7? Elegí el o los cálculos que te sirven para resolverlo:

7+7+7+7+7 7+5 5x7 5+7

Inventá un problema que se pueda resolver con el cálculo 5x7 y otro con 5+7

El maestro propiciará la utilización de diversas estrategias de resolución de problemas de repartos y particiones, en partes equitativas y no equitativas, por medio de dibujos, conteo, sumas y restas reiteradas, analizando si sobran elementos o no y si éstos

proporcionales involucran cantidades que se repiten. Por ejemplo:

¿Cuántas hojas hay en 6 resmas de 500 hojas cada una?

Completá la tabla: mazos cartas 1 40 2 4 8 10

En otros se presentan organizaciones rectangulares (filas y columnas). Por ejemplo:

Este es el piso de una cocina “tapado” por sus muebles, ¿cuántas baldosas tiene la cocina?:

Explorar problemas en los cuales se trata de determinar la cantidad de elementos de una colección formada por grupos de igual cantidad de elementos, por medio de diversos procedimientos –dibujos, marcas, números, sumas-

Resolver problemas que involucran algunos sentidos de la multiplicación -series proporcionales y organizaciones rectangulares-, inicialmente por medio de diversos

procedimientos y luego usando diferentes cálculos que permiten resolverlos Comparar problemas de suma y de multiplicación y analizar diferentes cálculos para un mismo problema Explorar problemas de reparto por medio de diversos procedimientos – dibujos, marcas, números, sumas,

Resolver problemas de reparto y partición, por medio de diversos procedimientos – dibujos, marcas, números y cálculos-

El docente podrá presentar problemas en los que no se indica que los repartos deban ser equitativos, por ejemplo: El

quiosquero quiere regalar 10 chicles a 4 chicos del barrio. ¿Cuántos chicles le dará a cada uno? En las primeras

exploraciones de esta clase de problemas, los niños podrán proponer formas variadas de repartir los chicles, 2, 2, 2 y 4 ó 3, 3, 2 y 2. Será necesario que el docente oriente el análisis del enunciado y lo compare con aquellos problemas en que sí se exige la distribución en partes iguales.

En los problemas de reparto la pregunta se refiere al valor de cada parte y es posible que los niños repartan uno a uno los elementos:

Juana puso 24 conejos en 4 jaulas. Si en cada jaula puso la misma cantidad, ¿cuántos conejos puso en cada una?

En los problemas de partición se conoce el valor de cada parte y es necesario averiguar en cuántas partes se divide la colección:

Juana puso 24 conejos en jaulas. Si puso 4 en cada jaula, ¿cuántas jaulas usó?

Aquí no es posible repartir de uno en uno porque no se sabe en cuántas partes repartir. Es probable que los niños vayan restando sucesivamente 4 a 24 o sumando 4 hasta llegar a 24. El docente también apuntará a que los niños distingan entre los problemas en los que sobran elementos y no se pueden partir (por ejemplo, globos o lápices), problemas en los que sí se puede seguir repartiendo el resto (por ejemplo, chocolates o sogas) y otros en los que no sobran elementos:

José repartió 9 chocolates, en partes iguales, entre 4 amigos, ¿cuánto recibió cada uno? La maestra repartió 10 lápices de colores, en partes iguales, entre tres chicos, ¿sobraron lápices?

A medida que los niños resuelvan problemas de multiplicación, irán elaborando progresivamente estrategias de cálculo mental. En un principio, los niños podrán reconocer sumas reiteradas que

El maestro propiciará la circulación y el análisis de distintos modos de resolución y de estrategias de cálculo posibles y progresivamente apuntará a que los niños avancen hacia el uso de escrituras multiplicativas para resolverlos.

Se iniciará a los niños en el estudio de los llamados problemas de conteo o combinatoria. Por ejemplo:

Joaquín está eligiendo qué va a comer. El precio del almuerzo incluye un plato de carne –milanesa o hamburguesa- con un acompañamiento –puré, papas fritas, ensalada, huevos fritos-, ¿cuántas posibilidades tiene para elegir?

El maestro propiciará el despliegue de diferentes estrategias -dibujos, listas, diagramas de árbol, cuadros de doble entrada- y la discusión sobre cuáles son las formas de resolver que permiten organizar la información más

adecuadamente para facilitar el conteo o las sumas sucesivas. Luego se

Construir progresivamente estrategias de cálculo mental para resolver multiplicaciones

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permiten resolver los problemas de multiplicación. El maestro, posteriormente, irá proponiendo que usen escrituras multiplicativas que representen la situación. En 2º año se espera que los niños resuelvan multiplicaciones a través de sumas. Por ejemplo pensar el 14 x 4 como 10 + 10 + 10 + 10 + 4 + 4 + 4 + 4

El maestro propondrá situaciones en las que se registren algunos resultados y se vuelva sobre ellos para resolver nuevos problemas. Por ejemplo, construir tablas colectivamente (también para 5, 6, 7, 8, 9 y 10): pares zapatos triciclos ruedas sillas patas 1 2 1 3 1 4 2 4 2 6 2 8 3 6 3 9 3 12 4 8 4 12 4 16 5 10 5 15 5 20 6 12 6 18 promoverá el reconocimiento de

escrituras multiplicativas para representar estos problemas.

El maestro propiciará la utilización de estrategias variadas para resolver problemas de división que involucran repartos y particiones en partes

equitativas, organizaciones rectangulares y series proporcionales.

En estos problemas se espera que los alumnos reconozcan la división como herramienta de solución. Es importante que los niños establezcan relaciones entre los problemas que se resuelven multiplicando y los que se resuelven dividiendo. Por ejemplo, en organizaciones rectangulares puede preguntarse por la cantidad de elementos de una fila para que el problema se resuelva con una división:

En la escuela están acomodando 375 sillas para un acto. Hay lugar para 15 filas, ¿cuántas sillas hay que poner en cada fila?

También pueden plantearse problemas que involucran series proporcionales en los que se pregunta por el valor de la unidad o por la cantidad de unidades:

La bibliotecaria gastó $162 para comprar 9 libros iguales, ¿cuál era el precio de cada libro?

La bibliotecaria compró libros a $18 cada uno. Gastó $162, ¿cuántos libros compró?

El maestro promoverá la comunicación en la clase de los procedimientos utilizados para poder compararlos, analizar las semejanzas y diferencias entre ellos y discutir la economía de unos con respecto a otros. Se trata de un trabajo en el que el docente intentará que los niños

incorporen progresivamente las estrategias utilizadas por otros alumnos, apuntando a que utilicen, lo antes posible, recursos de cálculo. Es probable que los niños usen multiplicaciones, sumas y restas para resolverlos y se apunta a que progresivamente reconozcan la división como herramienta de solución.

El maestro promoverá la elaboración de un repertorio de cálculos de multiplicación y de división. Para ello, será de gran

6 24 7 14 7 21 7 28 8 16 8 24 8 32 9 18 9 27 9 36 10 20 10 30 10 40

Los cuadros elaborados podrán permanecer en 2º año a disposición de los alumnos para ser consultados para nuevos problemas. Su memorización será requerida en 3º año luego del estudio de las relaciones numéricas involucradas. El docente también deberá incluir problemas que permitan explorar las multiplicaciones por 10 y por 100, estableciendo vinculaciones con los conocimientos sobre el sistema de numeración para indagar “por qué” se agregan ceros:

En un álbum entran 10 figuritas en cada página. Averiguá cuántas figuritas se pueden pegar en 2, 3, y 4 páginas.

El docente propiciará el uso de la calculadora para la resolución de cálculos y problemas

multiplicativos como los ya presentados en los contenidos anteriores de manera tal que puedan verificar en forma

autónoma los resultados obtenidos. Éste también será un recurso para

trabajo con la tabla pitagórica, dado que favorecerá el análisis de las regularidades y propiedades de la multiplicación y la división:

- completar la tabla a través de diferentes estrategias (la columna y la fila de un mismo número, la columna del 6 calculando el doble de la del 3, la columna del 9 calculando la suma de las del 4 y el 5).

- analizar diferentes relaciones que se presentan en la tabla (productos que se repiten: 3x8=4x6=6x4=8x3=24; productos terminados en 0, relaciones entre tablas: la del 5 y la del 10).

- usar los productos de la tabla para resolver divisiones.

Además de los productos de la tabla pitagórica, los niños podrán apropiarse de otros resultados de multiplicaciones y divisiones e incluirlos en su repertorio de cálculos disponibles:

- multiplicación por 10, por 100 y por 1000 - división de números redondos por 10, por 100 y por 1000 (2500 : 10; 2500 : 100; 4000 : 1000)

- multiplicación de números redondos por un dígito (250 x 3; 500 x 6; 3000 x 3) - división de números redondos por un dígito (3000 : 2; 1500 : 3).

El docente propiciará el análisis de las relaciones entre estos cálculos y las características de nuestro sistema de numeración, proponiendo analizar “por qué” se agregan ceros.

El docente propiciará el uso de resultados conocidos para resolver otros cálculos de multiplicación. Por ejemplo, el alumno puede utilizar 6 x 8 = 48, para saber cuánto es 48 : 6 ó 48 : 8; o utilizar 5 x 8 = 40 para saber cuánto es 8 x 5; 50 x 8 ó 40 : 8.

El trabajo colectivo podrá apuntar a que los alumnos comuniquen sus estrategias y comparen la variedad de cálculos posibles.

También se favorecerá el establecimiento de relaciones con los conocimientos que los niños elaboraron sobre el sistema de numeración y las operaciones para resolver cálculos, por ejemplo para 880 : 4, calcular 800 : 4 + 80 : 4 o bien 88: 4 x 10, ó 880:2:2 (considerando 4 = 2 x 2). Será necesario un trabajo de análisis y comparación de las diferentes descomposiciones.

Utilizar la calculadora para resolver multiplicaciones y verificar resultados

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sus Alcances 1 y 2

que los niños se familiaricen con usar el signo de la multiplicación en la calculadora y que puedan resolver problemas con multiplicaciones que involucran números más grandes.

El trabajo con problemas de multiplicación presentados en diferentes contextos -imágenes, enunciados, cuadros de doble entrada, listas, gráficos o combinaciones de éstos- permite que los niños aprendan a interpretar, seleccionar y organizar la información. El maestro podrá proponer:

-responder o inventar preguntas a partir de una imagen,

-seleccionar los datos de una lista para contestar ciertas preguntas, -resolver problemas a partir de enunciados que requieren considerar qué datos son necesarios o innecesarios para responder una pregunta, -inventar preguntas que puedan responderse con los datos de un enunciado dado o haciendo cálculos con los datos de un enunciado,

-establecer relaciones entre la pregunta de un problema y los cálculos que pueden realizarse para responderla.

Por ejemplo:

Lila fue a la librería con $50. Los lápices costaban $3, las lapiceras $8, los cuadernos $ 4. Si compró 5 lápices y 4 lapiceras, ¿cuánto gastó?,

Escribí dos preguntas que puedan responderse con estos datos: Dante tiene 45 globos para vender. Los globos comunes cuestan $5 cada uno y los globos metalizados cuestan $7 cada uno.

El maestro presentará a los niños problemas que se resuelven haciendo sólo un cálculo aproximado, por ejemplo:

Sofía usa 250 gramos de lana para tejer cada bufanda, ¿le alcanza con 900 gramos de lana si quiere tejer 4 bufandas?

El docente orientará la reflexión para mostrar que no es necesario hacer un cálculo exacto, sino que es suficiente con estimar el resultado y que esto puede hacerse de diferentes maneras. Para proponer estas ideas es necesario que los niños dispongan de estrategias de cálculo estimativo que también pueden trabajarse en forma descontextualizada, por ejemplo:

Sin hacer la cuenta, decidan…

… si 3 x 543 es mayor o menor que 1500, … si 990 : 50 es mayor o menor que 20, … expliquen cómo pensaron.

El trabajo con el cálculo estimativo también será de utilidad para anticipar resultados de cálculos exactos de tal modo de poder controlar si el resultado obtenido es razonable:

¿Cuánto darán más o menos estas cuentas?

104 : 5 6 x 308

El docente propiciará el uso de la calculadora como elemento de trabajo permanente para la resolución de cálculos y problemas que involucran multiplicar y dividir. Los niños podrán verificar en forma autónoma los resultados obtenidos por medio de estrategias de cálculo mental, estimativo y algorítmico, sin necesidad de recurrir siempre a la figura del maestro para validar los resultados. También resultará útil el uso de la calculadora para resolver aquellos problemas que apuntan en forma prioritaria al análisis del enunciado, de los datos, de las

operaciones necesarias o del orden de los cálculos, despejando la complejidad de la resolución del cálculo propiamente dicha. Por ejemplo:

Joaquín fue a la fábrica de ropa a comprar mercadería para su negocio con $500. Estos son los precios: Remera $24; Camisa $ 35; Pantalón $42; Par de Medias $5; ¿Cuántos artículos de cada uno podría comprar?

Sofía usa 250 gramos de lana para tejer cada bufanda. Quiere tejer 3 bufandas para sus sobrinos, una bufanda para el marido y 2 bufandas para la hermana. Tiene 1250 gramos, ¿le falta?, ¿le sobra?,

Resolver problemas que involucran diferentes sentidos de la multiplicación -series proporcionales y organizaciones rectangulares-, reconociendo y utilizando Explorar problemas queimplican determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de dos colecciones distintas por medio de diversas estrategias Resolver problemas de repartos y particiones equitativas, organizaciones rectangulares, series proporcionales, por medio de diversos procedimientos y reconociendo, posteriormente, la división como la operación que resuelve este tipo de problemas

Resolver cálculos mentales de multiplicación y división, a partir del uso de resultados conocidos y de diferentes descomposiciones Construir progresivamente un repertorio de cálculos mentales de multiplicación y división, a partir del análisis de relaciones entre productos de la tabla pitagórica y posterior memorización Construir un repertorio de cálculos mentales de multiplicación y división por la unidad seguida de ceros, analizando regularidades y relaciones con el sistema de numeración

Explorar estrategias de cálculo aproximado de multiplicaciones y divisiones Utilizar la calculadora para resolver cálculos, para resolver problemas y verificar resultados

Multiplicar en situaciones que presenten los datos en contextos variados, analizando datos necesarios e innecesarios, pertinencia de las preguntas y cantidad de soluciones del problema

Será necesario que los niños registren los cálculos realizados para poder analizar las diferentes maneras de resolverlos.

Luego de que los niños han aprendido a utilizar diferentes procedimientos de cálculo mental apoyándose en descomposiciones y tienen un cierto dominio de los resultados de la tabla pitagórica y de la multiplicación por la unidad seguida de ceros, se encuentran en mejores condiciones de introducirse en el cálculo algorítmico. Para ello, el maestro propondrá que elaboren y analicen algoritmos mediante escrituras que representen las diferentes relaciones establecidas a través de cálculos mentales. Los niños podrán tratar representaciones como las siguientes:

12 135 135 135 135 X4 x4 x4 x4 400 (de 4 x 100) 20 (5x4) 140 (4 x35) 540 +120 (de 4 x 30) +120 (30 x4) +400 (4 x 100) 20 (de 4 x 5) 400 (100 x4) 540 540 540

En el trabajo colectivo, el docente focalizará la discusión en comparar las escrituras de productos intermedios y analizar si obtienen los mismos resultados con las diferentes estrategias.

A partir del trabajo propuesto

anteriormente asociado a la elaboración de recursos de cálculo mental para la multiplicación y la división, el docente propondrá nuevas formas de organizar la escritura de estos cálculos con un formato similar al utilizado en el algoritmo convencional, pero en el que se explicitan los cálculos -multiplicaciones y restas parciales- para hacerlos más transparentes. Por ejemplo: 689 5 -500 100x5 100 --- 5 x 100 = 500 --- quedan 189 189 -150 30x5 30 ---5 x 30 = 150 --- quedan 39 39 -35 7 x 5 7 ---5 x 7 = 35 --- quedan 4 4 137 O bien: Analizar y usar diferentes

algoritmos de la multiplicación por una cifra Explorar y usar diferentes algoritmos de división por una cifra

Corresponde a los Expedientes Nº 5802-2.543.830/07 y

sus Alcances 1 y 2

689 5 -500 100 + 30 + 7 189 137 -150 39 -35 4 O bien: 689 5 -500 137 189 -150 39 -35 4

El docente presentará diferentes situaciones que requieran de cálculo mental, algorítmico, aproximado y con calculadora, para que los alumnos puedan seleccionar el tipo de cálculo más pertinente, de acuerdo al tamaño y la redondez de los números, por ejemplo:

¿Cuáles de estos cálculos son más rápidos de resolver usando calculadora y cuáles mentalmente?

520 x 3 120 x 12 440 : 4 654 : 6

¿Cuáles de estos cálculos son más rápidos de resolver mentalmente y cuáles con la cuenta?

2000 x 5 14 x 9 2346 x 2

A medida que los niños disponen de estrategias de cálculo mental y

algorítmico, están en mejores condiciones de explorar nuevos problemas que involucran sentidos más complejos de la división.

Los problemas en que es necesario analizar el resto permiten la ampliación del significado de la división por parte de los niños.

Por ejemplo, en algunas situaciones lo que sobra provoca que la respuesta del problema no sea el cociente:

En la panadería quieren hornear 50 pizzetas. Si en cada fuente entran 8, ¿cuántas fuentes necesitan?

La necesidad de ubicar las 4 pizzetas que sobran “obliga” a que la respuesta sea 7 y no 6 que es el cociente de la división. Otros problemas serán estudiados con mayor profundidad en segundo ciclo, pero podrán comenzar a ser explorados por los Seleccionar estrategias de

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