N´umero de coordinaci´on y cadenas de fuerza

Se define el n´umero de coordinaci´on de una part´ıcula como el n´umero de contactos con otras vecinas. Para una configuraci´on dada, el n´umero de coordinaci´on medio es una propiedad estad´ıstica que refleja el n´umero medio de contactos de todos los

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granos.

El valor del n´umero de coordinaci´on y su influencia en otras propiedades del medio granular no se ha estudiado con profudidad. Se sabe que est´a relacionado con la fracci´on de compactaci´on (φ). En principio, cuanto mayor es el n´umero de contactos entre las part´ıculas mayor es el empaquetamiento. Sin embargo, por el momento no se ha conseguido establecer ninguna ley que describa esta relaci´on [13].

El principal problema para establecer una relaci´on entre φ y el n´umero de coordi- naci´on estriba en la dificultad de realizar experimentos de los cuales se puedan extraer datos fiables respecto al n´umero de contactos [14]. Adem´as, se debe tener en cuenta que no todos los contactos son iguales. As´ı, pueden distinguirse tres tipos de contactos entre los granos (Figura 2.1):

Figura 2.1:Diferentes tipos de contactos entre los granos de un medio granular. La flecha indica la posici´on donde se aplica la fuerza y los n´umeros el tipo de contacto entre cada part´ıcula: 1, “contactos activos”; 2, “contactos geom´etricos” y 3, “contactos a presi´on”. Figura obtenida de Sables, poudres

et grains, Jacques Duran, 1997 [14].

Contactos tipo 1 o “contactos activos”: Son los contactos que transmiten la presi´on en un medio granular.

Contactos tipo 2 o “contactos geom´etricos”: Son contactos en los cuales las part´ıculas se tocan pero no transmiten la presi´on externa.

Contactos tipo 3 o “contactos a presi´on”: No son contactos a una presi´on dada, pero pueden llegar a serlo a una presi´on mayor.

Los diferentes tipos de contactos entre part´ıculas y el hecho de que su empa- quetamiento no sea perfecto hacen que una fuerza externa, aplicada sobre un medio granular no se propague homog´eneamente en el espacio. En la figura 2.2 se muestra un ejemplo de este fen´omeno. El principio de Pascal no es v´alido en los medios gra- nulares. La presi´on se transmite siguiendo los caminos marcados por las part´ıculas en contacto, las llamadas “cadenas de fuerza”. Como consecuencia, al aplicar una presi´on vertical (PV) sobre un medio granular se genera una presi´on horizontal (Ph).

En primera aproximaci´on, la presi´on horizontal generada es proporcional a la presi´on vertical ejercida: Ph = K PV, donde K es una constante de proporcionalidad que

depende de las caracter´ısticas del material [15].

La presencia de cadenas de fuerza provoca que en un medio granular la presi´on no sea de tipo hidrost´atico (como la que corresponde a una columna de l´ıquido). El “efecto Janssen” enuncia esta propiedad de los medios granulares [16]: “un medio granular en el interior de un recipiente ejerce una presi´on en la base que satura cuando el nivel de las part´ıculas alcanza una determinada altura”. En la materia granular, al tratarse de un medio discreto, se entiende la presi´on como la media de la fuerza ejercida por las part´ıculas por unidad de superficie.

La presi´on dentro de un medio granular contenido en un tubo cil´ındrico sigue esta ley (Figura 2.3): cuando la altura del medio granular h es peque˜na, la presi´on en la base del cilindro es de tipo hidrost´atico: PV = ρagh, donde ρa es la densidad

2.1. CARACTER´ISTICAS DE LOS MEDIOS GRANULARES 11

Figura 2.2: En la figura se muestra c´omo una fuerza aplicada sobre un medio granular no se propaga homog´eneamente, sino a trav´es de cadenas de fuerza. Los colores verde, amarillo y ro- jo muestran grados crecientes de presi´on. En este caso, la fuerza puntual aplicada proviene del impacto de una part´ıcula de gran tama˜no y peso. Figura obtenida por Behringer y su grupo (http://www.phy.duke.edu/research/ltb/ltbgroup.html).

aparente del medio granular. Sin embargo, PV satura para h mayor que ϕ/4Kµs,

siendo el valor l´ımite de la presi´on vertical PS = ρagϕ/4Kµs, donde ϕ es el di´ametro

del cilindro, K la constante de redistribuci´on de fuerzas y µs el coeficiente de fricci´on

est´atico del material granular. La altura h para la que satura la presi´on en la base de un recipiente cil´ındrico var´ıa entre 1 y 1,5 veces el di´ametro del cilindro, dependiendo de las caracter´ısticas del material.

Se debe rese˜nar que el concepto de coeficiente de fricci´on est´atico del material granular es distinto al que se usa habitualmente para la fricci´on entre dos s´olidos. Cuando se aplica una fuerza a dos cuerpos en reposo que interact´uan entre s´ı, se ori- gina una fuerza de fricci´on proporcional al coeficiente de fricci´on est´atico (µs). Este

coeficiente depende de las propiedades de la superficie de los materiales. En el caso de los medios granulares el llamado “coeficiente de fricci´on intergranular” (coeficiente

Figura 2.3: Dependencia de la presi´on vertical en funci´on de la altura de la capa granular. En el eje de las abscisas se representa la presi´on vertical PV y en el eje de las ordenadas la profundidad a

la que se mide h. La l´ınea discontinua vertical representa la presi´on l´ımite, PS, y la l´ınea de trazos

la presi´on hidrost´atica que ejercer´ıa un fluido. Figura obtenida de Sables, poudres et grains, Jacques Duran, 1997 [14].

de fricci´on est´atico del material granular) depende, adem´as de las propiedades super- ficiales del grano, de su forma y de su tama˜no. Se han establecido varios m´etodos para determinar µs en un medio granular [17], aunque a´un no se conocen muy bien

las consecuencias que tiene el valor de este coeficiente en su din´amica. Para esferas de vidrio lisas, por ejemplo, el valor que suele encontrarse es µs = 0,4 [14]. El valor

espec´ıfico depende de varios factores.