Necesidad de estabilizar la integración de las ecuaciones de restricción

Una vez determinadas las aceleraciones dependientes q , los métodos anterio- res integran las ecuaciones diferenciales del movimiento reduciéndolas pre- viamente a un sistema de primer orden (duplicando el número de variables), de acuerdo con el esquema siguiente, ya visto en la ec. (1):

{

_,

}

int. num.

{

_,

}

T T T T T T

t ≡ _t ⎯⎯⎯→ t+Δt ≡ _t+Δt

y q q y q q (32)

Con las formulaciones de index-1, para el cálculo de las aceleraciones depen- dientes q se ha utilizado, además de las ecuaciones de la dinámica, la segunda derivada de las ecuaciones de restricción, que también se puede poner en la forma:

( )

t = q + q + t =

Φ q, Φ q Φ q Φ 0 (33)

La solución general de la ecuación diferencial matricial homogénea (33) ten- dría la forma:

( )

t = 1t+ 2

Φ q, a a (34)

Aunque las condiciones iniciales de cumplimiento de las ecuaciones de restric- ción de posición y velocidad impliquen el valor cero para las constantes a₁ y

2

a , en la práctica los errores numéricos van haciendo que cada instante de tiempo se comporte para los instantes siguientes como un instante inicial con constantes de integración no nulas. La ecuación (34) indica que la solución puede crecer indefinidamente con el tiempo y hacerse inestable. La experiencia indica que así sucede excepto para simulaciones muy cortas.

Éste es un problema práctico de enorme importancia y que limita considera- blemente la utilización de las formulaciones de index-1 basadas en coordenadas dependientes. Dicho problema se puede resolver teniendo en cuenta las ecua- ciones de restricción en la integración numérica, es decir, volviendo a la formu- lación de index-3. La dificultad estriba en que los métodos para resolver DAEs de index-3 son sensiblemente más complicados e ineficientes que los métodos de integración de ODEs. Por este motivo se han propuesto diversas técnicas para estabilizar la integración de las ecuaciones diferenciales del movimiento. Estas técnicas se revisan con detalle en los apartados siguientes.

2.4.3.1 Método de estabilización de Baumgarte

Una de las formas más sencillas y utilizadas para estabilizar las ecuaciones de restricción fue introducida en 1972 por Baumgarte [130]. Este método consiste en modificar las ecuaciones de restricción que aporta la cinemática. En lugar de añadir a las ecuaciones de la dinámica la segunda derivada de las ecuaciones de restricción, se añaden las ecuaciones:

2

α β

Φ+ 2 Φ+ Φ 0= (35)

cuya solución general tiene la forma:

1 2 2 2

1e 2e , 1, 2

s t₊ s t _{s s = − ±α α −β}

Φ a= a (36)

A diferencia de la solución general (34), la solución definida por la ecuación (36) es estable, y pueden elegirse los coeficientes α y β de modo que los erro- res numéricos se amortigüen y desaparezcan en las etapas siguientes. Sin em- bargo, como han apuntado Nikravesh [131], Haug [39] y otros autores, debido a las no-linealidades del problema y a la dificultad de elegir adecuadamente los coeficientes α y β, no siempre se consigue resolver el problema satisfactoria- mente. Por esta razón, el método de Baumgarte no se considera como una solu- ción satisfactoria del problema.

2.4.3.2 Métodos de proyección de posiciones, velocidades y acelera- ciones

Otra posible forma de estabilizar las ecuaciones de restricción son los métodos de proyección, que dependiendo de la formulación empleada, suelen ser de posiciones y velocidades (con formulaciones de index-3, en las que las posicio- nes cumplen exactamente las ecuaciones de restricción, se suele hacer proyec- ción de velocidades y aceleraciones). Básicamente estos métodos consisten en proyectar las variables cuyas ecuaciones de restricción no se han exigido en la integración numérica sobre los sub-espacios en los que dichas ecuaciones se satisfacen exactamente.

La proyección de posiciones y velocidades fue introducida en 1991 por Lubich [132]. Posteriormente ha sido desarrollada y utilizada por Bayo and Ledesma [133], Cuadrado et al. [122], Dehombreux et al. [120] y por otros autores. Otra referencia importante en la que se trata de las proyecciones con mucho deteni- miento es el libro de von Schwerin [47].

La proyección de posiciones se puede plantear como la resolución de un pro- blema de optimización con restricciones: Si q es el vector que cumple exacta-

mente las ecuaciones de restricción y q* el resultado aproximado resultante de la integración numérica, se podrá establecer:

( )

₌

(

∗₊δ

)

₌

Φ q Φ q q 0 (37)

donde la perturbación δq se supone de pequeño tamaño. Aproximando la ecua- ción anterior mediante los dos primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor en q se obtiene la versión linealizada de las ecuaciones de restricción: ∗

( )

∗ ₊ δ

q

Φ q Φ q 0 (38)

El problema de optimización consiste en calcular la corrección δq a la solución numérica q minimizando el cuadrado de la norma ∗ _δ 2 _=δ T _δ

W

q q W q , some-

tida a las restricciones (38). Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, este problema se formula matemáticamente como la minimización de la siguiente función:

(

,

)

1

(

( )

)

2 T T L δq μ = δq W qδ + Φ q∗ +Φ q μ (39) _qδ

Derivando esta ecuación respecto a δq, igualando a cero y añadiendo la ecua- ción de restricción (38) se llega finalmente al sistema de ecuaciones siguiente:

( )

* T _δ ∗ ⎧ ⎫ ⎡ _{⎤ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪} = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨₋ ⎬ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ q q _q 0 W Φ q Φ q Φ 0 μ (40)

La primera ecuación matricial de (40) indica que el error ponderado W q δ tiene la dirección del espacio de filas de la Jacobiana de las ecuaciones de res- tricción, lo cual es una condición necesaria para obtener un mínimo local sobre la restricción. Téngase en cuenta que la matriz del sistema de ecuaciones (40) está evaluada en la mejor posición conocida hasta ese momento, que es la solu- ción numérica aproximada q* proporcionada por el integrador.

Si en la expresión (40) se toma como matriz de ponderación la matriz de iner- cia M, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con la misma matriz que las ecuaciones diferenciales del movimiento (26). Este hecho permite corregir las posiciones con un esfuerzo de cálculo moderado, porque la misma factori- zación matricial puede utilizarse para ambos sistemas de ecuaciones. Es posi- ble también utilizar la matriz identidad I como matriz de ponderación W para la norma del error. En este caso se obtiene la corrección de mínima norma eu- clídea, lo cual quiere decir que la solución numérica obtenida se proyecta orto- gonalmente sobre la variedad lineal tangente en _q ∗ _{de las ecuaciones de res-}

tricción. La ecuación (40) es en este caso equivalente a la ecuación que da la solución de mínima norma euclídea de un sistema de ecuaciones lineales, que viene dada por la expresión:

(

) ( )

1

T T

δ _{= −} − ∗

q q q

q Φ Φ Φ Φ q (41)

Obsérvese que en la ecuación anterior la matriz que hay que invertir no es la que aparece en el método de los mínimos cuadrados ( T

q q

Φ Φ ).

De forma análoga se pueden obtener expresiones similares a la (40) para corre- gir las velocidades y aceleraciones de modo que cumplan las ecuaciones de restricción correspondientes. En este caso, no es necesario linealizar las ecua- ciones de restricción porque ya son lineales:

T _δ ∗ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨₋ ⎬ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ q q q 0 W Φ q Φ q Φ 0 ν (42) T _δ ∗ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨_{− −} ⎬ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ q q q q 0 W Φ q Φ q Φ q Φ 0 κ (43)

Las matrices de estos sistemas de ecuaciones lineales pueden evaluarse en la solución numérica q o en la solución numérica corregida con la proyección de ∗ posiciones. En este segundo caso la proyección que se obtiene es más precisa, pero con el coste adicional de tener que formar de nuevo y factorizar las co- rrespondientes matrices de los sistemas (42) y (43).

En los párrafos anteriores se han visto las proyecciones en posición, en veloci- dades y en aceleraciones. El utilizar unas u otras proyecciones depende de la formulación dinámica que se adopte. Por ejemplo, cuando se integra un sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales de index-1 se obtienen aceleraciones que cumplen las ecuaciones de restricción, y posiciones y velocidades que no las cumplen. En este caso se pueden utilizar proyecciones para las posiciones y velocidades. Por el contrario, si se utilizan unas ecuaciones de index-3 las posi- ciones cumplen automáticamente las ecuaciones de restricción, y en este caso se pueden corregir mediante proyecciones las velocidades y aceleraciones. Las proyecciones, como forma de obligar el cumplimiento de las ecuaciones de restricción, son bastante eficientes y consiguen resolver el problema, siendo utilizadas en una u otra forma por muchos autores. Sin embargo, la experien- cia de numerosos autores es que los métodos basados en coordenadas indepen- dientes son casi siempre superiores.

2.4.3.3 Método de la imposición periódica de las ecuaciones de res- tricción

Como se ha dicho, en las integraciones largas se produce la acumulación de errores en las ecuaciones de restricción de posiciones y velocidades, ya que las únicas restricciones que se imponen con las ecuaciones (26) y (31) son las res- tricciones de aceleración.

Otra posible solución de este problema es obligar cada cierto tiempo a que las restricciones de posición y velocidad se cumplan exactamente. Esto implica elegir unas coordenadas cuyos valores de posición y velocidad se dan por bue- nos, y calcular las posiciones y velocidades restantes de modo que se cumplan exactamente las ecuaciones de restricción de posición y velocidad. Esto quiere decir que hay que resolver periódicamente los problemas de posición y veloci- dad. Las coordenadas elegidas para corregir los valores de las demás no tienen por qué ser siempre las mismas, y pueden elegirse en cada caso mediante técni- cas de pivotamiento total, de modo que se minimicen los errores numéricos en la solución de los sistemas lineales.

La solución más adecuada consiste en vigilar la norma de las violaciones de las ecuaciones de restricción, y detener la integración para resolver los problemas de posiciones y velocidades cuando la violación de las restricciones supera un cierto valor. La experiencia con este método ofrece resultados excelentes. Con una tolerancia pequeña para el error en las ecuaciones de restricción (por ejem- plo 1e-06), el ajuste de posiciones y velocidades es relativamente frecuente (más de una vez por segundo en algunos ejemplos), lo cual indica que los mé- todos de resolución en coordenadas dependientes no son buenos a la hora de garantizar las restricciones en posición y velocidad.

2.4.3.4 Integración de sistemas de ecuaciones algebraico- diferenciales de index-2

Una posibilidad de aliviar, si no de eliminar completamente, los problemas de inestabilidad en la integración de ecuaciones diferenciales integrando coorde- nadas dependientes fue sugerida por Paul [22], y consiste en integrar un vector

y formado por aceleraciones independientes z y por las velocidades depen- dientes q . La integración de la ecuación de restricción de velocidades (17) es mucho menos crítica que la de aceleraciones (18): de hecho no es inestable, en el sentido de que los errores numéricos de integración no tienden a crecer en el transcurso de la misma.

Este método puede ser muy eficiente, pues evita la resolución del problema de posición en cada paso de integración. En esta Tesis se ha utilizado para resol-

ver mecanismos de cadena cerrada por métodos topológicos, según se explica en la sección 2.5.2.3. Puede utilizarse conjuntamente con una proyección de posiciones para mejorar la precisión de los resultados, o con la técnica de im- poner periódicamente las ecuaciones de restricción explicada en el apartado anterior.

2.4.4 Formulación dinámica en coordenadas dependientes con pena-

In document Un método general, sencillo y eficiente, para la definición y simulación numérica de sistemas multicuerpo (página 51-56)