GUÍA DIDÁCTICA • Orientaciones didácticas
20. Observamos que el dominio son todos los puntos sobre los que no se anula la función, de modo que
D(f)= ℝ-{-1}. Por lo que hace al crecimiento de la función, tenemos que f’(x)= 1
Por lo tanto, puesto que f’(x)=0 no tiene solución y f’(x) tiene por asíntota vertical a x=-1,
(−∞,−1) −1 (−1,+∞)
f’ +
∄
+f ↑ ↑
y podemos asegurar que la función no tiene ningún máximo ni ningún mínimo relativo. Para estudiar la concavidad y convexidad de la función, tenemos que
f ''(x)= −2 (x+1)3
y f’’(x)=0 no tiene solución pero tiene a x=-1 como asíntota vertical, luego:
(−∞,−1) −1 (−1,+∞)
f’’ +
∄
-f ∪ ∩
Puesto que x=-1 no pertenece al dominio de la función, f no tiene ningún punto de inflexión. Final- mente, notamos que la función no tiene asíntotas oblícuas, pero si a x=-1 como asíntota vertical, con
lim
x→−1−f (x)= +∞ xlim→−1+f (x)= −∞
y a y=1 como asíntota horizontal, porque lim
x→±∞f (x)=1.
La gráfica de la función es, por lo tanto:
21.a) Para las asíntotas, notamos que tiene a x=-2 como asíntota vertical, con
lim
x→−2−f (x)= +∞ x→−2lim+f (x)= −∞
y a la recta y=1 como asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=1.
b) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y los mínimos, calculamos la derivada de f y la igualamos a cero
f '(x)= 2 (x+2)2
Y obtenemos que f’(x)=0 no tiene solución pero tiene por asíntota vertical a x=-2, luego:
(−∞,−2) −1 (−2,+∞)
f’ +
∄
+f ↑ ↑
Por lo tanto la función crece en todo su dominio y no tiene ningún máximo ni mínimo relativo.
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22.a) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{0}.
b) Tenemos que para todo x de D(f), f(-x)=f(x), por lo tanto la función es simétrica respecto al eje de ordenadas, es decir, es par.
c) A parte de la asíntota vertical en x=0, con lim
x→0−f (x)= +∞ xlim→0+f (x)= +∞
la función tiene dos ramas infinitas: lim
x→+∞f (x)= +∞ xlim→−∞f (x)= +∞ .
d) Tenemos que la derivada de f es f '(x)=2x− 2
x3
por lo tanto, f’(x)=0 tiene por solución x=-1 y x=1. De este modo, teniendo en cuenta que f’ tiene una asíntota vertical en x=0, tenemos:
(−∞,−1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f’’ - 0 +
∄
- 0 +f ↓ ↑ ↓ ↑
de modo que tenemos dos mínimos relativos, uno en x=-1, es decir, (-1,2), y el otro en (1,2).
e) f’’(x)=2+6/x2=0 no tiene ninguna solución real, pero f’’ tiene una asíntota en x=0, por lo tanto:
(−∞,0) 0 (0,+∞)
f’’ +
∄
+f ∪ ∪
a
23.a) Primeramente, observamos que D(f)= ℝ-{2}. Al tratarse de una función racional, no es periódica, y observamos que tampoco hay ninguna simetría. Por otro lado, tenemos que es continua y derivable en todo ℝ, excepto x=2. En x=2 tenemos una discontinuidad de salto infinito, y por lo tanto una asíntota vertical, con
lim
x→2−f (x)= −∞ x→2lim+f (x)= +∞
Además, la función tiene a y=0 como asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=0 .
Por lo que refiere al crecimiento y decrecimiento de la función, observamos que f’(x)=-1/(x-2)2<0 para todo x en el dominio de f, por lo tanto la función decrece en todo el dominio, y no tiene ningún máximo ni mínimo. Tenemos por lo tanto:
b) Puesto que el denominador no se anula en ningún punto, tenemos que el dominio de la función es toda la recta real, D(f)= ℝ. Además, tenemos que la función es continua y derivable en todo D(f), ya que se trata de una función racional.
Observamos que la función es simétrica respecto el eje de ordenadas, ya que f(-x)=f(x), pero no es periódica. La función tiene a y=0 como a asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=0
Por lo que hace al crecimiento de la función, tenemos que
f '(x)= −2x
(x2+4)2 =0⇔x=0
Por lo tanto, tenemos que para x<0, f’(x)>0 y que para x>0, f’(x)>0, luego la función crece en
(−∞,0), alcanza un máximo en (0,1/4) y luego decrece en (0,+∞). Así, la gráfica de la función es:
c) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{-2,2}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional y que además es simétrica respecto al eje de ordenadas,
puesto que f(-x)=f(x). Notamos también que no es periódica. Por otro lado, tenemos dos asíntotas verticales, x=-2 y x=2, con lim x→−2−f (x)= +∞ lim x→−2+f (x)= −∞ lim x→2−f (x)= −∞ lim x→2+f (x)= +∞
Y además podemos asegurar que la recta y=0 es una asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=0 . Finalmente, en lo que refiere al crecimiento, tenemos que f’(x)=-2x/(x2-4)2, de modo que:
0 (0,2) 2 (2,+∞)
f’ 0 -
∄
-f ↓ ↓
Notamos que basta con estudiar el lado derecho de la función, ya que al tratarse de una función simétrica, para el lado izquierdo simplemente tendremos que cambiar el sentido de las flechas. Obtenemos pues que x=0, con f(0)=-1/4, es un máximo relativo.
d) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{2}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, tenemos que no tiene ningún tipo de simetría y que tampoco es periódica. Tenemos también que f(x)>0 para todo x del dominio, por lo tanto la gráfica de la función siempre está por encima del eje de abscisas. En lo que se refiere a las asíntotas de la función, tenemos a y=0 como asíntota hori- zontal, ya que lim
x→±∞f (x)=0 , y a x=2 como asíntota vertical con: lim
x→2−f (x)= +∞ xlim→2+f (x)= +∞
Finalmente, observamos que f’(x)=-2/(x-2)3 cumple que para x<2, f’(x)>0 y que para x>2, f’(x)<0, por lo tanto, que no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
e) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{-1}. Obser- vamos que f es continua y derivable en todo D(f)
al tratarse de una función racional. Además, tene- mos que no tiene ningún tipo de simetría y que tampoco es periódica. Tenemos que la función corta OX en x=0 y f(0)=0. Respecto a las asíntotas de la función, tenemos a y=1 como asíntota hori- zontal, ya que lim
x→±∞f (x)=1, y a x=-1 como asíntota vertical, con lim
x→−1−f (x)= +∞ x→−1lim+f (x)= −∞
Respecto al crecimiento de la función, tenemos que f’(x)=1/(x+1)2, por lo tanto para todo x en D(f), f’(x)>0 y la función crece en todo D(f). Además, no tiene máximos ni mínimos relativos.
f) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{2}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, tenemos que no tiene ningún tipo de simetría al tener exponentes pares e impares y que tampoco es periódica. Tenemos que la función corta OX en x=0 y f(0)=0. Respecto a las asíntotas de la función, tenemos a y=0 como asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=0 , y a x=-2 como asíntota vertical, con lim
x→−1−f (x)= −∞ x→−1lim+f (x)= +∞
Respecto al crecimiento de la función, tenemos que f’(x)=-4/(x+1)2, por lo tanto para todo x en D(f), f’(x)<0 y la función decrece en todo D(f). Además, no tiene máximos ni mínimos relativos.
g) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{-2,2}. Obser- vamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional y que además es simétrica respecto al eje de ordenadas, puesto que f(-x)=f(x). Notamos también que no es periódica. Corta OX en x=0 y OY en (0,0). Por otro lado, tenemos dos asíntotas verticales, x=-2 y x=2, con
lim x→−2−f (x)= +∞ lim x→−2+f (x)= −∞ lim x→2−f (x)= −∞ lim x→2+f (x)= +∞
Y además podemos asegurar que la recta y=0 es una asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=1. Finalmente, en lo que refiere al crecimiento, tene- mos que f’(x)=-8x/(x2-4)2, de modo que:
0 (0,2) 2 (2,+∞)
f’ 0 -
∄
-f ↓ ↓
Notamos que basta con estudiar el lado derecho de la función, ya que al tratarse de una función simé- trica, para el lado izquierdo simplemente tendre- mos que cambiar el sentido de las flechas. Obtene- mos, pues, que x=0, con f(0)=0, es un máximo relativo.
h) El dominio de la función es D(f)= ℝ, ya que el denominador nunca se anula. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, tenemos que es simétrica respecto al eje de ordenadas, puesto que es par. Tenemos que la función no corta OX y f(0)=2. Además, f(x)>0 para todo x de D(f), luego la gráfica de la función siempre está por encima del eje de coordenadas. Respecto a las asíntotas de la función, tenemos a y=1 como asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=1. Por lo que refiere al crecimiento de la función, tenemos que
f '(x)= −8x (x2
+4)2. Por lo tanto, f’(x)=0 tiene por
solución x=0 y no tiene ninguna asíntota vertical, de donde obtenemos
(−∞,0) 0 (0,+∞)
f’ + 0 -
f ↑ ↓
Luego la gráfica de la función es:
i) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{0}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, no es simétrica ni periódica. Tenemos que la función corta OX en x=−32 y f(0) no existe.
Además, tenemos que f(x)>0 para x<−32 y x>0, y que f(x)<0 para −32<x<0. Respecto a las asín- totas de la función, tenemos que f no tiene asín- totas horizontales pero sí una asíntota vertical en x=0 con lim
x→0±f (x)= ±∞
y dos ramas infinitas: lim
x→±∞f (x)= +∞. La derivada de la función es f’(x)= = 2x− 2
x2. Por lo tanto, f’(x)=0 tiene por solución
x=1 y además f’ tiene una asíntota vertical en x=0, luego:
(−∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f’ -
∄
- 0 +f ↓ ↓ ↑
De este modo, tenemos que la función alcanza un mínimo relativo en x=1, con f(0)=3, y ya podemos dar la representación gráfica de la función, que es:
j) El dominio de la función es D(f)= ℝ, ya que el de- nominador nunca se anula. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, no tiene ninguna sime- tría ni tampoco es periódica. Tenemos que la fun- ción corta OX en x=0 y f(0)=0. Observamos tam- bién que para x<0, f(x)<0 y que para x>0, f(x)>0. Respecto a las asíntotas de la función, tenemos a y=0 como asíntota horizontal, ya que lim
x→±∞f (x)=0 . Por lo que refiere al crecimiento de la función, te- nemos que f '(x)= −4(x2−4)
(x2+4)2 =0⇔x= ±2, luego:
(−∞,−2) -2 (−2,2) 2 (2,+∞)
f’ - 0 + 0 -
f ↓ ↑ ↓
Por lo tanto, la función alcanza un mínimo relativo en x=-2, con f(-2)=-1 y un máximo relativo en x=2 con f(2)=1. Tenemos por lo tanto esta gráfica:
k) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{2}. Obser- vamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional.
Además, al tratarse de una función par, es simétri- ca respecto del eje de ordenadas y además no es periódica. Tenemos que la función corta OX en x=0 y f(0)=0.
Observamos también que para todo x<2, la gráfica de la función está por encima del eje de las abscisas, pues f(x)>0, y para todo x>2, por debajo, pues f(x)<0. Respecto a las asíntotas de la función, tiene una asíntota vertical en x=2, con
lim
x→2−f (x)= +∞ xlim→2+f (x)= −∞
y una asíntota oblícua, y=-x-2:
[
]
x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 2. x →±∞ →±∞ = = − = + = −Por lo que refiere al crecimiento de la función, tenemos que f '(x)= −(x−4)x
(x−2)2 =0⇔x=4 o x=0
Y además f’ tiene una asíntota vertical en x=2, por lo tanto:
(−∞,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 (4,+∞)
f’ - 0 +
∄
+ 0 -f ↓ ↑ ↑ ↓
Luego la función tiene un mínimo relativo en x=0, con f(0)=0, y un máximo relativo en x=4 con f(4)=-8. Por lo tanto, la gráfica de la función es:
l) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{-3,3}. Ob- servamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional.
Además, al tratarse de una función impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas y además no es periódica.
Tenemos que la función corta OX en x=0 y f(0)=0. La región de existencia de la función es:
(−∞,−3) -3 (−3,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞)
-
∄
+ 0 -∄
+Respecto a las asíntotas de la función, tiene dos asíntotas verticales, x=3 y x=-3, con
lim x→−3−f (x)= −∞ lim x→−3+f (x)= +∞ lim x→3−f (x)= −∞ lim x→3+f (x)= +∞
lim x→− 3− f (x)= −∞ lim x→− 3+ f (x)= +∞ lim x→ 3− f (x)= −∞ lim x→ 3f (x)= +∞
Y también tiene dos ramas infinitas a izquierda y derecha. Por otro lado, tiene una asíntota oblicua:
[
]
x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 0. x →±∞ →±∞ = = = + =Por lo que refiere al crecimiento, tenemos f '(x)= x2(x2−9)
(x2−3)2 =0⇔x0=0 o x±= ±3
Así pues, teniendo en cuenta las asíntotas en x=-3 y x=3, tenemos: (−∞,x−) x− (x−,− 3) − 3 (− 3,0) f’ + 0 -
∄
- f ↑ ↓ ↓ 0 (0, 3) 3 (3, 3) x+ f’ 0 -∄
- 0 f ↓ ↓Y para x>x+, la función crece. De modo que tenemos un mínimo relativo en x=x+, con f(x+)=9
2 y un máximo relativo en x=x−, con f(x−)=-9
2. Así pues, la gráfica de la función es:
n) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{-1/2}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, no es simétrica ni periódica. Tenemos que la función corta OX en x=0 y f(0)=0. Además, tenemos que f(x)>0 para x<-1/2 y que f(x)<0 para x>-1/2.
Respecto a las asíntotas de la función, tenemos que f no tiene asíntotas horizontales pero si una asíntota vertical en x=-1 con
lim
x→−1/2+f (x)= +∞ x→−lim1/2−f (x)= −∞
y una asíntota oblicua:
[
]
x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 1/ 2. x →±∞ →±∞ = = − = + =Por otro lado, f '(x)=4x(x+1)
(2x+1)2 ⇔x=0 o x= −1
Y también tiene dos ramas infinitas a izquierda y derecha. Por otro lado, tiene una asíntota oblicua:
[
]
x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 0. x →±∞ →±∞ = = = + =Por lo que se refiere al crecimiento, tenemos f '(x)=x2(x2−27)
(x2−9)2 =0⇔x0=0 o x±= ±3 3
Así pues, teniendo en cuenta las asíntotas en x=-3 y x=3, tenemos: (−∞,x−) x− (x−,−3) -3 (−3,0) f’ + 0 -
∄
- f ↑ ↓ ↓ 0 (0,3) 3 (3,x+) x+ f’ 0 -∄
- 0 f ↓ ↓Y para x>x+, la función crece. De modo que tenemos un mínimo relativo en x=x+, con f(x+)=9 3
2 y un máximo relativo en x=x−, con f(x−)=-9 3
2 . Así pues, la gráfica de la función es:
m) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{ 3,- 3}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional.
Además, al tratarse de una función impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas y además no es periódica.
Tenemos que la función corta OX en x=0 y f(0)=0. Región de existencia de la función:
(−∞ −, 3) - 3 (− 3,0) 0
-
∄
+ 0(0, 3) 3 ( 3,+∞)
-
∄
+Respecto a las asíntotas de la función, tiene dos asíntotas verticales, x= 3 y x=- 3, con
24.a) Para hallar el dominio, comenzamos por x∈Dom(f )⇔x≠2 y 2
x−1≥0
Por lo tanto, tenemos que el dominio de f es Dom(f)= (0,2]. Ahora, hallamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculando primero la derivada de f e igualándola a cero:
2 2 f '(x) 0 2 x 1 x − = = −
Observamos que las asíntotas verticales de la derivada son x=0 y x=2, por lo tanto:
0 (0,2) 2
f’
∄
-∄
f ↓
Y tenemos que la función decrece desde x=0 hasta x=2, y por lo tanto x=2 es un mínimo relativo, con f(2)=0. Ahora, notamos que la función únicamente tiene una asíntota vertical en x=0, con
lim
x→0+f (x)= +∞. Finalmente, tenemos que
f ''(x)= 4x−6 x3(x−2) 2
x−1
=0⇔x=32
Y puesto que para 0<x<3
2 se tiene que f’’(x)>0 (es decir, f es cóncava) y para 3
2<x<2 se tiene f’’(x)<0 (i.e, f es convexa), ya estamos en condiciones para dibujar la gráfica de f.
b)
25.a) Observamos que x2-2x+2>0 para todo x real, por lo tanto D(f)= ℝ. Por otro lado, tenemos que la función es continua en todo su dominio, ya que para todo a en D(f), lim
x→af (x)=f (a) .
Además, como x2-2x+2>0 para todo x en el dominio de f, podemos asegurar también que f(x)>0 para todo x en D(f). Observamos que no hay simetrías y que la función no es periódica. Por lo que refiere a las asíntotas, la función tiene únicamente dos asíntotas oblicuas, y=x-1 e y=-x-1:
[
]
x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 1 x ± = →±∞ = ± ±= →±∞ =Estudiamos ahora el crecimiento y decrecimiento
(−∞,−1) -1 (−1,−1/ 2) -1/2 f’ - 0 +
∄
f ↓ ↑ (−1/ 2,0) 0 (0,+∞) f’ + 0 - f ↑ ↓Por lo tanto, f alcanza un mínimo relativo en x=-1, con f(-1)=2, y un máximo relativo en x=0, con f(0)=0. Luego, la gráfica de la función es:
ñ) El dominio de la función es D(f)= ℝ-{1}. Observamos que f es continua y derivable en todo D(f) al tratarse de una función racional. Además, no es simétrica ni periódica.
Tenemos que la función no corta OX y f(0)=-2. Además, tenemos que f(x)<0 para x<1 y que f(x)>0 para x>1.
Respecto a las asíntotas de la función, tenemos que f no tiene asíntotas horizontales pero si una asíntota vertical, x=1, con
lim
x→1+f (x)= +∞ limx→1−f (x)= −∞
Además, tiene una asíntota oblicua, y=x-1. Final- mente, tenemos que la derivada
f '(x)=(x−2)x (x−1)2 ⇔x=2 o x=0 (−∞,0) 0 (0,1) 1 f’ + 0 -
∄
f ↑ ↓ (1,2) 2 (2,+∞) f’ - 0 + f ↓ ↑Luego la función alcanza un máximo relativo en (0,-2) y un mínimo relativo en (2,2). La gráfica es por lo tanto:
c) Para hallar el dominio, tenemos que hallar los x tales que (x-2)(x+2) ≥0. De ese modo, obtenemos que el dominio es D(f)=(−∞,−2]∪[2,+∞). Además, tenemos que la función es contínua en todo su dominio, ya que lim
x→af (x)=f (a) para todo a
del dominio y además es continua por la izquierda en x=-2 y por la derecha en x=2, pues
xlim f (x) f ( 2)→−2− = − xlim f (x) f (2)→2+ = .
Observamos que para todo x del dominio, f(x) es mayor o igual que cero, por lo tanto la gráfica de f siempre está por encima del eje de coordenadas. Tenemos que la función es simétrica respecto del eje de ordenadas pues se trata de una función par, pero no es periódica.
Por otro lado, tenemos que la función no tiene asíntotas verticales ni horizontales, pero sí dos asíntotas oblicuas, y=x e y=-x, ya que
[
]
x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 0 x →±∞ →±∞ = = ± = =Solo nos falta estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. Obtenemos que
f '(x)= x x2
−4 =0⇔x=0
Por lo tanto, teniendo en cuenta que x no pertenece al dominio de f,
(−∞,0) 0 (0,+∞)
f’ -
∄
+f ↓ ↑
Así pues, tenemos que la función alcanza un mínimo relativo en x=-2 y x=2, con f(2)=f(-2)=0.
d) Para hallar el dominio, tenemos que hallar los x tales que (x+3) ≥0. De ese modo, obtenemos que el dominio es D(f)=[−3,+∞).
Además, tenemos que la función es continua en todo su dominio, ya que lim
x→af (x)=f (a) para todo a
del dominio y además es continua por la derecha en x=-3:
lim
x→−3+f (x)=f (−3)=0 .
de la función, calculando la derivada e igualándola a cero: f '(x)= x−1 x2−2x+2=0⇔x=1 por lo tanto, (−∞,1) 1 (1,+∞) f’ - 0 + f ↓ ↑
Y como la derivada segunda es f ''(x)= 1
(x2−2x+2)3 >0
para todo x>0, tenemos que siempre es cóncava, y podemos representarla:
b) Para hallar el dominio, tenemos que hallar los x tales que x2(1-x) ≥0. De ese modo, obtenemos que el dominio es D(f)=(−∞,1], ya que x2≥0 para todo x, y solo tenemos que notar que los puntos del dominio son los que cumplen 1≥x. Además, tenemos que la función es contínua en todo su dominio, ya que lim
x→af (x)=f (a) para todo a del
dominio y además es continua por la izquierda en 1, pues lim
x→1−f (x)=f (1).
Como x2(1-x) ≥0 y por la propia definición de la función raíz cuadrada, para todo x en el dominio de f, podemos asegurar también que f(x) ≥0 para todo x en D(f). Observamos que no hay simetrías y que la función no es periódica. Hace falta remarcar también que la función no es derivable en x=0, pues f '(x)= (2−3x)x
2 x2−x3
Yf '(0−)≠f '(0+). Por lo que refiere a las asíntotas, la función tiene únicamente una rama infinita por la izquierda.
Estudiamos ahora el crecimiento y decrecimiento de la función. Para ello, notamos que las soluciones de f’(x)=0 son x=0 y x=2/3, pero que f’(0) no está definida, pues como hemos visto antes no existe.
(−∞,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2 / 3,1)
f’ -
∄
+ 0 -f ↓ ↑ ↓
Así pues, podemos asegurar que la función alcanza un máximo relativo en x=2/3, y que el mínimo relativo se alcanza en x=0 y en x=1, pues f(0)=f(1)=0. Por lo tanto:
27.a) Primeramente calculamos la derivada de f, obteniendo f '(x)=e−x(1−x)=0⇔x=1
Observamos que para x<1, tenemos f’(x)>0, ya que e-x>0 para todo x, de modo que la función crece en (−∞,1). Por otro lado, para x>1, f’(x)<0, siguiendo un razonamiento análogo al anterior. Así, la función decrece en (1,+∞). Podemos asegurar que f alcanza un máximo relativo en el punto x=1, con f(1)=e.
b) Primeramente calculamos la segunda derivada de f y la igualamos a cero: f’’(x)=-e-x(2-x)=0, de donde obtenemos x=2. Luego, tenemos que para x<2, f’’(x)<0, es decir, que la función es convexa, y para x>2, f’’(x)>0, por lo tanto es cóncava en el intervalo definido por los puntos que cumplen x>2.
c) Observamos que la única asíntota de f es y=0, ya que lim
x→+∞f (x)=0 , y por otro lado, f tiene una rama infinita por la izquierda, lim
x→−∞f (x)= −∞. Podemos representar entonces la función:
28.a) Observamos que la función cumple f(x)>0 para todo x real, luego la gráfica de la función siempre está por encima del eje de coordenadas. Además, f(0)=1, por lo tanto corta OY en (0,1).
Tenemos que f’(x)=-2e-2x<0 para todo x real, por lo tanto la función decrece a lo largo de toda la recta real, y no tiene máximos ni mínimos relativos.
A su vez, la segunda derivada de f es f’’(x)=4e-2x, que cumple que f’’(x)>0 para todo x real. De éste modo, tenemos que f es cóncava en todo su dominio. Finalmente, la función tiene una rama infinita por la izquierda y por la derecha tiene una asíntota horizontal, y=0, ya que lim
x→+∞f (x)=0 .
b) Observamos que f(x)>0 para x>0 y que f(x)<0 para x<0, ya que ex>0 para todo x, luego el signo de f únicamente depende del signo de x. Por otro Observamos que la función corta con OX en x=-3
y con OY en (0,f(0)=0). Por lo tanto, tenemos que
-3 (-3,0) 0 (0,+∞)
f 0 - 0 +
La función no es simétrica (no está definida para valores menores que -3, por ejemplo) ni tampoco periódica. Podemos observar también que la función tiene una rama infinita por la derecha. En lo que refiere al crecimiento y decrecimiento de la función, tenemos que
f '(x)= 3(x+2)
2 x+3=0⇔x= −2
Por lo tanto, podemos construir la siguiente tabla
(−∞,−2) -2 (−2,+∞)
f’ - 0 +
f ↓ ↑
Y obtenemos que la función alcanza un mínimo absoluto en x=-2, con f(-2)=-2. Tenemos:
26.a) Primeramente calculamos la derivada de f, obtenien- do f '(x)=1−e−x=0⇔x=0. Por lo tanto, tenemos:
(−∞,0) 0 (0,+∞)
f’ - 0 +
f ↓ ↑
Y así la función decrece para valores de x<0, alcanza un mínimo relativo en x=0, con f(0)=1, y luego vuelve a crecer para x>0.
b) La segunda derivada de f es f’’(x)=e-x>0 para todo x real, luego la función siempre es cóncava.
c) Notamos que x x f (x) m lim 1, n lim f (x) x 0 x →+∞ →+∞ = = = − = .
Por lo tanto la función tiene a y=x como asíntota oblicua. Por otro lado, la función tiene una rama infinita por la izquierda, con lim
x→−∞f (x)= +∞.
d) El dominio de la función es D(f)= ℝ. Observamos que la función cumple f(x)>0 para todo x del dominio, luego la gráfica de la función siempre está por encima del eje de coordenadas. Tenemos que la función es continua y derivable en todo ℝ y además es simétrica respecto del eje de ordenadas. Tenemos que f '(x)=2xex2−1
=0⇔x=0
Y puesto que f’(x)<0 para todo x<0 y f’(x)>0 para x>0, podemos asegurar que la función alcanza un mínimo relativo en x=0, con f(0)=1/e. A su vez, la segunda derivada de f es f ''(x)=ex2−1
(4x2+2)>0
para todo x en ℝ. Por lo tanto, la función siempre es cóncava. Finalmente, la función no tiene nin- guna asíntota, pero si que tiene 2 ramas infinitas a izquierda y derecha. La gráfica de la función es: