2.3. Fundamentos de f´ısica de semiconductores
2.3.2. Ocupaci´ on de los niveles electr´ onicos para la estructura de bandas
Eh(k) = ~ 2k2 2mh (2.36)
y me y mh son respectivamente la masa efectiva de los electrones y huecos. La masa
efectiva de los electrones,me, es igual a la masa de efectiva en la banda de conducci´on,mc.
En el caso de los huecos, dentro de la descripci´on electr´on–hueco de los semiconductores, la energ´ıa de estas part´ıculas es la diferencia de la energ´ıa de la banda de valencia con y sin el estado electr´onico vacante. Las expresiones anteriores solamente son v´alidas en la aproximaci´on de bandas parab´olicas, c´alculos m´as detallados se encuentran disponibles en las fuentes bibliogr´aficas como [Chuang95, Chow99].
2.3.2.
Ocupaci´on de los niveles electr´onicos para la estructura de
bandas
En un semiconductor en equilibrio t´ermico la probabilidad de que un electr´on ocupe un nivel dado de energ´ıa, tanto sea en la banda de valencia como en la de conducci´on, viene dado por la estad´ıstica de Fermi–Dirac
f(E) = 1
1 +e
E−EF
kB T
(2.37)
dondeE es la energ´ıa del electr´on,EF es la energ´ıa del nivel de Fermi,kBes la constante
de Boltzmann y T es la temperatura. El nivel de Fermi indica la energ´ıa para la cual la probabilidad de ocupaci´on es exactamente 1/2 como se puede deducir de la expresi´on (2.37) al igualar E =EF. A partir de la expresi´on (2.37) tambi´en se puede ver que en
el cero absoluto el nivel de Fermi se puede interpretar como la energ´ıa que separa los estados ocupados de los no ocupados, ya que cuando T → 0K se puede observar que
f(E < EF) = 1 y f(E > EF) = 0.
En los semiconductores sin dopar el nivel de Fermi se sit´ua aproximadamente en el centro del gap de energ´ıa. A causa de esto, dado que a temperatura ambiente se verifica
Eg >> kBT, el nivel de ocupaci´on en la banda de conducci´on es muy bajo, es decir, muy
pocos electrones son activados t´ermicamente a la banda de conducci´on. Al bombear electrones desde la banda de valencia a la de conducci´on mediante la utilizaci´on de alg´un mecanismo pasar´a a tenerse un nuevo equilibrio t´ermico dentro de cada una de las bandas, a pesar de que ya no exista un equilibrio general en el semiconductor. En esta situaci´on las probabilidades de ocupaci´on en las bandas de valencia y conducci´on pasan a tratarse de forma separada mediante la introducci´on de una distribuci´on de Fermi para
la banda de valencia fc(E) = 1 1 +e E−EFc kB T (2.38)
y otra para la de conducci´on
fv(E) = 1 1 +eEFv −E kB T , (2.39)
dondeEFc yEFvson respectivamente los quasi–niveles de Fermi para la banda de conduc-
ci´on y la de valencia. Los quasi–niveles de Fermi, de forma an´aloga a visto anteriormente con los niveles de Fermi, representan la energ´ıa en la cual la probabilidad de ocupaci´on para cada una de las bandas es exactamente igual a 1/2 para cualquier temperatura por encima de cero absoluto, mientras que en el cero absoluto es la energ´ıa que separa los estados ocupados de los no ocupados.
Como se ha comentado previamente, las distribuciones de Fermi indican la probabili- dad de ocupaci´on de los niveles energ´eticos. La concentraci´on de huecos en la banda de valencia se puede calcular mediante
Nh =
Z ∞
0
ρv(Ev)fv(Ev)dEv (2.40)
donde ρv(Ev) es la densidad de estados en la banda de valencia, mientras que en la
banda de conducci´on la concentraci´on de electrones se puede calcular de forma an´aloga utilizando
Ne=
Z ∞
0
ρv(Ec)fc(Ec)dEc (2.41)
donde ρv(Ec) es la densidad de estados en la banda de conducci´on.
2.3.3.
Estructura de bandas y densidad de estados para
dispositivos semiconductores de baja dimensionalidad
En la actualidad la mayor´ıa de los diodos l´aser comerciales se fabrican empleando es- tructuras de baja dimensionalidad como son los pozos cu´anticos (QW) o puntos cu´anticos (QD), ya que estas estructuras han permitido la obtenci´on de dispositivos m´as eficientes que los de volumen. Esta mayor eficiencia se puede constatar en la figura 1.1 donde se muestra los progresos tecnol´ogicos obtenidos para la densidad de corriente en los l´aseres basados en doble–heteroestructuras, pozos cu´anticos (QW) y puntos cu´anticos (QD), observando claramente las ventajas que ofrecen esta ´ultimas tecnolog´ıas. Una estructura semiconductora se considera que es de baja dimensionalidad cuando los portadores se encuentran confinados, por lo menos en una de las direcciones espaciales, en un tama˜no inferior al de la longitud de onda de de Broglie asociada al portador. La longitud de
onda de de Broglie se define como
λe=
2π~
p (2.42)
donde p es el momento de los portadores; por ejemplo, en materiales como el GaAs est´a longitud es de unos 25 nm a 300 K [Li06]. En las direcciones espaciales en las que se produce el confinamiento de los portadores aparecen efectos de tipo cu´antico que limitan el movimiento de los portadores y se provoca la aparici´on de subbandas de energ´ıa. Por otro lado, en las direcciones espaciales donde no se produce confinamiento los portadores mantienen el comportamiento de portadores cuasi–libres.
Las estructuras semiconductoras de baja dimensionalidad se producen cuando en el interior de un material semiconductor se crean regiones con otros materiales, con por lo menos una dimensi´on inferior a la longitud de onda de de Broglie, que tienen un gap de energ´ıa inferior, de modo que los portadores quedan confinados en estas regiones. En funci´on del n´umero de direcciones en las que se produce el confinamiento las estructuras de baja dimensionalidad se pueden clasificar como:
pozos cu´anticos (QW, Quantum Well), donde el confinamiento se produce en una dimensi´on,
hilos cu´anticos (QWR, Quantum Wire), cuando existe confinamiento en dos di- mensiones, y
puntos cu´anticos (QD, Quantum Dot), cuando existe confinamiento en las tres dimensiones del espacio.
Las ventajas que estas estructuras aportan para la construcci´on de diodos l´aser se basan fundamentalmente en la obtenci´on de una densidad de estados abrupta y un buen confinamiento de las funciones de onda de electrones y huecos. Las expresiones matem´aticas de la densidad de estados para un material volum´etrico, QW, QWR y QD son respectivamente [Arakawa82]:
ρ(0)(E) = 2mi ~2 3/2 2π2 √ E (3−D) (2.43) ρ(1)(E) =X n mi π~2L z H(E−Ez(n)) (2−D) (2.44) ρ(2)(E) =X n,l (mi 2~2) 1/2 πLyLz p E−Ey(l)−Ez(n) (1−D) (2.45) ρ(3)(E) =X n,l,k 1 LxLyLz δ(E−Ex(k)−Ey(l)−Ez(n)) (0−D) (2.46)
donde mi es la masa efectiva de los electrones, E es la energ´ıa medida respecto al borde
E N (3-D) (a) E N (2-D) (b) E N (1-D) (c) E N (0-D) (d)
Figura 2.5: Densidad de estados frente a la energ´ıa para dispositivos de baja dimensio- nalidad cuando el confinamiento de portadores es en (a) 3-D, (b) 2-D, (c) 1-D y (d) 0-D.
delta de Dirac. Ez(n), Ey(l) y Ex(z) representan los niveles energ´eticos cuantizados
con los n´umeros cu´anticos asociados n, l y z. La forma de estas funciones se muestra gr´aficamente en los esquemas de la figura 2.5.
La reducci´on de la densidad de estados que se consigue con las estructuras de baja dimensionalidad ofrece la ventaja reducir el n´umero de portadores necesarios para alcan- zar un nivel energ´etico dado en equilibrio t´ermico, como se puede deducir de introducir las densidades de estados en las expresiones (2.40) y (2.41), y por lo tanto la densidad de corriente.