Optimizaci´on de forma - Optimizaci´ on topol´ ogica por el m´ etodo de los aut´ omatas celular

2. Optimizaci´ on topol´ ogica por el m´ etodo de los aut´ omatas celulares h´ıbridos

3.1. Optimizaci´on de forma

La optimización de forma busca determinar el perfil óptimo de los l´ımites de una estructura de forma que maximize o minimize una medida de desempeño bajo una serie de restricciones de diseño [15]. En esta técnica se refinan los contornos que definen la estructura mientras que la topolog´ıa se mantiene fija [56].

Los principales campos de aplicación en los que se emplean técnicas de optimización de forma comprenden el diseño estructural, mecánica de fluidos, ciencias térmicas y aplicaciones en biomecánica [36]. En cada uno de estos casos la optimización de forma ofrece ventajas particulares. En diseño estructural, estas técnicas se aplican principalmente para situaciones en las que la reducción de peso es un factor de vital importancia [9, 88] o donde se busca reducir esfuerzos en zonas espec´ıficas de los elementos [55]. En el caso de problemas de interacción de fluido-estructura la determinación de perfiles óptimos de elementos aerodinámicos [6, 30], el estudio del flujo al encontrar obstáculos [1, 2, 25], aplicaciones en ingenier´ıa naval para el diseño de estructuras marinas [44] y optimización de forma en cascos y apéndices de los buques [3, 9, 20, 68] se encuentran entre las principales aplicaciones de los métodos de optimización de forma. Igualmente en el diseño de elementos en los que se busca optimizar el flujo de calor o deformaciones termo-elásticas utilizan optimización de forma [13, 17, 47, 53, 54]. Finalmente el diseño de prótesis e implantes usando optimización de forma es un tema con gran cantidad de investigación

26 3. Algoritmo de optimizaci´on de forma aplicando perturbaci´on de la malla

reciente [40, 48, 49, 65, 80, 82].

La principal dificultad encontrada en los problemas de optimización de forma, es la inexis- tencia de soluciones clásicas. Este tema concierne principalmente a la matemática teórica. Sin embargo, la consecuencia de esto en el caso de aplicaciones numéricas es que los al- goritmos no logran convergencia o resultan demasiado sensibles a la selección del diseño inicial [5]. En este trabajo este asunto no es considerado y no debe presentar ninguna dificultad ya que la intención en la propuesta de integración con el algoritmo de optimización topológica es garantizar un diseño inicial muy bueno.

Existen diferentes enfoques propuestos para el planteamiento de un problema de opti- mización de forma. En general, cualquiera de estos enfoques es válido para resolver un problema espec´ıfico de optimización de forma, sin embargo, la eficiencia de alguno de los planteamientos puede verse favorecida por caracter´ısticas propias del problema. El méto- do de la base de vectores tiene como variables de diseño los valores de ponderación que definen la participación en el diseño final de cada uno de los diseños que componen el conjunto de diseños de prueba conocido como base de vectores [25, 82]. El método de perturbación del contorno modifica los contorno de la estructura a partir de un vector de perturbaciones. Los componentes del vector definen la magnitud de los desplazamientos en cada uno de los nodos que describen el perfil del elemento [2, 33, 76].

Otros enfoques menos difundidos buscan superar la eficiencia de los anteriores. El método isogeométrico busca unificar el modelo empleado para el problema de optimización y el del análisis estructural, de manera que se ahorra la transición en cada iteración cuando los mo- delos son de diferente naturaleza [84]. En el método de optimización de forma interactiva algunos de los parámetros como coeficientes de ponderación de las funciones objetivo son modificados durante el proceso de optimización con base en los resultados parciales [86]. Otro enfoque para plantear el problema de optimización de forma es el isoperimétrico. En esta aproximación se busca encontrar el diseño factible, con un per´ımetro fijo, que maximice un métrica de comportamiento mecánico [19]. Este enfoque es considerado uno de los problemas clásicos en optimización de forma.

3.1 Optimizaci´on de forma 27

cuencia es aplicar la teor´ıa matemática de homogeneización, donde se reemplaza el com- puesto de estructura periódica por un modelo de un material equivalente [38]. De hecho, son las propiedades de éste material equivalente las que se obtienen aplicando la teor´ıa de homogeneización periódica o la de H-convergencia [4].

En el caso de los problemas de optimización de forma que incluyen fluidos o transferencia de calor, un enfoque empleado es el de las ecuaciones adjuntas [30, 52, 53, 73]. Éste permite evaluar el gradiente de una función objetivo respecto a una gran cantidad de variables de diseño, lo cual lo hace útil en problemas de complejidad considerable [32]. En esta tesis se emplea el enfoque de perturbación del contorno para desarrollar el algoritmo de optimización de forma ya que es el que mejor se adapta a la aproximación de integración con la optimización topológica que motiva este trabajo.

En optimización de forma aplicada al diseño estructural es necesaria la evaluación de variables de estado que evalúen el comportamiento mecánico de la estructura cada vez que se modifica el diseño con el fin de determinar la factibilidad del diseño. Las variables de estado para el caso de optimización estructural comprenden por lo general esfuerzos, deformaciones o energ´ıa de deformación. Estas variables de diseño pueden emplearse en el modelo de optimización como restricciones o en la función objetivo, ya sea directamente o como parte de una función objetivo multi-criterio. El método de los elementos finitos (FEM, por sus siglas en inglés) es el más aplicado para la evaluación de las variables de estado en optimización de forma [37]. Otro método ampliamente utilizado para la evalua- ción de las variables de estado en optimización de forma es el método de los elementos de contorno (BEM, por sus siglas en inglés). Este método resulta especialmente adecuado para usarse en optimización de forma ya que el enmallado se realiza solamente en los contornos del modelo, de forma que el problema de optimización y al análisis estructural están definidos solamente con los perfiles del modelo [21, 29].

En vista que empleando ya sea FEM o BEM, es necesario en cada iteración del proceso de optimización regenerar la malla debido a la alteración de los contornos del modelo, existen trabajos que presentan métodos sin malla. Por ejemplo, componer la geometr´ıa de la estructura haciendo una aproximación a partir de primitivas y operaciones booleanas entre ellas [87]. El uso del método de Galerkin sin elementos (FEG, por sus siglas en

28 3. Algoritmo de optimizaci´on de forma aplicando perturbaci´on de la malla

inglés) evita igualmente la necesidad de enmallar nuevamente en cada iteración [18]. En este trabajo se aplica el método de los elementos finitos para la evaluación de esfuerzos en la estructura en cada iteración del algoritmo de optimización de forma.

Para resolver el problema de optimización planteado se dispone de diversos métodos. Los métodos de optimización indirectos basados en las condiciones de optimalidad son emplea- dos con mayor frecuencia en métodos de optimización topológica [39] como es el caso del método de los Autómatas Celulares H´ıbridos [83]. Sin embargo son pocos las aplicaciones de este enfoque para optimización de forma [51]. La mayor´ıa de los trabajos conocidos por el autor emplean métodos de directos de búsqueda basados en gradiente como programa- ción lineal secuencial (SLP, por sus siglas en inglés) o programación secuencial cuadrática (SQP, por sus siglas en inglés). Algunos trabajos plantean el problema de optimización para la utilización de métodos estocásticos; por ejemplo los métodos evolutivos como al- goritmos genéticos [8, 17, 54, 72] u otros enfoques como el recocido simulado [66, 77]. El algoritmo de optimización de forma desarrollado en este trabajo utiliza el método de programación secuencial cuadrática para la solución del problema de optimización.

In document Desarrollo de algoritmo para la integración de la optimización topológica y la optimización de forma en estructuras / Algorithm integrating topology and shape optimization in structural design (página 38-41)