Ortogonalización Gram-Schmidt

Supóngase una señal Si(t) que representa a un símbolo mi. Se estima que esta señal pase por el receptor que

está encargado de obtener cada símbolo de la misma. Sin embargo, es evidente que al pasar por el canal, la señal se contaminará debido a la existencia de ruido en el sistema. En una condición ideal, el resultado sería el siguiente:

Figure 14.1: Sistema ideal de recepción (sin ruido). Cada símbolo mi de la señal se recibe sin interfer- encia.

Al introducir ruido blanco gaussiano en el sistema, quedaría como sigue:

1_{This content is available online at <http://cnx.org/content/m41108/1.2/>.}

Available for free at Connexions <http://cnx.org/content/col11361/1.4>

116 CHAPTER 14. ORTOGONALIZACIÓN GRAM-SCHMIDT

Figure 14.2: Sistema de recepción con introducción de ruido

La segunda situación ocasiona que a la salida del receptor no se obtenga precisamente el símbolo mi, sino

que se obtenga un estimado del símbolo original.

Es en este punto en donde entra el concepto de ortogonalización G-S: La señal Si(t) puede expresarse en

función de un conjunto nito de bases (o vectores) ortonormales (U), de forma tal que cada forma de onda estaría relacionada con un coeciente que será denominado s. Matemáticamente se tiene que:

Si(t) = n

X

j=1

s_ij.Uj(t) (14.2)

Es decir, a cada símbolo mise le asocia una forma de onda s. desarrollando la fórmula anterior, para todos

los símbolos posibles, se obtiene un sistema de ecuaciones como sigue:

S1(t) = s11.U1(t) + s12.U2(t) + s13.U3(t) + ... + s1n.Un(t) S2(t) = s21.U1(t) + s22.U2(t) + s23.U3(t) + ... + s2n.Un(t) S3(t) = s31.U1(t) + s32.U2(t) + s33.U3(t) + ... + s3n.Un(t) ... Sm(t) = sm1.U1(t) + sm2.U2(t) + sm3.U3(t) +... + smn.Un(t) (14.3)

El objetivo cuando se tiene un sistema como el mostrado en la gura 2 es el de obtener el estimado que más se aproxime al valor real. Esto se hace minimizando la energía de la señal de error entre el símbolo original y el estimado: sj = T R 0 S (t).Uj(t)dt j=1,2,3,...,N (14.4) Visto desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería entonces la proyección de éste sobre el plano:

117

Figure 14.3: Ejemplo aplicado a vectores. s(t) es el estimado de cada forma de onda original S(t) y e(t) sería la introducción de ruido en el sistema.

A continuación se explica paso a paso la metodología para la obtención de las bases necesarias para representar cada símbolo de una determinada señales de potencia:

Se tiene un conjunto de señales de energía Si(t) con existencia en un intervalo de tiempo [0, T] que se

quieren representar por medio de bases Uj, tal y como se indica en el sistema de ecuaciones 3.

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio: Z T

0

Uj(t).Uk(t)dt = {

1 → j = k

0 → j 6= k (14.5)

Para comenzar se ja sij= 0 exceptuando el primer valor: s11:

S1(t) = s₁₁.U1(t) (14.6)

Se eleva toda la ecuación al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T]:

T Z 0 [S1(t)] 2 dt = T Z 0 s₁₁2.U₁2(t)dt = s₁₁2 T Z 0 U1(t).U1(t)dt (14.7)

Por el principio de ortonormalidad, la integral de la derecha es igual a 1, quedando s11 sólo en función de

S1(t) por lo que se puede despejar:

s₁₁= v u u u t t Z 0 [S1(t) ] 2 dt (14.8) Finalmente: U1(t) = S1(t) s₁₁ = S1(t) s t R 0 [S1(t) ] 2 dt (14.9)

Con esto se obtiene la primera base para representar la señal. Para calcular U2(t), se debe restar a S2(t) su

proyección sobre U1(t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

118 CHAPTER 14. ORTOGONALIZACIÓN GRAM-SCHMIDT Ahora se jará Sij=0 exceptuando los valores de s21 y s22:

S2(t) = s21.U1(t) + s22.U2(t) (14.10)

Reordenando esta ecuación queda:

s₂₂.U2(t) = S2(t) − s₂₁.U1(t) (14.11)

Multiplicando la ecuación por U1(t) e integrándola en el intervalo [0,T] queda: T Z 0 S2(t).U1(t)dt = T Z 0 s₂₁.U1(t).U1(t)dt + T Z 0 s₂₂.U2(t).U1(t)dt (14.12)

Se aplica el principio de ortonormalidad quedando: s₂₁=

T

Z

0

S2(t).U1(t)dt (14.13)

Al igual que para el paso 1, se eleva toda la ecuación 10 al cuadrado y se integra en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

T Z 0 s₂₂2U2.U2(t) = T Z 0 (S2(t) − s21U1(t) ) 2 dt (14.14)

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, queda s22en función de la señal S2(t), el coeciente s21

y la base U1(t): s₂₂= v u u u t T Z 0 (S2(t) − s₂₁U1(t))2dt (14.15)

Finalmente, despejando y sustituyendo las ecuaciones 13 y 15 en la ecuación 11:

⇒ U2(t) = " s2(t) − T R 0 S2(t).U1(t)dt ! U1(t) # v u u t T R 0 S2(t) − T R 0 S2(t).U1(t)dt ! U1(t) !2 dt (14.16)

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que Un=0. Se pudiera resumir este proceso

de la siguiente forma: U1(t) = S1(t) k S1(t) k (14.17) U2(t) = S2(t) − 1S2(t) , U1(t) 2.U1(t) k S2(t) − 1S2(t) , U1(t) 2.U1(t) k (14.18) Un(t) = Sn(t) −Pn−1_m=11Sn(t) , Um(t) 2.Um(t) k Sn(t) −Pn−1_m=11Sn(t) , Um(t) 2.Um(t) k (14.19)

119 Donde: k X k=√EX = s +∞ R −∞ X2_(t)dt 1x(t) , y (t) 2 = R x (t) y (t) dt (14.20) Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal S1(t),

se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

14.2 Constelación

Es la representación gráca de cada señal Si(t) en función de las bases Ui. Cada punto perteneciente a la

constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Se considerarán los `ejes' de la gráca las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj. El procedimiento es el siguiente: se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda sisobre el eje de

la base. Supónganse dos señales, que identican una determinada codicación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

S1= V √ Tb.U1 (14.21) S2= −V √ Tb.U1 (14.22)

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un `eje' que es U1:

Figure 14.4: Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía. Si se eleva al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación se obtiene la energía de la primera forma de onda S1:

Es1= V2Tb (14.23)

Para calcular la Energía de S2se hace exactamente el mismo procedimiento.

La introducción del ruido en el sistema ocasionará una situación como la descrita en la gura 3, es decir, en la constelación el punto correspondiente al símbolo no estará ubicado exactamente en el sitio que se ubicaría si no existiese el ruido. En las comunicaciones digitales se hace uso de un valor umbral con el cual el receptor distingue si el símbolo recibido es uno u otro. Este valor umbral es representado grácamente en la constelación como una línea ubicada en el punto medio entre los puntos de los símbolos sin ruido.

120 CHAPTER 14. ORTOGONALIZACIÓN GRAM-SCHMIDT

Figure 14.5: Otro ejemplo de constelación, las líneas azules representan valores de umbral entre puntos cercanos

14.3 Autoevaluación

Ejercicio 14.1 (Solution on p. 122.)

¾Con qué base puede representarse un símbolo con un valor nulo en el intervalo [0, T]?

Ejercicio 14.2 (Solution on p. 122.)

¾Cómo se observa en la constelación que hay un error en la transmisión?

Ejercicio 14.3 (Solution on p. 122.)

En base a la pregunta anterior, ¾Cómo puede reducirse la probabilidad de error?

14.4 Simuladores

ESTE VINCULO2_{contiene una carpeta con un programa realizado en LabVIEW pero haciendo uso exclu-}

sivamente de "MATLAB Script" que calcula bases ortogonales por medio de Gram-Schmidt; puede obtenerse también un programa similar realizado netamente en LabVIEW por medio de ESTE VINCULO3_{; la interfaz}

de ambos programas es prácticamente igual. Cada carpeta incluye el .vi correspondiente y todos los archivos necesarios para el funcionamiento de cada uno, si se elimina o renombra alguno de estos archivos, podría haber fallas en el funcionamiento del programa. La gura 6 contiene un video explicativo acerca del uso de los programas.

2_{http://cnx.org/content/m41108/latest/OrtogonalizacionGS_MS.rar} 3_{http://cnx.org/content/m41108/latest/OrtogonalizacionGS_LabVIEW.rar}

121 Ortogonalización Gram-Schmidt

This media object is a Flash object. Please view or download it at <http://www.youtube.com/v/1MyIYtTuTXk?fs=1&hl=es_ES>

Figure 14.6: Video explicativo de la utilización del programa

122 CHAPTER 14. ORTOGONALIZACIÓN GRAM-SCHMIDT

Solutions to Exercises in Chapter 14

Solution to Exercise 14.1 (p. 120)

Un valor nulo con dicha duración puede ser representado como la multiplicación de cualquier señal con la misma duración por cero, por lo cual se podrá representar con cualquier base, como por ejemplo, la base calculada por medio del otro símbolo. La posición del valor nulo en la constelación siempre será en el origen Solution to Exercise 14.2 (p. 120)

Hay un error en la transmisión si la representación de un símbolo se observa más cerca del punto corre- spondiente a otro símbolo diferente, es decir, si salta la línea de umbral.

Solution to Exercise 14.3 (p. 120)

La probabilidad de error se reduce aumentando la distancia entre los puntos correspondientes a los símbolos, es decir, aumentando la potencia de transmisión (lo que aumenta el valor de V) o disminuyendo la velocidad de transmisión (lo que aumenta el valor de Tb).

INDEX 123