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Apéndice A
MATRICES
En el campo de la ingeniería y de las ciencias son empleados los sistemas de ecuaciones para la solución de problemas, en esta sección se definen algunas de sus propiedades y solución. Estos sistemas tienen la siguiente estructura:
+ + ⋯ + =
+ + ⋯ + =
⋮ ⋮ ⋮
+ + ⋯ + =
Una matriz de ( ) es un arreglo rectangular de elementos con renglones y columnas, donde no solo es importante el valor de un elemento, sino también su posición en el arreglo. La notación usual de una matriz de es una letra mayúscula y letras minúsculas con subíndices dobles, como , para indicar la entrada en la intersección del -ésimo renglón y la -ésima columna, es decir,
= =
… …
⋮ ⋮ ⋮
…
cuando = , se llama matriz cuadrada de orden . En una matriz cuadrada, la diagonal principal es la línea formada por los elementos , , … , . La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se llama traza de la misma.
Página 84 Igualdad de matrices. La condición necesaria y suficiente para que dos matrices = y = , sean iguales es que tengan el mismo orden y que cada uno de los elementos de una sea igual al correspondiente de la otra, esto es,
=
Suma de matrices. Sean = y = dos matrices de orden ; la suma o diferencia de ambas, ± , es otra matriz = , de donde , en la que cada elemento de es igual a la suma o diferencia de los elementos correspondientes de y . Así, pues, ± = ± . Dos matrices del mismo orden se llaman conformes respecto de la suma algebraica.
Multiplicación de matrices. En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizarse, se requiere que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz . Si dicha condición se cumple, entonces cada elemento de la multiplicación se define como,
= ∗
obsérvese que la operación hay que hacerla multiplicando la fila por la columna; cada elemento de la fila se multiplica por el correspondiente de la columna y, a continuación, se suman los productos obtenidos. Esta operación se llama producto escalar de la fila por la columna. Cuando el producto está definido, se dice que es conforme con respecto de la multiplicación. Si el producto está definido no significa que sea necesariamente conforme con respecto de la multiplicación.
Suponiendo que , , son matrices conforme respecto de la suma algebraica y producto se tiene, ( + ) = + (propiedad distributiva) ( + ) = + (propiedad distributiva) ( ) = ( ) (propiedad asociativa) Sin embargo, ≠ , en lo general,
= 0, no implica necesariamente que = 0 o = 0, = , no implica necesariamente que = .
Si y son dos matrices cuadradas y se verifica que = dichas matrices se llaman permutables o conmutativas. En las condiciones anteriores, si y son tales que = − , las matrices y se llaman antipermutables o anticonmutativas.
Matriz inversa. Sean y dos matrices cuadradas de forma que = = ; en estas condiciones, la matriz se llama inversa de y se escribe = ( igual a inversa de ). Recíprocamente, la matriz es la inversa de , y se puede escribir
Página 85 = . Es importante mencionar que no todas las matrices poseen inversa, sin embargo, si posee matriz inversa, ésta es única.
Matriz traspuesta. La matriz traspuesta de una matriz de orden es la matriz (traspuesta de ) de orden que se obtiene permutando las filas por las columnas. Es decir, el elemento de es el elemento de la matriz .
Matriz simétrica. Una matriz cuadrada tal que = se llama simétrica. Por tanto en una matriz cuadrada = simétrica se verifica que = para todos los valores de y de .
Determinante. El determinante de una matriz es un concepto fundamental del álgebra lineal con el cual se determina la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. Para representar el determinante de una matriz se usa comúnmente , aunque también se usa la notación | |.
- Si = [ ] es una matriz de 1 x 1, entonces det = ,
- si es una matriz de , el menor es el determinante de la submatriz ( − 1) ( − 1) de , que se obtiene al suprimir el -ésimo renglón y la -ésima columna de la matriz ,
- el cofactor asociado asociado a se define como = (−1) , - el determinante de la matriz de , cuando > 1, está dado por
det = = (−1) , = 1,2, … ,
o bien por
det = = (−1) , = 1,2, … ,
Ecuación característica de una matriz. Sea = , siendo = , ( , = 1,2, … , ) una transformación lineal definida sobre un cuerpo . En general, la transformación convierte un vector = [ , , … , ] en otro = [ , , … , ]′ relacionado con el primero por dicha transformación. Se estudia la posibilidad de que ciertos vectores se transformen en , siendo un escalar perteneciente a o a cualquier otro cuerpo del cual sea un subcuerpo.
Todo vector que se convierte mediante dicha transformación en el vector , es decir, todo vector tal que,
=
Página 86 − = ( − ) = 0 o en forma matricial − − ⋯ − − − ⋯ − ⋮ ⋮ ⋮ − − ⋯ − ⋮ = 0 0 ⋮ 0
la condición necesaria y suficiente para que este sistema homogéneo de ecuaciones tenga solución, distinta de la trivial, es que
| − | = − − ⋯ − − − ⋯ − ⋮ ⋮ ⋮ − − ⋯ − = 0 0 ⋮ 0
El desarrollo de este determinante es un polinomio ( ) de grado que se llama polinomio característico de la transformación o de la matriz . La ecuación ( ) = 0 recibe el nombre de ecuación característica de , y sus raíces , , … , , son las raíces características de . Si = es una raíz característica, entonces ( − ) = 0 admite soluciones, distinta de la trivial, que son las componentes de los vectores invariantes o característicos asociados a dicha raíz.
Las raíces características se llaman, normalmente, valores propios o autovalores; los vectores características correspondientes son los vectores propios o autovalores.
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