Para aplicar a los pórticos los conceptos del análisis plástico es esencial admitir como hipótesis que la continuidad en las uniones es completa; es decir, que las uniones son capaces de transmitir íntegramente el momento plástico MP, tal como se dijo en §3.1. Las condiciones en que una unión es capaz de satisfacer esta condición, en cuanto a rigidez, resistencia y capacidad de rotación, es un tema por sí mismo que excede del carácter introductorio y elemental de esta publicación, y debe buscarse en textos de cobertura más amplia. Por ejemplo, en §3.1 admitimos que los empotramientos, los nudos rígidos y las uniones no articuladas son lugares donde pueden generarse articulaciones plásticas. Entonces, en las esquinas B y D de los pórticos simples de las figuras 3.12a1 y 3.12a2 podremos admitir que puede formarse una articulación plástica en cada una. Sin embargo, si esas uniones son acarteladas, en cada una de ellas podrían originarse dos articulaciones plásticas diferentes. No tratamos este caso, pues rebasa el alcance de esta publicación.
En las figuras 3.12a1 y 3.12a2 se representa un mismo pórtico sometido a las mismas cargas concentradas, con la diferencia de que en la primera (caso 1) está articulado al suelo y en la segunda (caso 2) está empotrado al suelo. Según las hipótesis formuladas en §3.1, en el caso 1 podrán formarse articulaciones plásticas en B, C y D, y a éstas hay que añadir las articulaciones constructivas A y E cuando se consideren los posibles mecanismos de colapso. En el caso 2, pueden formarse articulaciones plásticas en A, B, C, D y E, por lo que los mecanismos de colapso que deberán considerarse son los mismos que en el caso 1. La diferencia entre uno y otro caso estriba en que para el caso 2 hay que tener en cuenta los momentos plásticos en A y E al evaluar los trabajos virtuales. Si en la figura 3.12 aplicamos el principio de los trabajos virtuales a los cinco mecanismos de colapso que en principio parecen posibles, b) a f) de cada caso 1 y 2, se obtienen para MP los valores que se reseñan en la tabla siguiente:
MP (m·kN)
b) c) d) e)* f)
Caso 1 180 125 255 -162,5 162,5
Caso 2 180 62,5 159,4 -108,3 108,3
Fig. 3.12
Mecanismos de colapso posibles de los pórticos de las figuras a), que difieren únicamente en que en el caso 1 el pórtico está articulado al suelo y en el caso 2 está empotrado. Obsérvese que los mecanismos de colapso son idénticos, a excepción de que en el caso 1 en A y en E las articulaciones son constructivas y en el caso 2 son plásticas. Únicamente dos de los cinco mecanismos de colapso son elementales (m=2) y los otros tres son compuestos. Aunque los mecanismos elementales pueden elegirse arbitrariamente, se conviene que en los pórticos rectangulares sean los indicados en la figura 3.13. Por tanto, los mecanismos elementales serán los b) y c) y los combinados los d), e) y f).
O sea, en el caso 1 el mecanismo de colapso sería el (d1), y en el caso 2 sería el (b2). Si las cargas representadas son las últimas, es decir, las de trabajo multiplicadas por el factor de carga, y es ıY = 250 MPa, los módulos plásticos respectivos serían
3 6 3 1 6 255 10 1020 10 m 250 10 Z u u u y 3 6 3 2 6 180 10 720 10 m 250 10 Z u u u
Es posible aplicar a los pórticos simples la relación de Neal y Symmonds (3.1) justificada en §3.1 para las vigas rectas bajo cargas transversales, simplemente recordando que el grado de hiperestaticidad habrá que determinarlo teniendo en cuenta que el número de ecuaciones que permiten escribir las condiciones universales de equilibrio es ahora de tres. En el caso presente, tomaríamos N1 = 3 y H1 = 1, y N2 = 5 y H2 = 3, con lo cual en ambos casos m = 2. Quiere esto decir que de todos los mecanismos que se representan en la figura 3.12, sólo dos pueden considerarse independientes en cada caso 1 ó 2, y los demás son combinaciones de esos dos. Los mecanismos que pueden considerarse independientes se llaman mecanismos elementales, y las combinaciones de éstos son los llamados mecanismos compuestos. Los mecanismos elementales pueden elegirse arbitrariamente, pero respecto a los pórticos rectangulares se conviene en que los mecanismos elementales son los representados en la figura 3.13: los mecanismos de viga o de columna y los mecanismos de marco, o mecanismos laterales. Según este criterio, los mecanismos b) y c) son mecanismos elementales y los d), e) y f) son mecanismos compuestos de viga y marco.
Fig. 3.13 Mecanismos elementales.
Hay que añadir que los mecanismos de viga pueden ser hacia arriba y hacia abajo, o hacia la derecha y hacia la izquierda1; mientras que los mecanismos de marco pueden ser hacia la derecha y hacia la izquierda. La elección de cada mecanismo elemental debe hacerse de modo que el trabajo WE de las cargas sea positivo. Esto puede que a veces no sea evidente, y así en los dos casos (e1) y (e2), que corresponden a la formación de articulaciones en B y C, al tomar el mecanismo de viga hacia arriba resulta un valor de WE negativo; mientras que en los mecanismos (f1) y (f2), también debidos a articulaciones en B y C, ese valor es positivo. A los cinco mecanismos representados en la figura 3.12 podría pensarse en añadir un sexto mecanismo, que sería el debido a las articulaciones en C y D, como en (d1) y (d2) pero con marco hacia la izquierda y viga hacia arriba; ello no se ha incluido pues es evidente que daría un valor de WE negativo.
Si en ambos casos de la figura 3.12 se añade una tercera carga, por ejemplo en algún punto no extremo de los montantes AB o DE, o bien en un punto del dintel distinto al C, el número N de articulaciones posibles aumenta en uno, mientras que el grado de hiperestaticidad H no varía. Esto significa que el número de mecanismos elementales pasa de dos a ser tres: dos de viga y uno de marco. Aumenta así el número de mecanismos, tanto elementales como compuestos, que se han de considerar. Es decir, la aplicación del método de los mecanismos se complica a medida que aumenta el número de cargas aplicadas.
El teorema de los mecanismos compuestos permite aliviar en parte esa dificultad. Al aplicar el principio de los trabajos virtuales, resulta siempre una expresión de la forma
P 0
DM T FT
(3.20)
donde el primer sumando (negativo) es el trabajo WI de las fuerzas internas y el segundo es el trabajo WE de las cargas
aplicadas. De (3.20) resulta
P F
M
D (3.21)
Consideremos, en un pórtico cualquiera, dos de los mecanismos elementales posibles, 1 y 2, y el mecanismo compuesto de los anteriores, o mecanismo 3. Según (3.21), para el mecanismo elemental 1,
1 P1 1 F M D y para el mecanismo elemental 2,
2 P2
2 F
M D
Al combinarse los dos mecanismos elementales 1 y 2, los valores de los trabajos WE de las cargas aplicadas se suman, y si
los giros relativos que producen ambos mecanismos elementales en todas las secciones son del mismo sentido, los valores deWI también se suman y 3 1 2 P3 3 1 2 F F F M D D D
que es un valor comprendido entre MP1 y MP2, y el mecanismo 3 es irrelevante. Pero si los mecanismos 1 y 2 producen giros
relativos de sentidos opuestos en alguna sección, podría ocurrir que MP3 fuese mayor que MP1 y MP2. O sea, para que un
mecanismo compuesto sea determinante es condición necesaria, pero no suficiente, que los dos mecanismos elementales que lo componen produzcan giros relativos opuestos en una misma sección. Este teorema permite excluir del análisis los mecanismos compuestos que no lo cumplan.
Consideremos el pórtico de la figura 3.14a. Según las hipótesis de §3.1 es N = 7, mientras que H = 3. O sea, el número m de mecanismos elementales será de cuatro: tres de viga y uno de marco (figs. 3.14b a 3.14e). (El mecanismo de marco se toma hacia la derecha, de modo que el trabajo de las cargas sea positivo, tal como se comprueba fácilmente.) En total hay que considerar diez mecanismos, los cuatro elementales y los seis que resultan de combinar de dos en dos los anteriores, ya que las combinaciones de más de dos mecanismos producen más articulaciones de las estrictamente necesarias para producir el colapso. En la tabla siguiente se resume el resultado de aplicar el teorema de los mecanismos compuestos a esos seis mecanismos compuestos.
Fig. 3.14 a) Pórtico simple.
b) a g) Mecanismos de colapso posibles elementales y combinados.
Combi-
nación Observación ¿Cumple? Mecanismo número
1-2 En C los giros relativos son opuestos Sí 5
1-3 En C los giros relativos son del mismo sentido No X 1-4 En E los giros relativos son del mismo sentido No X
2-3 En C los giros relativos son opuestos Sí 6
2-4 En E los giros relativos son del mismo sentido No X
3-4 No es un mecanismo de colapso -- --
En la figura 3.14f y 3.14g se representan los dos mecanismos compuestos que debemos considerar. Para completar el análisis se incluye, en la figura 3.14h, la combinación 3-4. Respecto a ésta se señala que sobran dos articulaciones para que sea estrictamente un mecanismo de colapso, lo que por otra parte concuerda con el hecho de que, asignando el valor MP al
momento flector en los puntos donde deberían formarse las articulaciones plásticas, las distintas partes del sistema no pueden cumplir simultáneamente las condiciones de equilibrio.
En la tabla siguiente se resume la aplicación del principio de los trabajos virtuales a los seis mecanismos que se consideran.
Mecanismo Trabajo WE de las cargas y trabajo WI de las fuerzas internas
(WI + WE = 0), en kJ MP (m·kN) WE = 100×3ș = 300ș 1 WI = - MP(1+2+1)ș = -4șMP 75 WE = 100×5ș +50×8ș-150×4ș = 300ș 2 WI = - MP[1+1+(4/3)+(4/3)] = -(14ș/3)MP 64,29 WE = 100×5ș = 500ș 3 WI = - MP[1+(8/3)+(5/3)] = -(16ș/3)MP 93,75 WE = 150×3ș = 450ș 4 WI = - MP(1+2+1) = -4șMP 112,5 WE = 100×5ș +50×8ș+100×3ș -150×4ș = 600ș 5 WI = - MP[1+2+1+(4/3)+(4/3)]ș = -(20ș/3)MP 90 WE = 100×5ș +50×5ș -150×2,5ș = 375ș 6 WI = - MP[1+1+(5/6)+(5/6)]ș = -(11ș/3)MP 102,27