Ángulos adyacentes
Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.
<BAC es adyacente con <DAC
Ángulos
opuestos por el vértice
- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 y <4
- Son ángulos congruentes: <1 = <2 y <3 = <4
Ángulos complementa rios
- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman
90°. El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa. Ángulos suplementari os - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman
180°.
El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8
Ángulos alternos entre paralelas.
1 = 7 2 = 8 3 = 5 4 = 6 Son suplement
arios Ángulos contrarios o
conjugados. 1 6 2 5 3 8 4 7 Ángulos colaterales. 1 8 2 7
3 6 4 5
Angulo cóncavo: mide más de 1800 y menos de 3600 Ejercicio- 12 , escribe el nombre alos siguientes angulos.
Encontrar el valor de “A” en la figura:
Encontrar el valor de “A” en la figura: A+B =1800 A=180-B
Encontrar el valor de “B” en la figura:
A+B=1800 B= 180- A
B= 180 – 80 451 B=990 151
Encontrar el valor de “E” un la figura:
E+F= 1800 E=180 –F E= 1800 1150351 2311 E= 6402413711 Ejercicio: Hallar el suplemento de 780 231 6911 Hallar el suplementote 1670 561 4311 Hallar el suplemento de 340 561 8911
Ángulos complementarios: son aquellos que sumados nos dan 900 Ejemplo: hallar el ángulo”A” de la siguiente figura:
A+B= 900 A=900
Encontrar el valor de “B” en la siguiente figura: A+B= 900 B= 900 –A B=90-670 451 B=220151 Ejercicios: 34° 56‘90’’ 45 °28’16’’ 81°17’ 50’’ 54° 76’ 31° 78’ 54’’ 26 °23’ 13’’ 2.3 paralelismo perpendicularidad
Rectas perpendiculares silas rectas AB yAC forman un angulo recto se dice que AB y AC son perpendiculares esto simboliza poe AB AC fig.1 si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dicen que son oblicuos
Carácter reciprocos de la perpendicular si una recta es perpendicular a otra es L ala primera postulado por un punto fuera de una recta en un plano perpendicular a dicha recta y solo una
Rectas paralelas dos rectas son paralela si estan contenidas en el mismo plano y no se intersecta cuando las rectas r y s sean paralelas se usare el símbolo ll asi, rlls se dice que son segmentos son parelelos si las rectas que los contienen son
<--- ---
Postulado de euclides por un punto exterior a una recta pasa una sola parela a dicha recta
a---x---b c---D
corolario dos rectas son parelelos a una tercera si A---B
C---D si AB ll CD y CD ll EF AB =EF E--- f
Angulos formados por dos parelelos y una secante si dos paralelos son cortados por una secante transversal se distinguen ocho angulos y llamados internos y 4
llamados externos por estar
situadosrespectivamentedentrodeyafueradelasparelas (<4y<5)(<3y<5) son alternos e internos (<1y<7) (<2y<3) son alternos y externos
40Toda secante forma 2 paralelas angulos alternos iguales
Si AB ll CD ≤1=≤7 ≤2=≤2
Dos angulos colaterales internos entre paralelas son suplementarias Si AB ll CD,SS
≤3 + < 6 = 180º
< 4 + < 5= 180º
Los angulos colaterales externos, entre paralelas, son suplementarios. < 1 + < 8 = 180º
< 2 + < 7 = 180º
-- __
Dadas las rectas AB ll CD Cortadas po la secante ss” determina P y Q
P = sx – 8º Por ser internos iguales Q = 3x + 6º Por ser internos iguales
3x + 6º + sx – 8 =180º Por formar angulo llano 8X – 2º = 180 :. X = 22.75º P = s”( 22.75º)- 8º Q = 3(22.75º) + 6 P+Q =180º P = 105,75º Q = 74,25º 105.75º+74.25º=180º 180º =180º
___ __
Dadas las rectas IJ ll KL cortadas por las secantes ss” determina la medida de los angulos A,B,C,D.E,F y G
X/2 +3º = 20X Por ser alternos externos iguales
3º = 19.5x X= 3 / 19.5 x = 0.1538º
20x = 20 ( 0.1538) = 3.077º =6 x / 2 + 3 = 0.1538/2+3=3.077º=B
Por ser opuestos por el vértice por ser suplementario A + X / 2 + 3 = 180º F + 20X =180º
A = 180º - 3.077 F + 3.077=180º A = 176.93 = c F = 176.93 = E
Ángulos formados por un sistema de paralelas cortadas por una tranversal.
Pares de ángulos correspondientes (B) y (F)
(D) y (H) (A) y (E) (C) y (G)
Pares de ángulos opuestos por el vértice. (A) (D), (C) (B), (E) (H), (F) (G)
Pares de ángulos alternos internos: (B) (F), (E) (D),
Pares de ángulos alternos externos. (A) (H)
(B) (G)
“Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”
A B
C D
E F
A+B= 180_______ (1) D+B ____________ (2) Despejando B tenemos B= 1800 – D_________ (3) Substituyendo (3) en (1) tenemos: A+ (1800 –D)= 1800 A= 1800- 1800 + D A=D
Los ángulos alternos internos son iguales
Por (o) punto medio de PQ trácese la recta MN perpendicular a CD MN AB A B C D E F G H x A M p B D C Q
Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.
El ángulo
POM = QON Por ser opuestos al vértice OP = OQ (por construcción)
PMB = QNO
Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de sus ángulos adyacentes a ella.
APQ = DQP
Que es lo que quería demostrar
Nota:
Los ángulos correspondientes son iguales.
A B
C D
E F
C = B (por ser opuestos por el vértice) C = F (por ser alternos internos)
B = F (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)
Los ángulos alternos externos son iguales entre si.
D=A (ángulos opuestos por el vértice) D=H (por ser correspondientes)
A=H (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)
Hallar el valor de los ángulos de la siguiente figura si el ángulo F=600
F=600 A B C D E F G H A B C D E F G H
E+F=180(por ser suplementarios) E= 1800-F
E= 180-60 E=1200
E=H (por ser ángulos opuestos por el vértice) G= 600
E=A (por ser ángulos correspondientes) A=1200
F=B (por ser ángulos correspondientes) B=600
H=D (por ser correspondiente) D=1200
C=B (por ser opuestos por el vértice) C=600
Ejercicio:
Hallar el valor de los ángulos de la siguiente figura, si el ángulo C= 4502015011 Los ángulos cuyos lados paralelos son iguales entre si.
A.- Ángulos cuyos lados son directamente paralelos (los dos lados están orientados en el mismo sentido) son iguales:
A = B (por ser correspondientes) B = C (por ser correspondientes)
A = C (dos cantidades que son iguales a una tercera son iguales a una tercera son iguales entre si)
B.- Ángulos cuyos lados son inversamente paralelos (los dos lados están orientados en sentido contrario) son iguales:
a b
A= C (por ser correspondiente) B = C (por ser alternos internos)
A = B (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)
Ángulos que guardan paralelismo mixto (un lado es directamente paralelo y el otro inversamente paralelo) son suplementarios.
A=B (ángulos correspondientes) D=B (por ser correspondientes)
A=D (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si) C+D= 1800 (por ser suplementarios)
C=A=1800
Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (dos ángulos agudos) son iguales.
A B A C B D
A+B= 900 (por ser ángulos complementarios) B+C= 900 (por ser ángulos complementarios)
Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si. A+B= B+C
A= B-C A=C
Que es lo que se quería demostrar.
Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (un ángulo agudo y uno obtuso) son suplementarios.
C= B (dos ángulos agudos con lados perpendiculares entre si son iguales, ya se demostró)
A+C= 1800 (por ser suplementarios) A+ B = 1800 A B C B A
Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (dos ángulos obtusos) son iguales.
C+A = 1800 (dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si, un angulo agudo y un obtuso, son suplementarios.)
B+C= 1800 (son suplementarios)
Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si. C+A = B+C A= B+ C A = B Notas: A C B
Hallar el valor de los ángulos desconocidos en las siguientes figuras (demostrar que ese valor es correcto.)
Clasificación de los triángulos atendiendo a la magnitud de sus lados. Triangulo isósceles.- Es el que tiene dos lados iguales.
250 400 X X 220201 7504013011 X
Triangulo equilátero.- Es el que tiene sus tres lados iguales. Triángulos escaleno.- Es el que tiene sus tres lados diferentes.
Triangulo isósceles Triangulo equilátero
Triángulos escaleno
Clasificación de los triángulos atendiendo a la magnitud de sus ángulos.
Triangulo octangulo.- Es el que tiene sus tres ángulos agudos (menor de 90.
Triangulo obtusángulo.- Es el que tiene un Angulo obtuso. Triangulo rectángulo.- Es el que tiene un ángulo recto.