Penalizaci´on de las sobrecargas

El principal objetivo de los sistemas de tarificaci´on bonus-malus es que los ase-gurados paguen una prima justa, esto es, la prima que corresponda a su propia experiencia de reclamaci´on. Sin embargo, muchos de estos sistemas penalizan in-justamente a determinados asegurados, haci´endoles pagar m´as de lo que realmente les corresponde. Por otro lado, en muchas ocasiones las bonificaciones establecidas son peque˜nas, lo que puede acarrear serios problemas de competitividad y, en con-secuencia, de equilibrio financiero a la compa˜n´ıa aseguradora (Baione et al., 2002,

Tabla 4.10: Primas bonus-malus. Modelo Poisson-gamma.

n ¯X

n 0 1 2 3 4

0 100

1 88.57 167.80 247.03 326.29 405.50 2 79.49 150.59 221.70 292.81 363.91 3 72.03 136.59 201.08 265.57 330.07

Tabla 4.11: Primas bonus-malus. Modelo binomial negativa-beta.

n ¯X

n 0 1 2 3 4

0 100

1 94.91 130.20 165.48 200.77 236.06 2 90.31 123.89 157.47 191.05 224.63 3 86.14 118.17 150.20 181.22 214.25

pp. 159-160). Adem´as, es costumbre en el mercado de seguro de autom´oviles, que el asegurado cambie de compa˜n´ıa aseguradora buscando precios m´as competitivos.

Esto representa un problema para la compa˜n´ıa aseguradora, pues los buenos asegurados pueden optar por abandonar dicha compa˜n´ıa para asegurarse en otra con precios m´as bajos. Adem´as, para la compa˜n´ıa, la p´erdida de los ingresos que le reporta estos clientes supone no poder compensar el balance de la empresa, pues aunque los asegurados catalogados como malos asegurados paguen m´as, es generalmente una poblaci´on menos numerosa la que figura en estas clases. Como muestra, obs´ervese la cartera de seguros de autom´oviles que aparece en la tabla 4.12 (extra´ıda de G´omez-D´eniz et al., 2005a) y que corresponde a datos reales de una aseguradora espa˜nola. En esta cartera, los asegurados se clasificaron de acuerdo a dos categor´ıas: edad del conductor (q) y la potencia del veh´ıculo asegurado (p), como se aprecia en la tabla 4.13. As´ı, q = 1 corresponde a conductores j´ovenes con edad inferior a 35 a˜nos; q = 2, conductores con edades comprendidas entre 35 y 49 a˜nos; q = 3, conductores mayores de 50 a˜nos. Por otro lado, p = 1 corresponde a veh´ıculos con una potencia entre 54 y 75 cv; p = 2, veh´ıculos con una potencia entre 76 y 118; finalmente p = 3, corresponde a veh´ıculos con una potencia mayor de 119 cv.

Por otro lado, la experiencia demuestra que los buenos asegurados prefieren pagar inicialmente una prima ligeramente mayor, de modo que si incurren en una

Tabla 4.12: Distribuci´on de los asegurados en las distintas subcarteras. G´omez-D´eniz et al., 2005a.

k 4 1903 1371 503 168

k

0 1 2 ≥ 3

9023

7797 1063 140 23 6668 1952 344 59 5702 2562 625 135 4876 2954 937 257 11947

9470 1916 445 116 7273 3391 984 299 5585 4079 1638 645 4289 4265 2234 1159

25719

21031 3775 720 193 16789 6796 1680 455 13402 8444 2903 969 10699 9151 4108 1761 8447

6570 1423 321 133 4908 2495 759 286 3666 2933 1266 582 2738 2990 1701 1017

19609

15702 3112 603 92

12234 5478 1456 441 9532 6647 2496 934 7426 7032 3469 1681 1486

1125 274 69 18

822 458 154 52 601 523 247 115 439 520 322 205

5762

4554 902 224 82

3452 1640 492 178 2617 1968 817 359 1984 2041 1109 628 11758

10437 1159 143 19 9185 2193 331 48 8354 2693 604 107 7114 3517 923 204

27287

22788 3766 591 142 18714 6778 1457 337 15369 8594 2591 733 12622 9543 3763 1360 18688

15158 2848 510 172 11988 5065 1262 373 9482 6230 2198 778 7499 6686 3101 1402

5812

4680 900 187 45

3672 1597 426 117 2881 1952 723 256 2261 2080 1005 466

reclamaci´on, en el siguiente per´ıodo (a˜no) su prima no se vea incrementada en una cantidad grande.

Se han elaborado diversos modelos tratando de resolver estos problemas. El primero de estos modelos fue propuesto por Ferreira (1977), que puede verse

tam-Tabla 4.13: N´umero de asegurados y n´umero medio de reclamaciones en las

bi´en en Lemaire (1979, 1985 y 1995), en el que se propone un modelo que aumente ligeramente las primas que pagan los buenos asegurados como contrapartida a la disminuci´on de las primas pagadas por los asegurados malos y que garantice el equilibrio financiero. En G´omez-D´eniz y Le´on (2005b) y G´omez-D´eniz et al.

(2005a) se propone un mecanismo similar con la funci´on de p´erdida Esscher que realiza el proceso contrario. Ver tambi´en Sarabia et al. (2004), haciendo uso de los modelos de especificaci´on condicional.

Las ideas sobre penalizaci´on fueron inicialmente propuestas por Lemaire (1979), donde el autor expone un procedimiento para reducir el porcentaje de incremen-to de la prima que permite mantener el ajuste presupuestario de la compa˜n´ıa aseguradora. Para ello, en este texto se utilizar´a el principio de prima neta, y min-imizaremos la diferencia entre la prima neta Bayes P (k, n), siendo k el n´umero de reclamaciones y n el tiempo, y el valor del par´ametro θ, sujeto a la restricci´on presupuestaria. As´ı, denominando m al n´umero m´aximo de clases en la cartera, Nk al n´umero de asegurados en dichas clases y N = P_m

k=0Nk, formalmente el problema a resolver tendr´a la siguiente formulaci´on:

m´ın 1

Mediante la formulaci´on de este problema el asegurado minimiza la p´erdida es-perada de la operaci´on de aseguramiento sujeta a la restricci´on que permite el equilibrio financiero.

La soluci´on a este problema de optimizaci´on restringida se presenta en la

sigu-iente proposici´on.

Proposici´on 4.1 La soluci´on del problema de optimizaci´on (4.60) viene dada por:

P (k, n) =

Demostraci´on: La funci´on lagrangiana es:

ψ = 1

en la que β es el correspondiente multiplicador de Lagrange. Ahora,

∂ψ Tras algunas manipulaciones algebraicas se obtiene:

1

Finalmente, despejando de esta expresi´on ¹₂β, sustituyendo en (4.63) y teniendo en cuenta (4.62) se obtiene el resultado.

Ahora podemos construir una prima bonus-malus como el cociente:

PBM = PBM(k, n) = P (k, n)

P (0, 0). (4.64)

Ejemplo 4.10 Consid´erese la cartera de seguros de autom´oviles que aparece en la tabla 4.12. Calcular las primas netas bonus-malus para la subcartera p = 1, q = 1 obtenidas cuando la verosimilitud es Poisson de par´ametro θ y la distribu-ci´on a priori es gamma con par´ametros a = 1, b = 5 para el modelo est´andar Poisson-Gamma y el modelo modificado de las sobrecargas. Obs´ervese que con estos par´ametros se est´a considerando que la media del n´umero medio de recla-maciones es a/b = 0,25, lo que parece acorde vista la media de reclarecla-maciones en las distintas subcarteras que aparecen en la tabla 4.13. Vamos a comprobar que se resuelve el problema de las sobrecargas.

Bajo el modelo est´andar Poisson-Gamma las primas bonus-malus se calculan de acuerdo a la expresi´on

PBM = a + k b + n b a,

siendo k = n¯k. Bajo el modelo modificado, utilizando (4.61), resulta, despu´es de algunos c´alculos:

P (k, n) =a + k b + n+a

b − 1