Parte III. LÓGICA MODAL
5.1 Perspectiva
Esta sección anticipa los principales conceptos abordados. Se pretende ofrecer una perspectiva en un tono coloquial. Las definiciones precisas se posponen a las secciones siguientes.
5.1.1 Estructuras
Estructuras relacionales
Observe la figura (fig.5.1.1). Es la representación gráfica de un conjunto y de una relación R entre sus elementos. En este ejemplo,
• el elemento 5 está relacionado con el 1: R(5, 1), • pero el 1 no lo está con el 5;
• sólo el elemento 3 está relacionado consigo mismo: R(3, 3). ?>=< 89:;1 ++?>=<89:;2 §§ »» ?>=< 89:;3 EE FF ++?>=<89:;4 ?>=< 89:;5 LL ?>=< 89:;6
Figura 5.1: Estructura relacional
A este tipo de construcciones matemáticas se les denomina estructuras relacionales: un conjunto no vacío y relaciones sobre el mismo. También se les denominará marcos.
Modelos
Considere de nuevo la figura (fig.5.1.1), ahora como representación de una imprecisa ’relación entre escenarios de un videojuego’. Pueden surgir, de inmediato, algunas objeciones razonables: ¿no debe- ría ser reflexiva?, ¿qué sentido tienen los escenarios aislados?, ¿no deberían considerarse transiciones
5.1. Perspectiva 171 etiquetadas?. Estas y otras cuestiones dependen del tipo de relación (o relaciones) entre escenarios que se pretende modelizar.
Las estructuras relacionales se utilizan para modelizar sistemas, situaciones, procesos. En ge- neral, una modelización adecuada requiere que la estructura relacional verifique ciertas propiedades formales.
Los lenguajes modales permitarán, por un lado, expresar lo que ocurre en cada nodo y por otro, formalizar las particularidades de la relación entre nodos
Proposiciones en cada nodo
Volvamos al ejemplo del videojuego, sobre el grafo propuesto. El comportamiento de nuestro ’hé- roe virtual’, en cada escenario, puede venir descrito por un conjunto de proposiciones: {p, q, r, ...}. Resulta entonces un grafo como el de la figura (fig.5.2), donde cada nodo se etiqueta con las letras proposicionales localmente verdaderas en el mismo.
Observe que la proposición p puede ser verdadera en unos nodos y falsa en otros, pero en todos ellos describe el mismo comportamiento, enuncia la misma proposición.
A este proceso de etiquetado se le denomina asignación. Un marco adecuado con una asignación es un modelo. ONML HIJK1 p,r HIJK,,ONML2p §§ »» ONML HIJK3 q FF FF ,,ONML HIJK4 q,r ONML HIJK5 p,r MM ONML HIJK6 p,r
Figura 5.2: Un modelo: marco y asignación
5.1.2 Fórmulas
Razonamiento local proposicional
Sitúese en cualquiera de estos escenarios. En el 1, por ejemplo, puesto que son ciertas p y r, admitire- mos que debe ser verdadera la proposición (p ∧ r). No se satisface esta conjunción en el 2, donde sólo es verdadera p. Es decir, en cada nodo ’razonaremos’ correctamente por igual, dentro de la lógica de proposiciones; pero los valores de las proposiciones atómica (’los detalles dentro de cada escenario’) varían de nodo en nodo.
Es decir, (de momento) las fórmulas en cada nodo sólo se refieren a él mismo: son mundos cerrados e inconexos. Ahora bien, supongamos que una decisión de nuestro ciberprotagonista en un escenario dependa de su conocimiento del estado de otros. Veamos cómo se formalizan este tipo de expresiones.
Razonamiento local modal
La inspección de otros escenarios se simboliza mediante el uso de operadores modales: 3p, 3(q ∧ r), (3q) ∧ (3r) son ejemplos de fórmulas que incluyen un operador modal 3.
Como se parte del lenguaje proposicional, es preciso aumentar su sintaxis con reglas que delimiten dónde puede insertarse este nuevo símbolo.
La interpretación de 3p se produce localmente, en cada nodo, previa inspección de otros nodos determinados. Permítanos explicarlo sobre el ejemplo de la figura (fig.5.2):
• en el escenario 3, 3p es verdadera porque ’existe al menos un nodo relacionado (el 2) donde p es verdadera’;
• sin embargo, en el escenario 2, 3p no es verdadera porque no es cierto que exista algún nodo relacionado con 2 donde es verdadera p (observe que 2 no está relacionado consigo mismo). Observe cómo una misma fórmula (p.ej. 3p) es verdadera en un nodo y falsa en otros: dependerá de dos factores. Primero, de los escenarios que sean visibles (estén relacionados) desde el nodo donde se evalúa la fórmula. Segundo, del estado de esos escenarios (del valor de las variables proposiciona- les).
5.1.3 Modelos adecuados
Lecturas de los operadores modales
Un operador como 3 permite representar situaciones, sistemas o conceptos diversos. Uno de ellos es el concepto de posibilidad: una proposición como, por ejemplo, (p ∧ q) es posible en el mundo w si 3(p ∧ q) es verdadera en w, es decir, si en algún mundo accesible desde w se verifica (p ∧ q)
Es decir, “nuestro ’héroe virtual’ considera, en un nodo, que es posible reunir la llave y el cofre si es capaz de ver un escenario accesible desde el mismo donde están ambos”.
Sólo una ligera objeción: con la semántica propuesta para 3, la proposición p puede ser verdadera en el escenario actual sin que lo sea 3p. Es decir, puede ser localmente verdadero algo sin que se acepte que ’es posible ese algo’. Formalmente, basta considerar un escenario que no se relaciona consigo mismo.
El problema planteado se soluciona admitiendo que, efectivamente, 3 representa adecuadamente el concepto de posibilidad pero sólo en marcos reflexivos. Otras aplicaciones del operador 3, como representante formal de otros conceptos, pueden requerir nuevas restricciones sobre los marcos.
Caracterización modal de relaciones
Se acaba de considerar que la lectura de 3 como ’posibilidad’ sólo es adecuada sobre marcos reflexi- vos.
Por otro lado, independientemente de que lo que represente (de su lectura), 3 tiene una propiedad formal contrastable: la fórmula p → (3p) es verdadera en un mundo si y sólo si está relacionado consigo mismo. Es decir, esta fórmula es verdadera en todo mundo de un marco si y sólo si éste es reflexivo.
Así, si se diseña una teoría modal de la posibilidad, ya no es necesario adjuntar la advertencia, externa e informal, ’utilícese sólo sobre marcos reflexivos’. Basta añadir la fórmula p → (3p) como uno de los axiomas de la teoría. Se produce el mismo efecto de restricción sobre los marcos adecuados, de forma local, interna y expresada en el mismo lenguaje modal.
Se pueden caracterizar otras muchas propiedades de las relaciones mediante fórmulas modales. De ello se ocupa la Teoría de la Correspondencia.