Capítulo 21. Teoría estadística de la decisión
4.2. La probabilidad y sus postulados
Frecuencia relativa Probabilidad subjetiva Probabilidad condicionada Independencia estadı´stica 4.4. Probabilidades bivariantes Ventaja (odds) Cociente de «sobreparticipación» 4.5. El teorema de Bayes
Introducción
En este capítulo desarrollamos modelos de probabilidad que pueden utilizarse para estu- diar problemas empresariales y económicos cuyos futuros resultados se desconocen.
Consideremos el problema al que se enfrenta Jorge Sánchez, presidente de Desarrollo de Sistemas Avanzados, S.A. (DSA). La empresa ha presentado cinco propuestas de proyectos distintos para el próximo año. Jorge sabe que la empresa tendrá que realizar hasta cinco proyectos el próximo año. Actualmente, el personal de la empresa puede rea- lizar hasta dos y se podría contratar personal para realizar un tercer proyecto. Pero si se adjudican cuatro o cinco proyectos a DSA, tendrá que subcontratar o ampliar significativa- mente la plantilla. En este capítulo desarrollamos conceptos de probabilidad que puede utilizar Jorge para hallar la ocurrencia probable de los sucesos posibles: la adjudicación de 0, 1, 2, 3, 4 o 5 proyectos. La probabilidad de que ocurra cada suceso es un número com- prendido entre 0 y 1, de tal manera que las probabilidades de los seis sucesos suman exactamente 1,0. Cuanto mayor es la probabilidad de que ocurra un suceso, más proba- ble es que ocurra, en comparación con los demás. Si la probabilidad de que se adjudiquen exactamente dos contratos es de 0,80, Jorge estará más seguro de que se producirá ese suceso en comparación con el caso en el que la probabilidad es de 0,20. Pero, en cual- quiera de los dos casos, Jorge no puede estar seguro de que ocurrirá el suceso.
Un hospital sabe por experiencia que los sábados por la tarde se registra una media de 1,0 ingresos por hora en la sala de urgencias. La sala de urgencias tiene tres salas de cuidados intensivos. Si se mantiene esta pauta en el futuro, al hospital le gustaría saber cuál es la probabilidad de que sean ingresadas más de tres personas en la sala de urgen- cias en cualquier hora. Si la probabilidad de que ocurra ese suceso es alta, el hospital necesitará abrir más salas de cuidados intensivos para satisfacer la demanda de los pacien- tes. Pero si la probabilidad de que haya más de tres ingresos es baja, las caras instalacio- nes de cuidados intensivos estarán vacías la mayor parte del tiempo, por lo que sería me- jor utilizar los recursos para otros fines médicos. Las probabilidades de que ocurran estos sucesos son, pues, muy importantes para decidir el número de salas que deben crearse.
Mostraremos cómo se utilizan modelos de probabilidad para estudiar la variación de los datos observados de manera que puedan hacerse inferencias sobre el proceso subya- cente. Nuestro objetivo, tanto en este capítulo como en los dos siguientes, es comprender las probabilidades y cómo pueden hallarse.
4.1. Experimento aleatorio, resultados, sucesos
Para el directivo, la probabilidad de que ocurra un suceso en el futuro presenta un nivel de conocimiento. El directivo podría saber con certeza que el suceso ocurrirá; por ejemplo, habrá un contrato legal. O podría no saber si ocurrirá; por ejemplo, el suceso podría ocurrir o no como parte de una nueva oportunidad empresarial. En la mayoría de las situaciones empresariales, no podemos estar seguros de que ocurrirá un suceso en el futuro, pero si se conoce la probabilidad de que ocurra, tenemos más probabilidades de tomar la mejor deci- sión posible, en comparación con la situación en la que no conocemos la ocurrencia pro- bable del suceso. Las decisiones y las políticas empresariales a menudo se basan en un conjunto implícito o supuesto de probabilidades.
Para hacer afirmaciones sobre las probabilidades en un entorno incierto, necesitamos desarrollar definiciones y conceptos, como espacio muestral, resultados y sucesos. Éstos son los elementos básicos para definir y calcular probabilidades.
Para nuestro estudio de la probabilidad examinaremos procesos que pueden tener dos resultados o más y existe incertidumbre sobre el resultado que se obtendrá.
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es un proceso que tiene dos o más resultados posibles y existe in- certidumbre sobre el resultado que se obtendrá.
Ejemplos de experimentos aleatorios:
1. Se lanza una moneda al aire y el resultado puede ser cara o cruz.
2. En el ejemplo de DSA, la empresa tiene la posibilidad de que le adjudiquen entre 0
y 5 contratos.
3. En una hora se ingresa en la sala de urgencias de un hospital un cierto número de
personas.
4. Un cliente entra en una tienda y compra una camisa o no la compra. 5. Se observa la evolución diaria de un índice bursátil.
6. Se selecciona una caja de cereales de una cadena de empaquetado y se pesa para
averiguar si el peso es superior o inferior al que viene indicado en la caja.
7. Se lanza al aire un dado de seis lados.
En cada uno de los experimentos aleatorios citados podemos especificar los resultados posibles, que denominamos resultados básicos. Por ejemplo, un cliente compra o no una camisa.
Espacio muestral
Los resultados posibles de un experimento aleatorio se llaman resultados básicos y el con- junto de todos los resultados básicos se llama espacio muestral y se representa por medio del símbolo S.
Los resultados básicos deben definirse de tal forma que no puedan ocurrir simultánea- mente dos resultados. Además, el experimento aleatorio debe llevar necesariamente a la ocurrencia de uno de los resultados básicos.
E
JEMPLO4.1.
Lanzamiento de un dado al aire (espacio muestral)¿Cuál es el espacio muestral del lanzamiento al aire de un dado de seis caras?
Solución
Los resultados básicos son los seis números posibles y el espacio muestral es
S % [1, 2, 3, 4, 5, 6]
El espacio muestral contiene seis resultados básicos. No pueden ocurrir dos resultados simultáneamente y debe ocurrir uno de los seis.
E
JEMPLO4.2.
Resultados de una inversión (espacio muestral)Un inversor sigue el índice bursátil Dow-Jones. ¿Cuáles son los resultados básicos posi- bles al cierre de la sesión?
Solución
El espacio muestral de este experimento es
S % [{1. El índice será más alto que al cierre de ayer},
{2. El índice no será más alto que al cierre de ayer}]
Debe ocurrir uno de estos dos resultados. No pueden ocurrir simultáneamente. Por lo tanto, los dos resultados constituyen un espacio muestral.
En muchos casos, nos interesa un subconjunto de los resultados básicos y no los resul- tados por separado. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de un dado al aire, podría interesarnos saber si el resultado es par, es decir, 2, 4 o 6.
Suceso
Un suceso, E, es cualquier subconjunto de resultados básicos del espacio muestral. Un suce- so ocurre si el experimento aleatorio genera uno de los resultados básicos que lo constituyen. El suceso nulo representa la ausencia de un resultado básico y se representa por medio deY.
En algunas aplicaciones, nos interesa la ocurrencia simultánea de dos o más sucesos. Por ejemplo, si se lanza un dado al aire, dos sucesos que podrían considerarse son «el nú- mero resultante es par» y «el número resultante es como mínimo un 4». Una posibilidad es que ocurran todos los sucesos de interés. Ocurrirán si el resultado básico del experimento aleatorio pertenece a todos estos sucesos. El conjunto de resultados básicos que pertenecen a todos los sucesos de un grupo de sucesos se denomina intersección de estos sucesos. La intersección de los sucesos «el número resultante es par» y «el número resultante es como mínimo un 4» sería que las caras del dado sean iguales a 4 o a 6.
Intersección de sucesos
Sean A y B dos sucesos contenidos en el espacio muestral S. Su intersección, representada por A ç B, es el conjunto de todos los resultados básicos en S que pertenecen tanto a A como a B. Por lo tanto, la intersección A ç B ocurre si y sólo si ocurren tanto A como B. Utilizaremos la expresión probabilidad conjunta de A y B para representar la probabilidad de la intersec- ción de A y B.
En términos más generales, dados K sucesos E1, E2, ..., EK, su intersección,
E1çE2çñ çEKes el conjunto de todos los resultados básicos que pertenecen a todos los Ei (i % 1, 2, ..., K).
Es posible que la intersección de dos sucesos sea el conjunto vacío.
Mutuamente excluyentes
Si los sucesos A y B no tienen ningún resultado básico común, se llaman mutuamente ex-
cluyentes y se dice que su intersección, A ç B, es el conjunto vacío que indica que A ç B no
puede ocurrir.
En términos más generales, se dice que los K sucesos E1, E2, ..., EKson mutuamente ex-
cluyentes si todo par (Ei, Ej) es un par de sucesos mutuamente excluyentes.
La Figura 4.1 ilustra las intersecciones utilizando un diagrama de Venn. En la parte (a) de la figura, el rectángulo S representa el espacio muestral y los dos círculos representan los sucesos A y B. Los resultados básicos pertenecientes a A están dentro del círculo A y los resultados básicos pertenecientes a B están en el círculo B correspondiente. La intersec- ción de A y B, A ç B, se indica por medio del área sombreada en la que se cortan los círcu- los. Vemos que un resultado básico pertenece a A ç B si y sólo si pertenece tanto a A como a B. Así, por ejemplo, cuando se lanza un dado al aire, los resultados 4 y 6 pertenecen am- bos a los dos sucesos «sale un número par» y «sale como mínimo un 4». En la Figu- ra 4.1(b), los círculos no se cortan, lo que indica que los sucesos A y B son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, si se audita un conjunto de cuentas, los sucesos «menos del 5 por ciento contiene errores importantes» y «más del 10 por ciento contiene errores impor- tantes» son mutuamente excluyentes.
Cuando consideramos conjuntamente varios sucesos, otra posibilidad interesante es que ocurra al menos uno de ellos. Eso sucederá si el resultado básico del experimento aleatorio pertenece al menos a uno de los sucesos. El conjunto de resultados básicos pertenecientes al menos a uno de los sucesos se llama unión. Por ejemplo, cuando se lanza un dado al aire, los resultados básicos 2, 4, 5 y 6 pertenecen todos ellos al menos a uno de los sucesos «sale un número par» o «sale un número impar».
Figura 4.1. Diagramas de Venn de la intersección de los sucesos A y B: (a) a ç B es el área sombreada; (b) A y B son mutuamente excluyentes. A S B A S B A B ) b ( ) a (
Unión
Sean A y B dos sucesos contenidos en el espacio muestral, S. Su unión, representada por
A é B, es el conjunto de todos los resultados básicos contenidos en S que pertenecen al me-
nos a uno de estos dos sucesos. Por lo tanto, la unión A é B ocurre si y sólo si ocurre A o B o ambos.
En términos más generales, dados K sucesos E1, E2, ..., EK, su unión, E1éE2ñ éEK, es el
conjunto de todos los resultados básicos pertenecientes al menos a uno de estos K sucesos.
El diagrama de Venn de la Figura 4.2 muestra la unión; se observa claramente que un re- sultado básico estará en A é B si y sólo si está en A o en B o en ambos.
Si la unión de varios sucesos cubre todo el espacio muestral, S, decimos que estos su- cesos son colectivamente exhaustivos. Dado que todos los resultados básicos están en S, se deduce que todo resultado del experimento aleatorio estará al menos en uno de estos suce- sos. Por ejemplo, si se lanza un dado al aire, los sucesos «el resultado es como mínimo un 3» y «el resultado es como máximo un 5» son colectivamente exhaustivos.
Colectivamente exhaustivo
Dados K sucesos E1, E2, ..., EKcontenidos en el espacio muestral, S, si E1éE2, é ñ é EK%S, se dice que estos K sucesos son colectivamente exhaustivos.
Figura 4.2. Diagrama de Venn de la unión de los sucesos A y B.
Figura 4.3. Diagrama de Venn del complementario del suceso A.
Podemos ver que el conjunto de todos los resultados básicos contenidos en un espacio muestral es tanto mutuamente excluyente como colectivamente exhaustivo. Ya hemos se- ñalado que estos resultados son tales que debe ocurrir uno, pero no puede ocurrir simultá- neamente más de uno.
A continuación, sea A un suceso. Supongamos que nos interesan todos los resultados básicos no incluidos en A.
Complementario
Sea A un suceso contenido en el espacio muestral, S. El conjunto de resultados básicos de un experimento aleatorio perteneciente a S pero no a A se llama complementario de A y se re- presenta por medio de A1.
Es evidente que los sucesos A y A1 son mutuamente excluyentes, es decir, ningún resul- tado básico puede pertenecer a ambos, y colectivamente exhaustivos, es decir, todos los re- sultados básicos deben pertenecer a uno o al otro. La Figura 4.3 muestra el complementa- rio de A utilizando un diagrama de Venn.
Ya hemos definido tres conceptos importantes —la intersección, la unión y el comple- mentario— que serán importantes en nuestro desarrollo de la probabilidad. Los siguientes ejemplos ayudan a ilustrar estos conceptos.
E
JEMPLO4.3.
El lanzamiento de un dado al aire (uniones, intersecciones y complementarios)Se lanza un dado al aire. Sea A el suceso «el número resultante es par» y B el suceso «el número resultante es como mínimo un 4». En ese caso,
A % [2, 4, 6] y B % [4, 5, 6]
Halle el complementario de cada suceso, la intersección y la unión de A y B y la inter- sección de A1 y B.
Solución
Los complementarios de estos sucesos son, respectivamente,
A1 % [1, 3, 5] y B1 % [1, 2, 3]
La intersección de A y B es el suceso «el número resultante es par y como mínimo un 4», por lo que
A ç B % [4, 6]
La unión de A y B es el suceso «el número resultante es par o como mínimo un 4 o ambas cosas a la vez» y, por lo tanto,
A é B % [2, 4, 5, 6]
Obsérvese también que los sucesos A y A1 son mutuamente excluyentes, ya que su inter- sección es el conjunto vacío, y colectivamente exhaustivos, ya que su unión es el espa- cio muestral S; es decir,
A é A1 % [1, 2, 3, 4, 5, 6] % S
Puede decirse lo mismo de los sucesos B y B1.
Consideremos otra intersección de los sucesos A1 y B. Dado que el único resultado que es «no par» y «como mínimo un 4» es 5, se deduce que A1 ç B % [5].
E
JEMPLO4.4.
Índice bursátil Dow-Jones (uniones, intersecciones y complementarios)Éstos son cuatro resultados básicos del índice bursátil en 2 días consecutivos:
O1: El índice sube los dos días.
O2: El índice sube el primer día, pero no sube el segundo.
O3: El índice no sube el primer día, pero sube el segundo.
O4: el índice no sube ninguno de los dos días.
Es evidente que debe ocurrir uno de estos resultados, pero no puede ocurrir más de uno al mismo tiempo. Por lo tanto, podemos representar el espacio muestral de la forma siguiente: S % [O1, O2, O3, O4]. Consideraremos ahora estos dos sucesos:
A: El índice sube el primer día. B: El índice sube el segundo día.
Halle la intersección, la unión y el complementario de A y B.
Solución
Vemos que A ocurre si ocurre O1u O2y, por lo tanto,
A % [O1, O2] y B % [O1, O3]
La intersección de A y B es el suceso «el índice sube el primer día y sube el segundo». Éste es el conjunto de todos los resultados básicos pertenecientes tanto a A como a B,
A ç B % [O1].
La unión de A y B es el suceso «el índice sube como mínimo uno de los días». Éste es el conjunto de todos los resultados pertenecientes a A o a B o a ambos. Por lo tanto,
A é B % [O1, O2, O3]
Por último, el complementario de A es el suceso «el índice no sube el primer día». Éste es el conjunto de todos los resultados básicos contenidos en el espacio muestral, S, que no pertenecen a A. Por lo tanto,
A1 % [O3, O4] y, asimismo, B1 % [O2, O4]
La Figura 4.4 muestra la intersección de los sucesos A1 y B. Esta intersección contiene todos los resultados que pertenecen tanto a A1 como a B. Claramente, A1 ç B % [O3].
A S
B
A B
Figura 4.4. Diagrama de Venn de la intersección de A1 y B.
Los diagramas de Venn de las Figuras 4.5, 4.6 y 4.7 muestran tres resultados que implican uniones e intersecciones de sucesos.
Reultado 1
Sean A y B dos sucesos. Los sucesos A ç B y A1 ç B son mutuamente excluyentes y su unión es B, como muestra el diagrama de Venn de la Figura 4.5. Claramente,
(A ç B) é (A1 ç B) % B (4.1)
A B
A B A B
S
Resultado 2
Sean A y B dos sucesos. Los sucesos A y A1 ç B son mutuamente excluyentes y su unión es
A ç B, como muestra el diagrama de Venn de la Figura 4.6. Es decir,
A é (A1 ç B) % A é B (4.2)
A S
B
A A B
Figura 4.6. Diagrama de Venn del resultado 2: A é (A1 ç B) % A é B.
Resultado 3
Sean E1, E2, ..., EKK sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y A al-
gún otro suceso. Entonces, los K sucesos E1çA, E2çA, ..., EKçA son mutuamente ex- cluyentes y su unión es A. Es decir,
(E1çA) é (E2çA) é ñ é (EKçA) % A (4.3) Podemos comprender mejor la tercera afirmación examinando el diagrama de Venn de la Figura 4.7. El rectángulo grande representa todo el espacio muestral y está dividido en rectángulos más pequeños que representan K sucesos mutuamente excluyentes y colectiva- mente exhaustivos, E1, E2, ..., EK. El suceso A está representado por la primera fila. Vemos que los sucesos formados por la intersección de A con cada uno de los E sucesos son, de hecho, excluyentes y que su unión es simplemente el suceso A. Por lo tanto, tenemos que
(E1çA) é (E2çA) é ñ é (EKçA) % A Figura 4.7.
Diagrama de Venn del resultado 3:
(E1çA) é (E2çA) é éñ é (EKçA) % A.
A E
E1∩A E2∩A E3∩A E4∩A E5∩A EK∩A
1 ………
………
E2 E3 E4 E5 EK
A
E
JEMPLO4.5.
Lanzamiento de un dado al aire (resultados 1 y 2)Considere el experimento del lanzamiento de un dado al aire del ejemplo 4.3, donde
A % [2, 4, 6] y B % [4, 5, 6]. Demuestre lo siguiente: a) (A ç B) é (A1 ç B) % B b) A é (A1 ç B) % A é B Solución Sabemos que A1 % [1, 3, 5]
Se deduce que
A ç B % [4, 6] y A1 ç B % [5]
Entonces, A ç B y A1 ç B son mutuamente excluyentes y su unión es B % [4, 5, 6]; es decir,
(A ç B) é (A1 ç B) % [4, 5, 6] % B (resultado 1)
También, A y A1 ç B son mutuamente excluyentes y su unión es
A é (A1 ç B) % [2, 4, 5, 6] % A é B (resultado 2)
E
JEMPLO4.6.
Lanzamiento de un dado al aire (resultado 3)Considere el experimento del lanzamiento de un dado al aire en el que los sucesos A,
E1, E2y E3vienen dados por
A % [2, 4, 6] E1%[1, 2] E2%[3, 4] E3%[5, 6]
Demuestre que E1çA, E2çA y E3çA son mutuamente excluyentes y que su unión es A.
Solución
En primer lugar, observamos que E1, E2y E3son mutuamente excluyentes y colectiva- mente exhaustivos. Entonces,
E1çA % [2] E2çA % [4] E3çA % [6] Claramente, estos tres sucesos son mutuamente excluyentes y su unión es
(E1çA) é (E2çA) é (E3çA) % [2, 4, 6] % A
EJERCICIOS Ejercicios básicos
Para los ejercicios 4.1-4.4 utilice el espacio muestral S definido de la forma siguiente:
S % [E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10] 4.1. Dado A % [E1, E3, E6, E9], defina A1.
4.2. Dados A % [E1, E3, E7, E9] y B % [E2, E3, E8, E9], a) ¿Cuál es la intersección de A y B?
b) ¿Cuál es la unión de A y B?
c) ¿Es la unión de A y B colectivamente exhaus- tiva?
4.3. Dados A1 % [E1, E3, E7, E9] y B1 % [E2, E3, E8, E9], a) ¿Cuál es la intersección de A y B?
b) ¿Cuál es la unión de A y B?
c) ¿Es la unión de A y B colectivamente exhaus- tiva?
4.4. Dados A % [E3, E5, E6, E10] y B % [E3, E4, E6, E9], a) ¿Cuál es la intersección de A y B?
b) ¿Cuál es la unión de A y B?
c) ¿Es la unión de A y B colectivamente exhaus- tiva?
Ejercicios aplicados
4.5. Una empresa adquiere una nueva máquina que de- be instalarse y probarse antes de que esté lista pa- ra su uso. La empresa está segura de que no tarda- rá más de 7 días en instalarla y probarla. Sea A el suceso «se necesitarán más de 4 días para que la máquina esté lista» y B el suceso «se necesitarán menos de 6 días para que la máquina esté lista». a) Describa el suceso que es complementario del
suceso A.
b) Describa el suceso que es la intersección de los sucesos A y B.
c) Describa el suceso que es la unión de los suce- sos A y B.
d) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyen- tes?
e) ¿Son los sucesos A y B colectivamente exhaus- tivos?
f) Demuestre que (A ç B) é (A1 ç B) % B. g) Demuestre que A é (A1 ç B) % A é B.
4.6. Considere el ejemplo 4.4, en el que éstos son cua- tro resultados básicos del índice bursátil en 2 días consecutivos:
O1: El índice sube los dos días.
O2: El índice sube el primer día, pero no sube el segundo.
O3: El índice no sube el primer día, pero sube el segundo.
O4: El índice no sube ninguno de los dos días. Sean los sucesos A y B los siguientes:
A: El índice sube el primer día. B: El índice sube el segundo día.
a) Demuestre que (A ç B) é (A1 ç B) % B. b) Demuestre que A é (A1 ç B) % A é B.
4.7. Florencio Frentes tiene una pequeña tienda de automóviles usados en la que tiene tres Mercedes (M1, M2, M3) y dos Toyotas (T1, T2). Dos clientes, César y Andrés, entran en la tienda y selecciona cada uno un automóvil. Los clientes no se cono- cen y no hay comunicación entre ellos. Sean A y
B los sucesos siguientes:
A: Los clientes seleccionan como mínimo un
Toyota.
B: Los clientes seleccionan dos automóviles del
mismo modelo.
a) Identifique los pares de automóviles en el espa- cio muestral.
b) Describa el suceso A. c) Describa el suceso B.
d) Describa el complementario de A. e) Demuestre que (A ç B) é (A1 ç B) % B.
f) Demuestre que A é (A1 ç B) % A é B.
4.2. La probabilidad y sus postulados
Estamos ya en condiciones de utilizar el lenguaje y los conceptos desarrollados en el apar- tado anterior para averiguar cómo se halla una probabilidad efectiva de que ocurra un pro- ceso. Supongamos que se realiza un experimento aleatorio y que queremos averiguar la probabilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad se mide en una escala de 0 a 1. Una probabilidad de 0 indica que el suceso no ocurrirá y una probabilidad de 1 indica que el suceso es seguro que ocurra. Ninguno de estos dos extremos es habitual en los problemas aplicados. Por lo tanto, nos interesa asignar probabilidades comprendidas en-