Problemas - Métodos Matemáticos Avanzados para Científicos e Ingenieros. Santos Bravo Yuste, Ue

1.11. Problemas

1.1. Sea {f_n(x)}, con n = 0, 1, 2, · · · una familia de funciones mutuamente ortogonales en el recorrido de 0 a ∞, con funci´on peso e−x. Halla la ecuaci´on diferencial de la forma

xf_n00(x) + g(x)f_n0(x) + λfn(x) = 0

que satisface la funci´on fn(x).

1.2. Sea la ecuaci´on de Sturm-Liouville p(x)y00_+p0_(x)y0_{−q(x)y +λr(x)y = 0 en el intervalo [a, b]}

sujeta a las condiciones de contorno y(a) = y(b), y0_{(a) = y}0_{(b) con p(a) = p(b). Demuestra}

que si las funciones p(x), q(x) y r(x) son definidas positivas, los autovalores λ del operador de Sturm-Liouville son positivos.

1.3. Sea la ecuaci´on diferencial (que podr´ıa no ser una ecuaci´on de Sturm-Liouville)

c2(x)y00(x) + c1(x)y0(x) + c0(x)y(x) = δ(x − x0), a ≤ x ≤ b ,

donde a < x0 < b y ci(x) es una funci´on bien comportada. Demuestra que la soluci´on y(x)

es una funci´on continua y que y0_{(x) es continua excepto en x = x}0_{. En este ´}_{ultimo caso}

halla el valor de la discontinuidad.

1.4. Halla todas las soluciones posibles del problema de Sturm-Liouville singular (lato)

x2y00+ xy0(x) + λy(x) = 0, x ≥ 1, y(1) = 0,

y(x) acotada para x → ∞ .

1.5. Encuentra la funci´on de Green del problema de Sturm-Liouville singular (lato)

xy00+ y0−4 xy = f (x), x ≥ 1, y(1) = 0, l´ım x→∞y(x) = finito. Halla y(x) si f (x) = 1/x.

1.6. Los modos normales de vibraci´on de una cuerda tensa de longitud 2L, densidad ρ, y que tiene una part´ıcula puntual de masa m situada en su punto medio, son las soluciones del siguiente problema de Sturm-Liouville:

y00 = −k2 · 1 +m ρ δ(x) ¸ y, −L ≤ x ≤ L, y(−L) = y(L) = 0 .

donde k2 _{es proporcional a las frecuencias ω de estos modos normales (k}2 _{= ω}2_{ρ/T siendo}

T la tensi´on de la cuerda). Se pide hallar los autovalores y autofunciones de este problema.

Calcula expl´ıcitamente los diez primeros autovalores y sus correspondiente autofunciones cuando L = 1 y (i) m/ρ = 00_{1, (ii) , y m/ρ = 1. Representa gr´aficamente las autofunciones}

obtenidas.

1.7. a) Halla la ecuaci´on transcendente que determina los autovalores λn y obt´en las auto-

funciones ψ_n(x) del problema de Sturm-Liouville definido por la ecuaci´on diferen- cial y00(x) = −λy(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ a con las condiciones de contorno

b) ¿Existe, en general, soluci´on del problema inhomog´eneo

y00+ (π/a)2y = f (x), y(0) + ay0(0) = y(a) − ay0(a) = 0 ? En caso afirmativo, halla la funci´on de Green correspondiente.

1.8. Halla los autovalores y autofunciones del problema de Sturm-Liouville

y00(x) − 2y0(x) + λy(x) = 0, 0 < x < π, y(0) = y(π) = 0.

Expresa la funci´on f (x) = x ex _{como combinaci´on lineal de las autofunciones.}

1.9. Demuestra que

(xy0)0+λ

xy = 0, 1 ≤ x ≤ e

2π_, _y0_{(1) = 0,} _y0_(e2π_{) = 0,}

es un problema de Sturm-Liouville y halla sus autovalores y autofunciones.

1.10. a) Demuestra que y00_{(x) + y}0_{(x) + (1 + λ)y(x) = 0 es una ecuaci´on de Sturm-Liouville} b) Encuentra los autovalores λn y autofunciones ψn(x) del problema de Sturm-Liouville

y00(x) + y0(x) + (1 + λ)y(x) = 0, y(0) = 0, y(1) = 0. c) Encuentra la soluci´on del problema de Sturm-Liouville inhomog´eneo

y00(x) + y0(x) + 1

4y(x) = f (x), y(0) = 0, y(1) = 0. en la forma de desarrollo en serie de las autofunciones ψn(x).

1.11. Sea el problema de Sturm-Liouville

(xy0)0+ λxy = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 , con y(0) = finito e y(1) = 0.

a) Halla los autovalores y las autofunciones correspondientes.

b) Usa los resultados del apartado anterior para obtener la soluci´on, si existe, del problema

no homog´eneo

(xy0)0+ xy = 2x , 0 ≤ x ≤ 1 ,

con y(0) = finito e y(1) = 0. ¿Por qué puedes asegurar que este problema no homogéneo tiene solución?

1.12. Encuentra la funci´on de Green del problema

x2y00+ xy0− 9y = f (x), x ≥ 0, y(0) = finito, l´ım

x→∞y(x) = 0.

Halla la soluci´on si f (x) = x2_.

1.13. Encuentra la funci´on de Green del problema

d dx

e−kxy0(x) i

= f (x), 0 < k < 1, 0 ≤ x, y(0) = 0, y(∞) = finito.

1.11 Problemas 67

1.14. Encuentra la funci´on de Green asociada al problema y00_{− k}2_{y = f (x), k}2 _{> 0, con las}

condiciones de contorno y(±∞) < ∞.

1.15. Obtén en forma cerrada la función de Green para el problema inhomogéneo y00−k2y = f (x),

0 ≤ x < ∞, con las condiciones de contorno y(0) = 0, y(∞) < ∞, si (a) k 6= 0, (b) k = 0. En ambos casos halla y(x) si f (x) = e−x _.

1.16. Halla la funci´on de Green en forma cerrada del problema de Sturm-Liouville no homog´eneo

xy00+ y0= x, 0 ≤ x ≤ 1, y(1) = y0(1), y(0) = finito.

Halla la solución y(x) del problema a partir de esta función de Green. 1.17. Halla la solución de la ecuación diferencial no homogénea

y00+ k2 · 1 +m ρ δ(x) ¸ y = F0, −L ≤ x ≤ L, y(−L) = y(L) = 0,

donde m > 0, ρ > 0 y F0son constantes, expres´andola como combinaci´on lineal de funciones

de un conjunto completo. (Resu´elvase primero el problema 1.6.)

1.18. Sea el problema no homog´eneo y00_{= f (x), 0 ≤ x ≤ L, y(0) = y}0_{(L) = 0.}

a) Encuentra las autofunciones normalizadas del operador d2_/dx2 _{para las condiciones}

de contorno dadas.

b) Escribe la funci´on de Green G(x, x0) mediante desarrollo en serie.

c) Obt´en G(x, x0_{) en forma cerrada.}

d) Encontrar la soluci´on del problema para el caso particular f (x) = x2 _{con L = 1.}

1.19. Sea el problema inhomog´eneo

y00= sen(3x) , 0 ≤ x ≤ π , con las condiciones de contorno y(0) = 0, y(π) = 0.

a) Halla la funci´on Green del problema en forma cerrada.

b) Halla la función de Green como desarrollo de la autofunciones asociadas al problema. c) Usa la función de Green para hallar la solución del problema inhomogéneo.

d) Supón que la ecuación hubiera sido y00_{+4y = sen(3x). ¿Tendr´ıa solución este problema}

inhomogéneo? Halla, si fuera posible, esta solución a partir de la función de Green expresada en forma de autofunciones.

e) Contesta a las mismas preguntas que en el apartado anterior pero para la ecuaci´on y00_{+ 9y = sen(3x).}

1.20. Sea el problema no homog´eneo y00_{+ y = sen x con las condiciones de contorno y(0) =} y0_{(2π) = 0. (a) Halla la funci´on de Green mediante un desarrollo en serie de las autofuncio-}

nes normalizadas correspondientes. (b) Obtén la función de Green en forma cerrada. (c) A partir de ella, resuelve el problema no homogéneo. (d) Halla la solución para las condiciones de contorno no homogéneas y(0) = 2, y0(2π) = 0.

1.21. Sea el problema no homog´eneo

y00− k2y = f (x), 0 ≤ x ≤ L, y(0) = y(L) = 0.

Halla la funci´on de Green (a) como un desarrollo en serie y (b) en forma cerrada. Com- prueba la equivalencia de ambas expresiones.

1.22. a) Resuelve el problema de autovalores y00_{= −λy con las condiciones de contorno y(0) =} y(π) + y0_{(π) = 0.}

b) Encuentra la funci´on de Green de y00= f (x) que satisface las condiciones de contorno anteriores mediante desarrollo en serie y tambi´en en forma cerrada.

1.23. (a) Halla en forma cerrada la funci´on de Green correspondiente a la ecuaci´on

y00+ ω2y = f (x), 0 ≤ x ≤ 2π, ω2 > 0,

con las condiciones de contorno y(0) = y(2π) , y0_{(0) = y}0_{(2π). ¿Para qu´e valores de ω}2_{> 0}

no existe soluci´on del problema? (b) Demuestra que estos valores de ω2 _{son justamente los}

autovalores del problema homogéneo y halla las correspondientes autofunciones. ¿Cuál es su grado de degeneración?

1.24. Sea la ecuaci´on de Sturm-Liouville no homog´enea

y00− m2y = f (x), 0 ≤ x ≤ 1, y(0) + y0(0) = 0, y(1) = 0

donde m2 _{> 0. Se pide hallar la funci´on de Green correspondiente en forma de desarrollo}

en serie de autofunciones.

1.25. Sea la ecuaci´on de Sturm-Liouville no homog´enea

y00− m2y = f (x), 0 ≤ x ≤ 1, y(0) + y0(0) = 0, y0(1) = 0

donde m2 _{> 0. Se pide hallar la funci´on de Green correspondiente en forma de desarrollo}

en serie de autofunciones.

1.26. Sea la ecuaci´on de Sturm-Liouville no homog´enea

y00− m2y = f (x), 0 ≤ x, y(1) = 0, y(∞) < ∞

donde m2_{> 0. Se pide hallar la funci´on de Green correspondiente en forma cerrada.}

1.27. El método de la función de Green puede aplicarse a ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales.37 _{Considérese un oscilador armónico amortiguado gobernado por la}

ecuaci´on

x00+ 2λx0+ ω₀2x = f (t)

m ,

donde λ2 _{< ω}2

0 y sup´ongase que la fuerza externa es cero para t < 0. (a) Desarrolla la funci´on

de Green y escribe la soluci´on x(t) que satisface las condiciones iniciales x(0) = x0_{(0) = 0.}

(b) ¿Cu´al es la soluci´on en el caso sobreamortiguado (λ2_{> ω}2 0)?

1.11 Problemas 69

1.28. Sea el problema de Sturm-Liouville (ecuación de Schrödinger del oscilador armónico):

y00− x2y + λy = 0, y(−∞) = 0, y(∞) = 0 . a) Justifica que u₀(x; α) = (1 + αx2_{) e}−x2

es una función prueba razonable para calcular el autovalor más peque˜no mediante el cociente de Rayleigh. Halla el valor de α que conduce a un cociente de Rayleigh m´ınimo. Compara el resultado as´ı obtenido con el autovalor exacto λ0 = 1 (energ´ıa del punto cero del oscilador lineal cuántico).

b) Justifica que la soluci´on tiende a cero como e−x2/2 para |x| À 1. (Puedes ahorrarte este trabajo si consultas la secci´on 2.6.1).

c) Repite el apartado (a) con la funci´on prueba u0(x; α) = (1 + αx2) e−x

2_/2

d) Justifica que u1(x; α) = x(1 + αx2) e−x

2_/2

es una funci´on prueba que permite estimar

λ1. Halla el valor m´ınimo del cociente de Rayleigh correspondiente y comp´aralo con

el autovalor exacto λ1= 3. Ayuda: para a > 0 Z _∞ 0 x2n e−ax2 dx = (2n − 1)! 2n+1 r π a2n+1, n = 0, 1, 2, . . .

1.29. Sea el problema de Sturm-Liouville y00_{− V (x)y + λy = 0, y(−∞) = 0, y(∞) = 0 .}

a) Para V (x) = x4 _{(ecuación de Schrödinger de un oscilador cuártico) calcula los dos}

primeros autovalores mediante el cociente de Rayleigh usando las funciones prueba

u0(x; α) = (1 + αx2) e−x

, u1(x; α) = x(1 + αx2) e−x

. Compara con los resultados exactos λ0 = 100604, λ1 = 207997.

b) Repite el apartado anterior para el potencial V (x) = |x|. Los resultados exactos son λ0 = 100188, λ1= 203381.

1.30. Sea el problema de Sturm-Liouville 1.6 anterior.

a) Usa el m´etodo del cociente de Rayleigh para hacer una estimaci´on del primer autovalor

y de la primera autofunción mediante aproximación “lineal” de la autofunción ψ0:

u0(x) =

(

x + L, −L ≤ x ≤ 0,

−x + L, 0 ≤ x ≤ L.

b) Usa el m´etodo del cociente de Rayleigh para hacer una estimaci´on del primer autovalor

y de la primera autofunción mediante una aproximación “cuadrática” de ψ0:

u0(x) =

(

x + L + α(x + L)2_, _{−L ≤ x ≤ 0,}

−x + L + α(x − L)2, 0 ≤ x ≤ L.

En este ´ultimo caso hay que hallar el valor ´optimo de α.

c) Prop´on una funci´on prueba que, mediante el cociente de Rayleigh, te permita estimar

el segundo autovalor y la segunda autofunci´on.

d) Compara los resultados aproximados obtenidos en los apartados (a), (b) y (c) con los

resultados exactos (que se deben haber obtenido en el problema 1.6) cuando L = 1 y (i) m/ρ = 00_{1, (ii) m/ρ = 1.}

1.31. Las energ´ıas permitidas y las funciones de ondas correspondientes de un sistema cu´antico formado por una part´ıcula sometida a un potencial pozo cuadrado de ancho 2L y una barrera/pozo de tipo delta de Dirac situada en el medio pueden hallarse resolviendo el siguiente problema de Sturm-Liouville:

y00− aδ(x)y + λy = 0, a = const, −L ≤ x ≤ L, y(−L) = y(L) = 0 .

a) Escribe la ecuaci´on de Schr¨odinger de este sistema y muestra que λ es proporcional a

la energ´ıa.

b) Compara los autovalores y autofunciones que se obtienen cuando a > 0, a = 0,

0 > a > −2/L, a = −2/L y a < −2/L.

c) Calcula expl´ıcitamente los diez primeros autovalores y sus correspondiente autofun-

ciones si L = 1 y (i) a = 00_{1, (ii) a = 0, (iii) a = −0}0_{1, (iv) a = −2, (v) a = −4.} d) Representa gr´aficamente las autofunciones obtenidas.

e) Usa el m´etodo del cociente de Rayleigh para hallar estimaciones de los dos primeros

autovalores y y las dos primeras autofunciones de este problema. Compara con los resultados exactos para L = 1 y (i) a = 1, (ii) a = 0, (iii) a = −00_{1, (iv) a = −2, (v)} a = −4.

Cap´ıtulo 2

Funciones especiales

Special functions are sometimes called higher transcendental functions (higher than what?) or functions of mathematical physics (but they occur in other fields also) or functions that satisfy certain frequently occurring second-order differential equations (but not all special functions do). One might simply call them “useful functions” and let it go at that . . .

W. H. Press et al. [PFT93]

To paraphrase an aphorism attributed to the biochemist Albert Szent-Gy¨orgyi, perhaps special functions provide an economical and shared culture analogous to books: places to keep our knowledge in, so that we can use our heads for better things.

M. Berry, Physics Today, vol. 54, n. 5, p. 11 (2001)

2.1. Introducci´on

Las funciones (quizás mal llamadas) especiales de la F´ısica Matemática no tienen nada de “especial”. En principio son tan “especiales” como las funciones trigonométricas o los logaritmos, aunque por supuesto son menos habituales. Un nombre más adecuado ser´ıa, sin duda, el de funciones útiles. En todo caso, es l´ıcito preguntarse por el motivo de estudiar estas funciones y sus propiedades.1

Es cierto que para la comprensión y buen uso de las matemáticas no se requiere una memoria prodigiosa, pero, sin embargo, s´ı es cierto que apenas podemos avanzar en matemáticas si no conocemos algunos resultados básicos. Entre estos resultados están el conocimiento de las propiedades de ciertas funciones “elementales” como las potencias, las exponenciales, las funciones trigonométricas. . . Sin embargo, en muchas otras ocasiones, para ciertos problemas que aparecen en Ciencia y en Ingenier´ıa, hay otras funciones, habitualmente llamadas funciones “especiales”, que pueden resultar tanto o más útiles que las llamadas funciones “elementales”. En estos casos, conocer las propiedades de estas funciones es clave para entender la propiedades del problema que queremos analizar. Para ilustrar esta idea, supongamos que el comportamiento de cierto sistema

1_{En este punto, es muy adecuado (y divertido) leer las opiniones al respecto de Michael Berry en el art´ıculo}

(por ejemplo, el desplazamiento de cierto engranaje) viene regido por la siguiente expresi´on : y(x) =1 − a x2+a2x4 2 − a3_x6 6 + a4_x8 24 − a5_x10 120 + a6_x12 720 − a7_x14 5040 + a8_x16 40320 − a 9_x18 362880+ a10x20 3628800 − a11x22 39916800 + a12x24 479001600− a13x26 6227020800+ · · · (2.1)

Seguramente, esta expresión nos informa de bien poco acerca del comportamiento de nuestro sistema. Hay muchas preguntas que son dif´ıciles de responder a la vista de la anterior expresión: ¿es oscilante la solución? ¿es creciente o decreciente? ¿de qué forma influye en la solución el valor del parámetro a? Sin embargo, si supiéramos que esa expresión no es más que el desarrollo en serie de potencias de y(x) = exp(−ax2_{), nuestro conocimiento del sistema se torna, en un instante,}

casi total. Sabemos que la solución no es oscilante, sabemos que la solución es muy rápidamente decreciente si a > 0 y muy rápidamente creciente si a < 0. Es evidente que la solución expresada en términos de la función exponencial, y(x) = exp(−ax2_{), es mucho más ´}_{util, es mucho más}

informativa, que la dada por la ecuación (2.1) debido a que conocemos muchas propiedades de la función exponencial. De igual modo, si el comportamiento de un sistema viene descrito por la función y(x) = ∞ X k=0 (−1)k 1 (k!)2 ³ x 2 ´_2k ,

probablemente muchos cient´ıficos tendr´ıan dificultades para saber qu´e pasa con ese sistema. Pero si a esos cient´ıficos les decimos que el comportamiento del sistema viene dado por la funci´on de Bessel de orden cero, y(x) = J0(x), entonces, todo se vuelve claro. Que ingresemos en este

afortunado club de personas que pueden entender las expresiones matem´aticas en las que aparecen funciones especiales como las funciones de Bessel, los polinomios de Legendre o los de Hermite, es uno de los objetivos principales de este cap´ıtulo.

Un gran n´umero de estas funciones especiales son autofunciones de ciertos problemas de Sturm-Liouville. Este ser´a el modo habitual en el que presentaremos estas funciones: como soluciones de un problema de Sturm-Liouville.

Antes de comenzar con el estudio de las distintas funciones especiales, vamos a discutir pro- piedades generales de cierta clase importante de funciones especiales: los polinomios ortogonales.

2.2. Propiedades generales de los polinomios ortogonales

Sea {P_n(x)} una familia de polinomios ortogonales reales (donde n = 0, 1, 2, . . . indica el grado del polinomio) los cuales son solución de un problema de Sturm-Liouville definido sobre el intervalo [a, b] y función peso r(x). Como sabemos por la sección 1.6, una función Q(x) de cuadrado sumable en el intervalo [a, b] con respecto a la función peso r(x), puede expresarse como serie de las autofunciones Pn(x):

Q(x) = ∞ X n=0 cnPn(x) con2 c_n= hPn|Qi kPnk2 = 1 kPnk2 Z _b a dx r(x) P_n(x)Q(x) y kPnk2= hPn|Pni = Z _b a dx r(x) P_n2(x).

2_{Recu´erdese que estamos asumiendo que los polinomios P}

In document Métodos Matemáticos Avanzados para Científicos e Ingenieros. Santos Bravo Yuste, Uex (2006) (página 81-89)