De igual manera que a los segmentos en una l´ınea recta, se les puede asociar la idea de direcci ´on a los ´angulos. Por lo general pode- mos obtener un ´angulo ℄AOB rotando una l´ınea OA hasta llegar a
la posici ´on OB, manteniendo fijo el extremo situado enO, el mismo
´angulo puede ser obtenido rotandoOB hasta llegar aOA.
Cuando la rotaci ´on se hace en el sentido contrario a las manecil- las del reloj, el signo del ´angulo es positivo; mientras que cuando la rotaci ´on es en el sentido de las manecillas del reloj, el ´angulo es nega- tivo. \ AOB = \ BOA
1.8
Problemas
1. ¿Cu ´anto mide el ´angulosi las rectas horizontales son parale-
las?
2. ¿Cu ´anto suman los ´angulos marcados en la siguiente figura?
3. ¿Cu ´anto mide el ´anguloxen la figura?
1.8. PROBLEMAS Geometra
4. ¿Cu ´anto vale cada uno de los ´angulos interiores de un hept ´agono regular?
5. Encontrar una f ´ormula para determinar el valor de cada uno de los ´angulos interiores de un pol´ıgono regular denlados.
Un pol´ıgono regular es aquelque tiene todos sus ladosyangulosinteriores iguales.
6. Los puntosA,B,C,D,E,FyGson los v ´ertices de un hept ´agono
regular, colocados en el sentido de las manecillas del reloj,FEy BC se prolongan hasta cortarse en el puntoP. ¿Cu ´anto vale el
´angulo℄CPE?
7. En un rect ´anguloABCD,MyN son los puntos medios deBCy CD, P es la intersecci ´on deDM yBN. Probar que los ´angulos ℄MAN y℄BPMson iguales.
8. Sea4ABCun tri ´angulo rect ´angulo en donde℄BAC=90 Æ
. Trazar la altura que pasa porA. Probar que la altura divide a4ABCen
dos tri ´angulos semejantes al tri ´angulo original.
9. Demostrar el Teorema de Pit ´agoras utilizando semejanza de tri ´an- gulos.
10. Sea4ABCun tri ´angulo en dondeAC=3yAB =2. Considerar
una semirecta con origen enBque corta aACenD, de tal forma
que los ´angulos℄ABDy ℄ACB son iguales. Encontrar el valor
deAD.
Para todo polgono dos verties distintos son
adyacentes si perteneen a un mismo lado. Y por el ontrario, si no perteneen, les lla- maremos opuestos. Al segmento que une dos verties opuestos de un
11. SeaABCDun cuadrado. Por el v ´erticeAse traza una l´ınea que
intersecta a la extensi ´on del ladoBCenE, al ladoDC enF y a
la diagonalBDenG. SiAG=3yGF =1, encontrar la longitud
deFE.
1.8. PROBLEMAS Geometra
12. Sea4ABCun tri ´angulo rect ´angulo de hipotenusa AC, siM es
el punto medio deAC, demostrar que
AM =MB=MC
13. En la figura, los segmentosAB,A 1 B 1, A 2 B 2, A 3 B 3son paralelos. SiBB 1 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 3 C=AB =2, encontrar el valor de la sumaAB+A 1 B 1 +A 2 B 2 +A 3 B 3.
14. Considerar un tri ´angulo4ABC y D el punto medio deBC. Si
una l´ınea paralela aADcorta aABenP, aACenQy a la l´ınea
paralela aBC, que pasa porA, enM. Probar queMes el punto
medio dePQ.
15. Las bases de un trapecio son a y b. Encontrar la longitud del
segmento que une los puntos medios de las diagonales.
16. Si el ´area del rect ´angulo ABCD es igual a 1y M es el punto
medio del ladoAB, determinar el ´area que tiene el tri ´angulo som-
breado4MCE.
17. Sobre el ladoABde un tri ´angulo4ABCse toma un punto cualquiera P . Luego se tomanW yX entreAyB, tales queAW =WP y PX =XB. Adem ´as se toman Z entreAy C; yY entreC yB;
tales queAZ=ZCyBY =YC. Demostrar queXY =WZ.
18. SeanE,F,KyLpuntos sobre los ladosAB,BC,CDyDAdel
cuadradoABCD, respectivamente. Mostrar que si los segmentos EKyFLson perpendiculares entoncesEK=FL.
1.8. PROBLEMAS Geometra
19. Sea ABCD un paralelogramo en el que L y M son los pun-
tos medios deAB y CD, respectivamente. Demostrar que los
segmentosLCyAM dividen la diagonalBD en tres segmentos
iguales.
20. En el paralelogramoABCD,AP =CRyBQ=DS. Demostrar
quePQR Stambi ´en es un paralelogramo.
21. Dado un paralelogramoABCDyM la intersecci ´on de sus diag-
onales, encontrar una l´ınea que pase porMy divida al paralelo-
gramo en dos piezas con las que se pueda armar un rombo. 22. Dos tri ´angulos is ´osceles se unen como se muestra en la siguiente
figura.
Probar que los puntos medios de los lados del cuadril ´ateroABCD
que se forma, son los v ´ertices de un cuadrado.
23. Considerar un pent ´agono convexo arbitrario, en donde los lados se numeran sucesivamente en el sentido de las manecillas del reloj. Trazar el segmento que une los puntos medios de los lados
1.8. PROBLEMAS Geometra
lados2y 4; y por ´ultimo, trazar el segmento que une los puntos
medios de eso dos segmentos trazados.
Si la longitud del lado 5es de kunidades, encontrar la longitud
del ´ultimo segmento que se traz ´o.
24. Calcular las funciones trigonom ´etricas para un ´angulo inscrito que abraza el segmentoABmenor en longitud que el di ´ametro de un
c´ırculo de radior.
25. Sean4ABCun tri ´angulo yDun punto interior de4ABCtal que ℄DAB = ℄DBC = ℄DCA. Si AD, BD y CD se prolongan
hasta intersectar a una circunferencia que pasa por los v ´ertices del tri ´angulo4ABC enB
0 , C 0 y A 0 respectivamente, demostrar que4ABCy4A 0 B 0 C 0 son semejantes.
26. SeaR el ´area de la regi ´on encerrada por tres semic´ırculos tan-
gentes entre s´ı en sus extremos. Demostrar que R es igual al
´area del c´ırculo que tiene como di ´ametro el segmentoBD, per-
pendicular al di ´ametroCAen el punto de tangenciaD.
27. Considerar la figura, en donde dos c´ırculos con centros enA y B son tangentes entre s´ı y la recta tangente a ambas circunfer-
encias toca a ´estas en los puntos P y Q. Sea O el punto de
intersecci ´on de la tangente exterior y la l´ınea que pasa porAyB.
SiOP =4yAP =3. Determinar el valor dePQ.
28. Si uno de los catetos de un tri ´angulo rect ´angulo es el di ´ametro de un c´ırculo, demostrar que la tangente trazada por el punto en el que el c´ırculo corta la hipotenusa pasa por el punto medio del otro cateto.
1.8. PROBLEMAS Geometra
29. Si A, B y C son puntos en la misma l´ınea y P, Q y R son los
puntos medios deBC,CAyAB respectivamente, demostrar uti-
lizando segmentos dirigidos que el punto medio deCR coincide
Cap´ıtulo 2
Tri ´angulo
2.1
Propiedades de los Tri ´angulos Is ´osceles
Para un tri ´angulo cualquiera, tenemos las siguientes definiciones.Definici ´on 2.1.1
La mediana es el segmento de recta trazado del punto medio de un lado al v ´ertice opuesto.La altura es el segmento de recta perpendicular a un lado o a su prolongaci ´on y va al v ´ertice opuesto.
La bisectrizdeun angulo eslaretaquelodivideen dosangulosiguales
La bisectriz es la recta que sale de un v ´ertice y divide al ´angulo interior en dos partes iguales.
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
La mediatriz de un seg- mentoeslaretaquepasa por el punto medio y es perpendiularadihoseg- mento.
La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a ´el.
Teorema 2.1.1
Si un tri ´angulo tiene dos de sus lados iguales, en- tonces tiene dos ´angulos iguales, los ´angulos opuestos a dichos lados.Deimosqueuntriangulo es is ´osceles si tiene dos desus ladosiguales.
Demostraci ´on. Sea4ABCun tri ´angulo que tiene dos lados iguales, AB=AC.
Demostraremos que℄B=℄C.
SeaMel punto medio del ladoBC, tracemos la medianaMA. Afir-
mamos que4ABM '4ACM. En efecto, tenemos que por hip ´otesis AB = AC y BM = MC por ser M punto medio de BC, adem ´as AM es el lado com ´un para ambos tri ´angulos. Por el criterio de L.L.L., 4ABM '4ACM y por lo tanto tienen congruentes los ´angulos. As´ı ℄B=℄C.
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
1. el segmentoAMes mediana,
2. el segmentoAM es mediatriz puesM es el punto medio deBC
y adem ´as como℄4+℄5=180 Æ
y℄4=℄5entonces℄4=℄5= 90
Æ
,
3. el segmentoAM es la altura, puesto que vimos que℄4=℄5 = 90
Æ
y adem ´asAMtoca al v ´erticeA,
4. el segmentoAMes la bisectriz ya que divide al ´angulo℄Aen dos
´angulos iguales, pues podemos ver que℄A=℄1+℄2y℄1=℄2.
Deimosqueuntriangulo es equil ´atero si todos sus ladosson iguales.
Corolario 2.1.2
Todo tri ´angulo equil ´atero tiene sus ´angulos interi- ores iguales.Ejercicio 2.1.1
Si un tri ´angulo tiene dos de sus ´angulos iguales, en- tonces tiene dos de sus lados iguales, los lados opuestos a dichos ´angulos.Soluci ´on. Consideremos el tri ´angulo4ABC, en donde℄ABC = ℄ACB. Demostraremos queAB = AC. Tracemos la altura desde el
v ´erticeAy llamemosDa su pie en el segmentoBC.
Si dos triangulos seme- jantes tienen razon de proporionalidad igual a uno, ellos son ongru- entes.
De esta manera ℄ADB = 90 Æ
=℄ADC. Despu ´es, por el criterio
A.A. podemos garantizar que los tri ´angulos4ADB y 4ADCson se-
mejantes. Y como tales tri ´angulos comparten el ladoAD, la raz ´on de
semejanza es uno, en otras palabras, los tri ´angulos son congruentes. Se sigue que
AB =AC.
Una consecuencia inmediata de este ejercicio es que un tri ´angulo con todos sus ´angulos interiores iguales es equil ´atero.
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
Teorema 2.1.3
(Teorema de la Bisectriz) La bisectriz de cualquier ´angulo interior de un tri ´angulo determina, en el lado opuesto, dos seg- mentos proporcionales a los respectivos lados que forman el ´angulo considerado.Demostraci ´on. Sea 4ABC un tri ´angulo cualquiera, si la bisectriz
del ´angulo ℄BAC, corta a BC enP, entonces debemos probar que BP PC = AB AC .
Llam ´emosleQa la intersecci ´on de la prolongaci ´on deBAcon una
paralela aAP que pase porC.
ComoPAyCQparalelas, entonces
℄BAP =℄AQC, ℄PAC =℄ACQ.
Y como adem ´as℄BAP =℄PAC, por serADbisectriz del ´angulo ℄BAC, entonces
℄ACQ=℄AQC.
As´ı, por el Ejercicio (2.1.1), AC = AQ y el tri ´angulo 4ACQ es
is ´osceles.
Por otro lado, utilizando el teorema de Tales, comoPAes paralela
aCQ, entonces BP PC = BA AQ .
SustituyendoAQporACdemostramos lo que quer´ıamos.
Teorema 2.1.4
(Teorema Inverso de la Bisectriz) SeaP un puntoperteneciente al ladoBCde un tri ´angulo4ABC. Si los segmentosBP
yPC son proporcionales a los ladosAB yACentoncesAP biseca al
´angulo℄BAC.
Demostraci ´on. SeaQel punto sobre la prolongaci ´on del lado BAtal
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
Por hip ´otesis PC BP = AC BA , y sustituyendoACtenemos PC BP = AQ BA . Por lo que BP BP + PC BP =1+ PC BP =1+ AQ BA = BA BA + AQ BA . En otras palabras BC BP = BQ BA .
As´ı, por el criterio L.A.L., los tri ´angulos4ABP y4QBCson seme-
jantes. Se sigue que℄BAP =℄BQC, luegoAP yQCson paralelos.
De esta forma tenemos que ℄PAC = ℄ACQ y comoAC = AQ
entonces, por el Teorema (2.1.1)
℄ACQ=℄AQC.
Por lo tanto
℄BAP =℄BQC =℄AQC =℄ACQ=℄PAC
que es lo que quer´ıamos demostrar.
Existe un resultado similar al Teorema de la Bisectriz para ´angulos exteriores de un tri ´angulo.
Teorema 2.1.5
Consideremos un tri ´angulo4ABCcomo en la figura,en dondeBP es bisectriz del ´angulo exterior℄ABQ:
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra Entonces PC PA = BC BA :
Demostraci ´on. SeaDenBC, tal queDAes paralelo aPB. Por el
Teorema de Thales PC PA = BC BD :
Por otro lado. ya queDAy PB son paralelos,℄ABP =℄BADy ℄ADB =℄PBQ. Como por hip ´otesis℄ABP =℄PBQ, entonces
℄BAD=℄ADB:
Lo cual implica que4ADB es is ´osceles, de dondeBD =BA. Susti-
tuyendo en la primer relaci ´on, tenemos que
PC PA = BC BA :
El resultado similar al Teorema inverso de la Bisectriz es el sigu- iente.
Teorema 2.1.6
Consideremos un tri ´angulo4ABCcomo en la figura,en dondeP es un punto fuera del segmentoACtal que PC PA = BC BA :
EntoncesBP es la bisectriz del ´angulo exterior℄ABQ:
Demostraci ´on. SeaEun punto enBC tal queBP yAE son par-
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
Por el Teorema de Thales tenemos que PC PA = BC BE BC BE = PC PA = BC BA ;
de donde se sigue inmediatamente que BE = BA. As´ı 4ABE es
is ´osceles, por lo cual℄BAE =℄AEB. Y comoBP y AEson parale-
los, entonces
℄ABP=℄BAE=℄AEB=℄PBQ;
concluyendose el resultado.
Teorema 2.1.7
Si en un tri ´angulo una misma recta hace a la vez dos de las funciones de1. mediatriz, 2. bisectriz, 3. altura, 4. mediana,
relativas a un mismo lado, entonces hace las otras dos funciones y el tri ´angulo es is ´osceles siendo su base dicho lado.
Demostraci ´on. Tenemos seis casos posibles. Caso 1.
Consideremos un tri ´angulo4ABC tal que la rectaADes una que
tiene las funciones de mediatriz y bisectriz.
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
Por serADmediatriz,Des el punto medio deBCyADes perpen-
dicular aBC; adem ´as por serADbisectriz,℄BAD=℄DAC.
De esta manera, tenemos que
1. como AD y BC son perpendiculares yAD toca a A, entonces ADes altura;
2. ya queDes punto medio deBCyADtoca aA, entoncesADes
mediana;
3. por criterio L.A.L.4BDA'4ADC, pues BD=DC,℄BDA = ℄90
Æ
= ℄ADC y AD es com ´un a los dos tri ´angulos. Por lo
tanto ℄B = ℄C y BA = AC. De donde tenemos que 4ABC
es is ´osceles. Caso 2.
Supongamos que la recta AD es mediatriz y altura del tri ´angulo 4ABC.
ComoADes mediatriz de4ABCentoncesDes el punto medio de BC. Por otro ladoADes perpendicular aBC, y como adem ´asADes
altura, tal segmento toca aA.
Por lo tanto
1. Des punto medio deBCyADtoca aA, de dondeDAes medi-
ana;
2. por el criterio L.A.L., comoBD=DC,℄BDA=℄ADC yAD= AD, entonces4ADB '4ADC. Por lo tanto℄BAD=℄DAC,
de dondeADes bisectriz;
3. como 4ADB ' 4ADC entonces BA = AC y ℄B = ℄C. Se
sigue que4ABCes is ´osceles.
Caso 3.
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
Por un lado, comoADes mediatriz entoncesDes el punto medio
deBCy adem ´asADes perpendicular aBC. Por otro lado, al serAD
mediana, tenemos de nuevo que D es el punto medio de BC, pero
adem ´as sabemos queADtoca aA.
De esta manera tenemos lo siguiente
1. comoADes perpendicular aBCyADtoca aAentoncesADes
altura;
2. por el criterio L.A.L.4ABD'4ADC, lo que implica que℄BAD= ℄DAC. LuegoADes bisectriz;
3. como4ABD'4ADCentonces4ABCes is ´osceles.
Caso 4.
Supongamos que la recta AD es altura y mediana del tri ´angulo 4ABC.
Como AD es altura entonces ℄ADB = 90 Æ
= ℄ADC; y por ser ADmediana BD = BC. Observando que AD es lado com ´un a los
tri ´angulos 4ABD y 4ACD, se sigue por el criterio L.A.L., que los
tri ´angulos son congruentes implicando que
1. los tri ´angulos℄BAD=℄CADpor lo queADes bisectriz;
2. comoADes perpendicular aBCyDes su punto medio,ADes
mediatriz;
3. adem ´asBA=AC, de donde4ABCes is ´osceles.
Caso 5.
Supongamos queADes bisectriz y altura del tri ´angulo4ABC.
2.1. PROPIEDADES DE LOS TRI ´ANGULOS IS ´OSCELES Geometra
ComoADes bisectriz de℄BAC, entonces℄BAD=℄CAD. Adem ´as
al ser AD altura, es perpendicular aBC de donde ℄ADB = 90 Æ
= ℄ADC. Por el criterio A.A., los tri ´angulos4ABDy4ACDson seme-
jantes. De tal manera tenemos que 1. como BD CD = AD AD = 1, entonces BD = CD, de donde D es el
punto medio de BC. Lo cual implica que ADes tanto mediana
como mediatriz; 2. como AB AC = AD AD
=1, entoncesAB =AC, por lo que4ABCes
is ´osceles. Caso 6.
Supongamos queADes bisectriz y mediana del tri ´angulo4ABC.
Por el Teorema de la Bisectriz (2.1.3),
AB AC = BD DC :
Y comoADes mediana, entoncesBD = DC. de donde AB =AC.
Por el criterio L.A.L. podemos asegurar que
4BAD4CAD:
Por lo tanto℄BDA=℄CDAy como dichos ´angulos son suplemen-
tarios, entonces
℄BDA=90 Æ
=℄CDA:
Por lo que
1. comoADes perpendicular aBCentoncesADes altura;
2. adem ´as,Des punto medio deBC, por lo queADes mediatriz;
2.2. PUNTOS Y L´INEAS EN LOS TRI ´ANGULOS Geometra