Γ extensiones para Comod ( H )
1. PRODUCTO Γ-CRUZADO
Es posible dotar de estructura de categor´ıa tensorial a este producto Γ-cruzado.
Teorema 1.4. [G, Secci´on 3.3] Sean C una categor´ıa tensorial es- tricta finita y Γ un grupo finito. Considerar Σ una Γ-acci´on externa coherente sobre C, luego C(Σ) es una categor´ıa tensorial con producto tensorial ⊗:C(Σ)× C(Σ) → C(Σ) definido por
[V, a]⊗[W, b] = [V⊗a∗(W)⊗Ua,b, ab] en objetos,
(49)
[f, a]⊗[g, b] = [f⊗a∗(g)⊗idUa,b, ab] en morfismos,
(50)
s´ıa, b∈Γ, con objeto unidad [1C,1], y asociatividad dada por α[V,a][W,b][Z,c]= (idV⊗a∗W⊗σ a,b Z ⊗idUab,c)(idV⊗a∗W⊗a∗b∗Z⊗γa,b,c)◦ (51) (idV⊗a∗W⊗ξ a b∗Z,Ub,c⊗idUa,bc)(idV⊗ξ a W,b∗Z⊗Ub,c⊗idUa,bc).
Adem´as l[V,a]= [rV(lV⊗id1), a] =Id y r[V,a]= [rV(rV⊗id1), a] =Id. Los objetos duales son dados por ([V,1])∗ = [V∗,1] y([1, a])∗ = [Ua,a−1, a−1].
Demostraci´on. Denotar por [V] := [V,1] y [a] := [1, a] s´ıV ∈ C y
a∈Γ. An´alogamente para las funciones. SiA, B, C, D ∈ C(Σ) denotar por P(A, B, C, D) la ecuaci´on
(αA,B,C⊗idD)αA,BC,D(idA⊗αB,C,D) = αAB,C,DαA,B,CD.
Entonces
• P([a][V][W][Z]) se satisface ya que (a∗, ξa) es un funtor monoi- dal,
• P([a][b][W][Z]) se satisface ya que (Ua,bσa,b) es una equivalencia
pseudo-natural (Ecuaci´on (46)),
• P([a][b][c][Z]) se satisface ya que γa,b,c es una modificaci´on in- vertible,
• P([a][b][c][d]) se satisface ya que Γ act´ua sobre C,
• el resto de las ecuaciones se satisfacen usando la definici´on de la asociatividad α y la Ecuaci´on (45).
Los duales est´an bien definidos ya que γa,a−1,a : a∗(Ua−1,a) → Ua,a−1.
Los morfismos de evaluaci´on y coevaluaci´on est´an dados por
ev[V,1] = [evV,1], coev[V,1] = [coevV,1], ev[1,a]= [idUa,a−1⊗((a −1 )∗)−1γa−−11,a,a−1,1], coev[1,a]= [(id⊗(a∗)−1)ξUa a,a−1,Ua,a−1 ,1],
110 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
y satisfacen s´ıX = [V,1]
rX(idX ·evX)αX,X−1 ∗,X(coevX ·idX)lX−1 =rX(idX ·evX)(coevX ·idX)l−X1
= [rV(rV⊗id1)◦idV⊗evV⊗id1⊗1◦coevV⊗idV⊗1 ◦(lV−1⊗id1)r−V1,1]
= [rVidVr−V1,1] = id[V,1],
lX∗(evX ·idX∗)αX∗,X,X∗(idX∗ ·coevX)r−1
X = idX∗.
Las mismas ecuaciones se satisfacen si X = [1, a]. M´as a´un, por la definici´on de la asociatividad en esta categor´ıa se tiene que
[ξV,Wa , a] =α[a],[V],[W], [σa,bV, ab] =α[a],[b],[V], [γa,b,c, abc] =α[a],[b],[c],
(52)
si a, b, c∈Γ, V, W ∈ C.
El siguiente resultado explica cu´ando para dos acciones coherentes externas Σ,Σ0, las categor´ıas tensorialesC(Σ),C(Σ0) son monoidalmen- te equivalentes.
Teorema1.5. [G, Teorema 4.1]SeanΣ,Σ0dosΓ-acciones coheren- tes externas sobre C donde Σ = ((a∗, %a),(Ua,b, σa,b), γa,b,c)a,b,c∈Γ,Σ0 =
((a0, ζa),(U0
a,b, τa,b), γ 0
a,b,c)a,b,c∈Γ. Una equivalencia monoidalF :C(Σ) →
C(Σ0) viene de un dato ((H, ξ), f,(θ
a, βa), χa,b)a,b∈Γ con:
• (H, ξ) :C → C es una equivalencia monoidal;
• f : Γ→Γ es un isomorfismo de grupos;
• sia ∈Γ, el par (θa, βa) :H◦a∗ →f(a)0◦H es un isomorfismo
pseudo-natural tal que (θ1, β1) = (1,id);
• χa,b : H(Ua,b)⊗θab → θa⊗f(a)0(θb)⊗Uf0(a),f(b) es un morfismo invertible en C tal que χa,1 =χ1,a =idθa y
(53) pV(idH(a∗b∗(V))⊗χa,b) = (χa,b⊗idf(ab)0(H(V)))qV, V ∈ C, donde pV = (idθa⊗(idf(a)0(θb)⊗τf(a),f(b) H(V) )(sV⊗idUf0(a),f(b)))◦ (βba∗(V)⊗idf(a)0(θ b)⊗Uf0(a),f(b)), sV =ζ f(a) θb,f(b)0(H(V))◦f(a) 0 (βb)◦(ζHf((ab) ∗(V)),θb) −1, qV = (idH(Ua,b)⊗βVab)(ξUa,b,(ab)∗(V)◦H(σ ab V )◦(ξa∗b∗(V),Uab) −1⊗id θab).
Observaci´on 1.6. 1)χa,b es una modificaci´on invertible de
1. PRODUCTO Γ-CRUZADO 111
2) En [G] el autor define sistemas cruzados en t´erminos de clases de equivalencia de funtores monoidales, salvo isomorfismos monoidales, y clases de equivalencia de isomorfismos pseudo-naturales, bajo modifi- caciones invertibles. El autor lo realiza de este modo, ya que ´el prueba que las clases de equivalencia de productos cruzados que son exten- siones de una categor´ıa tensorial C por el grupo Γ est´an clasificadas por sistemas cruzados. Como nosotros solo estamos interesados en dar ejemplos, nuestra definici´on de sistema cruzado es un representante del sistema cruzado definido en [G].
Demostraci´on. Dado el dato (H, f,(θa, βa), χa,b), definir el funtor
monoidal (F, φ) :C(Σ) → C(Σ0) si V, W ∈ C, a, b ∈Γ como • F([V, a]) := [H(V)⊗θa, f(a)],
• F([t, a]) := [H(t)⊗idθa, f(a)] si t:V →W enC,
• φ[V,a],[W,b] := (idH(V)θa⊗ζ f(a)
H(W),θa⊗idUa,b0 )(idH(V)βWa ⊗idf(a)0(θa)U0
a,b)
◦(ξV,a∗(W)⊗τa,b)(ξV⊗a∗(W),Ua,b⊗idθa,b).
Por un c´alculo directo se tiene queF es monoidal ya queH lo es, y que
φ es monoidal ya que ξ lo es y adem´as (θa, βa) es una transformaci´on
pseudo-natural y χa,b es una modificaci´on.
M´as a´un si (F, φ) :C(Σ)→ C(Σ0) es una equivalencia monoidal que satisface F([V, g]) = [H(V)⊗θg, f(g)], donde (H, ξ) : C → C es una
equivalencia monoidal con ξV,W =φ[V,1],[W,1], θg ∈ C y f : Γ→ Γ es un
isomorfismo de grupos.
Proposici´on 1.7. Definir para a, b∈Γ, V ∈ C
[θa, f(a)] :=F([1, a]), [βVa, f(a)] :=φ[1,a],[V,1], [χa,b, f(ab)] := φ[1,a],[1,b]. Entonces (θa, βa) y χa,b resultan morfismos pseudo-naturales y modifi-
caciones.
Demostraci´on. Veamos que (θa, βa) es una transformaci´on pseudo-
natural: [(idθa⊗ζ f(a) HV,HWf(a) 0 (ξV,W))βVa⊗W, f(a)] =α0F[a],F[V],F[W](idF[a]φ[V],[W])φ[a],[V W] = (φ[a],[V]idF[W])φ[a][V],[W]F(α[a],[V],[W]) = (φ[a∗V],[a]idF[W])φ[a∗V][a],[W]F(α[a∗V],[a],[W]) =α0F[a∗V],F[a],F[W](idF[a∗V]⊗φ[a],[W])φ[a∗V],[a][W] = (idF[a∗V]⊗φ[a],[W])φ[a∗V],[a][W] = (φ[a],[V]idF[W])(idF[a∗V]⊗φ[a],[W])φ[a∗V],[a][W]F(α[a∗V],[a],[W]) = [(βVa⊗idf(a)0HW)(idHa ∗V⊗β a
112 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
El primer igual y el ´ultimo son por definici´on; el segundo, el cuarto y el sexto se deben a queφes monoidal, el tercero a que [a][V] = [a∗V][a]; y el quinto a que esa asociatividad es trivial, donde αes la asociatividad deC(Σ) y α0 la deC(Σ0).
Veamos que χa,b es una modificaci´on:
[pV(idHa∗b∗V⊗χa,b), f(ab)] = [(idθa⊗f(a)0θbτf(a),f(b) HV )(idθaζ f(a) θb,f(b)0HVidU 0 f(a),f(b)) ◦(idθaf(a)0βVbidU0 f(a),f(b))(idθa(ζ f(a) Hb∗V,θb) −1id U0 f(a),f(b)) ◦(βba∗V⊗idf(a)0θb⊗U0 f(a),f(b))(idHa∗b∗V⊗χa,b), f(ab)] =α0(F[a])[θb],[f(b)],F[V]α0(F[a]),[θb],[f(b)](F[V]) ◦(idF[a]φ[b],[V])(α0F[a],F[b∗V],F[b]) −1 ◦(φ[a][b∗V]idF[b])(idF[a∗b∗V]φ[a],[b]) = (α0(F[a]),[θ b],[f(b)]idF[V])α 0 (F[a]),[θb][f(b)],(F[V])(idF[a]α 0 [θb],[f(b)],F[V]) ◦(idF[a]φ[b],[V])(α0F[a],F[b∗V],F[b]) −1(φ [a][b∗V]idF[b])(idF[a∗b∗V]φ[a],[b]) =α0(F[a]),[θb][f(b)],(F[V])(idF[a]φ[b],[V]) ◦(α0F[a],F[b∗V],F[b])−1(φ[a][b∗V]idF[b])(idF[a∗b∗V]φ[a],[b]) = (φ[a],[b]idF[V])φ[a][b],[V]◦F(α[a],[b],[V])◦(φ[a],[b][V])−1 ◦(α0F[a],F[b∗V],F[b])−1(φ[a][b∗V]idF[b])(idF[a∗b∗V]φ[a],[b])
= (φ[a],[b]idF[V])(idF[Ua,b]φ[ab],[V])φ[Ua,b],[ab][V]F(α[a],[b],[V])
◦(φ[a],[b][V])−1(α0F[a],F[b∗V],F[b])
−1(φ
[a][b∗V]idF[b])(idF[a∗b∗V]φ[a],[b])
= (φ[a],[b]idF[V])(idF[Ua,b]φ[ab],[V])φ[Ua,b],[ab][V]F(α[a],[b],[V])
◦F(α[a∗b∗V],[a],[b])
−1
(φ[a∗b∗V,a],[b])
−1
(idF[a∗b∗V]φ[a],[b])
= (φ[a],[b]idF[V])(idF[Ua,b]φ[ab],[V])φ[Ua,b],[ab][V]F(α[a],[b],[V])
◦(φ[a∗b∗V],[Ua,b,ab])
−1
= [(χa,bidf(ab)0HV)(idH(Ua,b)βab
V )(ξUa,b,(ab)∗Vidθab)
◦(H(σa,bV )idθab)((ξa∗b∗V,Ua,b) −1
idθab), f(ab)]
= [(χa,bidf(ab)0HV)qV, f(ab)],
el primer igual es la definici´on dep; el segundo es por definici´on y usan- do el hecho de que α0F[a
∗b∗V],F[a],F[b] = id =α
0
[θb],[f(b)],F[V], F[b∗V]F[b] =
F([b][V]),F[b] = [θb][f(b)]; el tercero es el pent´agono de la asociatividad
α0, el cuarto es debido a q esas asociatividades son triviales; el quinto, octavo y el sexto salen del hecho queφ es monoidal y [a][b] = [Ua,b][ab],
1. PRODUCTO Γ-CRUZADO 113 α[Ua,b],[ab],[V] = id =αF0 [Ua,b],F[ab],F[V] y F[Ua,b]F[ab] =F([a][b]); el s´epti-
mo se sigue de que φ es monoidal y [a]([b][V]) = [a∗b∗V][Ua,b, ab], F[b∗V]F[b] =F([b][V]); y los dos ´ultimos por definici´on.
A continuaci´on se muestra una forma de dado un sistema cruzado construir otro tal que sus respectivas categor´ıas cruzadas sean isomor- fas.
Proposici´on 1.8. Para todo a ∈ Γ, sean (a∗, ξa),(a0, ζa) : C → C equivalencias monoidales y βa : a∗ → a0 una equivalencia natural
monoidal. Si Σ = ((a∗, ξa),(U, σ), γ) es un sistema cruzado de Γ sobre C , entoncesΣ0 = ((a0, ζa),(U, τ), γ0) es un sistema cruzado de Γ sobre
C donde • τVa,b = (idUa,b⊗βVab)σ a,b V ((βba∗V) −1a0(βb V) −1⊗id Ua,b),
• γa,b,c0 = ((βUb,ca )−1⊗idUa,bc)γa,b,c,
Adem´as C(Σ) ' C(Σ0) si Σ es una Γ-acci´on externa coherente.
Demostraci´on. Veamos que en efecto τ es una transformaci´on
pseudo-natural: (idUa,bζV,Wab )τ
a,b
V,W = (idUa,bζV,Wab )(idUa,bβVab⊗W)σ a,b V⊗W
◦((βba∗(V⊗W))−1idUa,b)(a0(βVb⊗W) −1id
Ua,b)
= (idUa,bβVabβWab)(idUa,bξV,Wab )σ a,b V⊗W((β a b∗(V⊗W)) −1id Ua,b) ◦(a0(βVb⊗W)−1idUa,b) = (idUa,bβVab)[(σ a,b V id(ab)0W)(ida ∗b∗V⊗Ua,bβ a,b W)((σ a,b V ) −1id (ab)∗W)] ◦(idUa,bξV,Wab )σ a,b V⊗W((β a b∗(V⊗W)) −1 idUa,b)(a0(βVb⊗W) −1 idUa,b) = (idUa,bβVab)(σ a,b V id(ab)0W)[((βba ∗V) −1 idUa,b⊗(ab)0W)(a0(βVb)−1idUa,b⊗(ab)0W) ◦(ida0b0V⊗Ua,bβab W)(a 0 (βVb)idUa,b⊗(ab)∗W)((β a b∗V)idUa,b⊗(ab)∗W)]
◦((σVa,b)−1id(ab)∗W)(idUa,bξ
ab V,W)σ a,b V⊗W((β a b∗(V⊗W)) −1 idUa,b) ◦(a0(βVb⊗W) −1 idUa,b)
= (τVa,bid(ab)0W)(ida0b0V⊗Ua,bβab
W)[(ida0b0Vσa,b W )(a 0 (βVb)ida∗b∗W⊗Ua,b) ◦(βba∗Vida∗b∗W⊗Ua,b)(ida∗b∗V(σ a,b W) −1
)]((σWa,b)−1id(ab)∗V)(idUa,bξ ab V,W)
◦σVa,b⊗W((βba∗(V⊗W))−1idUa,b)(a0(βVb⊗W) −1id
Ua,b)
= (τVa,bid(ab)0W)(ida0b0V⊗Ua,bβab
W)(ida0b0Vσa,b
W)[(ida0b0V(βa
b∗W)
−1id
114 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H) ◦(ida0b0Va0(βb W) −1id Ua,b)(a0(βVb)a 0 (βWb )idUa,b)(βba∗Vβ a b∗WidUa,b)] ◦(ida∗b∗V(σ a,b W) −1)((σa,b V ) −1id (ab)∗W)(idUa,bξ ab V,W)σ a,b V⊗W ◦((βba∗(V⊗W))−1idUa,b)(a0(βVb⊗W) −1id Ua,b)
= (τVa,bid(ab)0W)(ida0b0V⊗Ua,bβab
W)(ida0b0Vσa,b
W)(ida0b0V(βa
b∗W)
−1id
Ua,b)
◦(ida0b0Va0(βWb )−1idUa,b)[((ζba0V,b0W)idUa,b)(a0(ζV,Wb )idUa,b)
◦(a0(βVb⊗W)idUa,b)(a0(ξbV⊗W) −1id Ua,b)((ζba∗V,b∗W) −1id Ua,b)] ◦(βba∗Vβba∗WidUa,b)(ida∗b∗V(σ a,b W) −1)((σa,b V ) −1id (ab)∗W)(idUa,bξ ab V,W) ◦σVa,b⊗W((βba∗(V⊗W))−1idUa,b)(a0(βVb⊗W) −1id Ua,b)
= (τVa,bid(ab)0W)(ida0b0Vτa,b
W )((ζ a
b0V,b0W)idUa,b)(a0(ζV,Wb )idUa,b)
◦(a0(βVb⊗W)idUa,b)[(βba∗(V⊗W)idUa,b)(a∗(ξ
b V,W) −1 idUa,b) ◦((ξba∗V,b∗W)−1idUa,b)](ida∗b∗V(σ a,b W) −1 )((σVa,b)−1id(ab)∗W) ◦(idUa,bξV,Wab )σ a,b V⊗W((β a b∗(V⊗W)) −1id Ua,b)(a0(βVb⊗W) −1id Ua,b)
= (τVa,bid(ab)0W)(ida0b0Vτa,b
W )((ζ a
b0V,b0W)idUa,b)(a0(ζV,Wb )idUa,b)
◦(a0(βVb⊗W)idUa,b)(βba∗(V⊗W)idUa,b)[(σ
a,b V⊗W) −1 (idUa,b(ξV,Wab ) −1 ) ◦(σVa,bid(ab)∗W)]((σ a,b V ) −1 id(ab)∗W)(idUa,bξ ab V,W)σ a,b V⊗W ◦((βba∗(V⊗W))−1idUa,b)(a0(βVb⊗W) −1id Ua,b)
= (τVa,bid(ab)0W)(ida0b0Vτa,b
W )((ζ a
b0V,b0W)idUa,b)(a0(ζV,Wb )idUa,b).
El primer igual, el quinto y el octavo son definici´on; el segundo se debe a queβ es monoidal, el tercero y el sexto a queσes natural, en el cuarto se compone con unas identidades, el s´eptimo se debe a la naturalidad deζ, el noveno se debe a la naturalidad deβ y ξ, el d´ecimo a queσ es pseudo-natural.
De igual modo se prueba que γ0 es una modificaci´on. Adem´as si Σ es una Γ-acci´on externa coherente, Σ0 tambi´en lo es.
Por el Teorema 1.5, basta definirH := Id,ξH := id,f := id,θ a:=1
y τ = id; obteniendoC(Σ)' C(Σ0).
2. Acciones coherentes externas para Comod(H) Sea H un ´algebra de Hopf de dimensi´on finita. Daremos una des- cripci´on expl´ıcita para acciones coherentes externas sobre la categor´ıa tensorial Comod(H) de H-com´odulos a izquierda de dimensi´on fini- ta en t´erminos de un dato Hopf-algebraico, lo cual es el objetivo de este trabajo. Para la determinaci´on de tales acciones, es necesario el c´alculo del grupo BiGal(H). Tal grupo ha sido ampliamente estudiado
2. ACCIONES COHERENTES EXTERNAS PARA Comod(H) 115
por Schauenburg en [S1], [S2], [S3], [S4]. Recordar que estas acciones dan lugar a productos Γ-cruzados que son extensiones de la categor´ıa Comod(H).
En este caso particular, los funtores tensoriales de la Definici´on 1.1 {(a∗, ξa) : Comod(H)→Comod(H)}a∈Γ
forman un subgrupo del grupo BiGal(H) de clases de isomorfismo de objetos H-biGalois (se sigue de la Observaci´on 1.2(1)). Luego pa- ra la determinaci´on de acciones coherentes se debe calcular el grupo BiGal(H), el cual es conocido para varias ´algebras de Hopf.
En la siguiente Secci´on, se muestran ejemplos concretos de C2-
extensiones, cuandoH es un ´algebra de supergrupo. Dichas categor´ıas resultan ser tensoriales finitas no semisimples.
Sea Γ un grupo finito. Fijemos la siguiente notaci´on. Si a ∈ Γ,
g ∈ G(H) y La es un objeto (H, H)-biGalois , entonces el producto cotensorial LaHkg tiene dimensi´on uno. Sea φ(La, g)∈Γ el elemento
tipo-grupo tal que LaHkg 'kφ(La,g) como H-com´odulos a izquierda. Lema 2.1. [MM, Lema 5.7] De una colecci´on
Υ = (La,(g(a, b), fa,b), γa,b,c)a,b,c∈Γ donde
• para a∈Γ, La es un objeto (H, H)-biGalois;
• g(a, b)∈G(H) es un elemento tipo-grupo y
fa,b : (LaHLb)g(a,b) →Lab
es un isomorfismo de bicom´odulo algebra;
• γa,b,c∈k×,
tal que para todo a, b, c∈Γ:
(54) L1 =H, (g(1, a), f1,a) = (1,idLa) = (g(a,1), fa,1);
(55) φ(La, g(b, c))g(a, bc) =g(a, b)g(ab, c);
(56) γa,1,b =γ1,a,b =γa,b,1 = 1;
(57) (fa,b⊗kidLc)fab,c = (idLa⊗kf
b,c)fa,bc;
existe un sistema cruzado asociadoΥ deΓ sobre Comod(H). M´as a´un, el sistema cruzado Υ es un acci´on coherente externa sobre Comod(H)
si y s´olo s´ıγ es un 3-cociclo, esto es, si a, b, c, d∈Γ (58) γa,b,cγa,bc,dγb,c,d =γab,c,dγa,b,cd.
116 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
Demostraci´on. Si a, b ∈ Γ definir Ua,b = kg(a,b) y el funtor mo-
noidal
a∗ : Comod(H)→Comod(H) a∗ =LaH −.
Definir los isomorfismos pseudo-naturales (kg(a,b), σa,b) : a∗ ◦b∗ → (ab)∗ como aquellos que provienen de isomorfismos de bicom´odulos ´
algebras fa,b : (L
aHLb)g(a,b) → Lab siguiendo la demostraci´on del
Teorema 2.4.
La existencia del isomorfismo γa,b,c : LaHkg(b,c) → kg(a,b)g(ab,c) es
equivalente a
φ(La, g(b, c))g(a, bc) =g(a, b)g(ab, c).
Como ambos espacios vectorialesLaHkg(b,c)⊗kkg(a,bc)ykg(a,b)⊗kkg(ab,c) tiene dimensi´on uno, el morfismo γa,b,c :k→k est´a dado por la multi-
plicaci´on de un escalar γa,b,c∈k×.
La Ecuaci´on (44) es equivalente a (54), (45) es equivalente a (56), y la Ecuaci´on (47) es equivalente a (57). Como fa,b es un morfismo de
´
algebras , entonces la Ecuaci´on (46) se satisface. La Ecuaci´on (58) se
sigue de (48).
Definici´on 2.2. Dada una colecci´on Υ como la del Lema ante-
rior, definir la categor´ıa tensorial Comod(H)(Υ) := Comod(H)(Υ) el producto Γ-cruzado asociado a la acci´on coherente externa Υ.
El siguiente Lema es consecuencia directa del Teorema 1.5 aplicado a C = Comod(H).
Lema 2.3. [MM, Lema 5.9] Si Υ = (La,(g(a, b), fa,b), γa,b,c)a,b,c∈Γ yΥ0 = (L0a,(g0(a, b), za,b), γ0
a,b,c)a,b,c∈Γ son colecciones que satisfacen las condiciones del Lema 2.1 (esto es Υ,Υ0 son Γ-acciones coherentes er-
ternas), entonces toda equivalencia monoidal
F :Comod(H)(Υ)→Comod(H)(Υ0)
proviene de una colecci´on (L, f,(h(a), ha), τ
a,b)a,b∈Γ donde
• L es un objeto (H, H)-biGalois,
• f : Γ→Γ es un isomorfismo de grupos,
• h(a) ∈G(H) es un elemento tipo grupo y ha : (LHLa)h(a) → L0f(a)HL es un isomorfismo de objetos biGalois, con
(h(1), h1) = (1,id),
3.C2-EXTENSIONES DE Comod(H) 117
los cuales satisfacen que
(59) φ(L, g(a, b))h(ab) = h(a)φ(Lf0(a), h(b))g0(f(a), f(b)), (60) hab(idL⊗kf a,b ) = (zf(a),f(b)⊗kidL)(idL0f(a)⊗kh b )(ha⊗kidLb).
Si [V, a]∈Comod(H)(Σ), la equivalencia monoidal tiene la forma
F[V, a] = [(LHV)⊗kkh(a), f(a)].
Demostraci´on. Consideremos el siguiente dato
((T, ξ), f,(θa, βa), τa,b) donde
• T = LH− es el funtor monoidal inducido por el producto
cotensorial con L,
• (θa, βa) es la equivalencia pseudo-natural asociada al isomorfis-
mo de objetos biGalois ha : (L
HLa)h(a)→L0f(a)HL.
Como T(Ua,b)⊗kθab = LHkg(a,b)⊗kkh(ab) ' kφ(L,g(a,b))⊗kkh(ab) '
kφ(L,g(a,b))h(ab) y θa⊗kf(a) 0 (θb)⊗kU 0 f(a),f(b)=kh(a)⊗kL 0 f(a)Hkh(b)⊗kkg0(f(a),f(b)) 'kh(a)⊗kkφ(L0f(a),h(b))⊗kkg0(f(a),f(b)) 'kh(a)φ(L0f(a),h(b))g0(f(a),f(b)),
y consideramos τa,b ∈k× , entonces
φ(L, g(a, b))h(ab) = h(a)φ(L0f(a), h(b))g0(f(a), f(b)).
Esta colecci´on satisface las condiciones del Teorema 1.5: la Ecuaci´on (53) es equivalente a (60). Luego existe una equivalencia monoidal
Comod(H)(Υ)'Comod(H)(Υ0).
3. C2-extensiones de Comod(H)
SeaH un ´algebra de Hopf de dimensi´on finita. Describiremos datos que dan lugar aC2-extensiones de Comod(H) en el caso particular en el
cual los elementos tipo-grupo del ´algebra de HopfH es el grupo c´ıclico de orden 2 generado poru. Los resultados de estas secciones provienen de los trabajos [FMM], [MM].
En las siguientes secciones se calcula la dimensi´on de Frobenius- Perron de estas extensiones y se demuestra que provienen de represen- taciones de ´algebras cuasi-Hopf.
118 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
Asumir que (L, g, f, γ) es una colecci´on donde • L es un objeto (H, H)-biGalois;
• g ∈ G(H) es un elemento tipo-grupo tal que $ : LHkg ' kg
como H-com´odulos a izquierda;
• f : (LHL)g →H es un isomorfismo de bicom´odulos ´algebras,
• γ ∈k×, γ2 = 1.
De acuerdo al Lema 2.1, del dato (L, g, f, γ) obtenemos un sistema cruzado de C2 sobre Comod(H):
TomarLu =L,L1 =H,g(u, u) =g, 1 =g(1, u) =g(u,1) =g(1,1),
fu,u =f, f1,u =fu,1 =f1,1 = id y γ
a,b,c = 1∈k si a, b, c∈C2 excepto
γu,u,u :=γ. Denotar este sistema cruzado por Υ.
La categor´ıa Comod(H)(Υ) como categor´ıa Abeliana es Comod(H)⊕Comod(H).
La estructura monoidal de la categor´ıa Comod(H)(Υ), dada por el Teorema 1.4 se describe expl´ıcitamente as´ı: Si V, W, Z ∈Comod(H) y
b∈C2:
[V,1]⊗[W, b] = [V⊗kW, b],
[V, u]⊗[W,1] = [V⊗k(LHW), u],
[V, u]⊗[W, u] = [V⊗k(LHW)⊗kkg,1],
El objeto unidad es [k,1] y los objetos duales est´an dados por ([V,1])∗ = [V∗,1], ([k,1])∗ = [k,1] y ([k, u])∗ = [kg−1, u].
Finalmente la asociatividad est´a dada por
α[V,u][W,u][Z,u]
=γ(idV⊗kLHW⊗kfHidZ⊗kidkg)(idV⊗kLHW⊗kLHLHZ⊗k$)◦ (idV⊗kLHW⊗kξLHZ,kg)(idV⊗kξW,LHZ⊗kkg),
y las otras son triviales. Ac´a ξ = (ξL)−1 es el morfismo definido en la
Ecuaci´on (19).
3.1. C2-extensiones de Comod(A(V, u, C2)). Daremos ejem-
plos expl´ıcitos de categor´ıas tensoriales que son C2-extensiones de la
categor´ıa tensorial Comod(A(V, u, C2)) con V un espacio vectorial de
dimensi´on dos.
Sea H = A(V, u, C2) un ´algebra super-grupo con V un espacio
vectorial de dimensi´on dos. Usando los resultados de la anterior sec- ci´on, describiremos familias de sistemas cruzados de C2 sobre la cate-
gor´ıa Comod(A(V, u, C2)). Estos sistemas provienen de una colecci´on
3.C2-EXTENSIONES DE Comod(H) 119
Presentamos dos familias que dependen del objeto biGaloisL. Para la primera familia el objeto biGalois L es el presentado en el Ejemplo 2.14 del Cap´ıtulo 3 y para la segunda familia el objeto biGalois L es trivial.
Lema 3.1. [MM, Teorema 6.1] Sean ξ, γ ∈ k, g ∈ C2, y f ∈ Hom(Hg, H) un isomorfismo de com´odulos ´algebras. Asumir γ2 = 1.
1. La colecci´on (ξ, g, f, γ) tiene asociada una C2-acci´on coherente externa sobre
Comod(A(V, u, C2))y se denota por Cξ(g, f, γ) la correspon-
diente categor´ıa tensorial producto C2-cruzado.
2. La colecci´on (g, f, γ) tiene asociada una C2-acci´on coherente externa sobre
Comod(A(V, u, C2)) y se denota por D(g, f, γ)la correspon- diente categor´ıa tensorial producto C2-cruzado.
Demostraci´on. (1). Sea L = Uξ el objeto (H, H)-biGalois defi-
nido en el Ejemplo 2.14. Se sigue del Lema 2.16 queUξHkg 'kg.
(2). Siguiendo la misma idea, tomar L = H. Entonces HHkg '
kg.
Queremos ser m´as expl´ıcitos en la determinaci´on del isomorfismo de com´odulos ´algebras f : Hg → H que aparece en el Lema 3.1. Sea
(ξ, g, f, γ) una colecci´on como en el Lema 3.1. Existen dos opciones: • Sig = 1, entonces f :H →H. Sea
δ:H → L(diag(V),0, diag(C2),1)
el isomorfismo can´onico h 7→ (h, h) y definir f := δ◦f ◦δ−1. Por la Proposici´on 2.12
f :L(diag(V),0, diag(C2),1)→ L(diag(V),0, diag(C2),1),
satisface que f(x, y) = (x, y) si (x, y) ∈ diag(V) lo cual implica que f(x) =x si x∈V. M´as a´unf(e1,1) =χ1e1,1 =e1,1
y f(eu,u) = χueu,u =eu,u. Luego f = idH.
• Si g = u, entonces f : Hu → H. Por (la demostraci´on de la) Proposici´on 2.12 (1)
f :L(diag(V)u,0, diag(C2),1)→ L(diag(V),0, diag(C2),1),
satisface quef(x, y) = (x,−y) si
(x, y)∈diag(V)u ={(u·v, v)|v ∈V}
lo cual implica que f(x) = u· x = −x si x ∈ V. M´as a´un
120 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
Denotar porι:Hu →Heste ´unico isomorfismo de bicom´odulos algebras.
Con esta determinaci´on def, obtenemos cuatro familias de produc- tosC2-cruzados
(61) Cξ(1,id, γ),Cξ(u, ι, γ),D(1,id, γ),D(u, ι, γ),
parametrizadas porξ, γ ∈ktal queγ2 = 1. Algunas de estas categor´ıas
tensoriales son equivalentes. Usaremos el Lema 2.3 para distinguirlas entre ellas.
Teorema 3.2. [MM, Teorema 6.2] Sean ξ, ξ0, γ, γ0 ∈ k con γ2 =
1 = (γ0)2. como categor´ıas tensoriales
Cξ(1,id, γ)Cξ0(u, ι, γ0), Cξ(1,id, γ)=∼C0(1,id, γ0), Cξ(u, ι, γ)∼=C0(u, ι, γ0), D(1,id, γ)D(u, ι, γ0), D(1,id, γ)C0(1,id, γ0), D(u, ι, γ)C0(u, ι, γ0).
Demostraci´on. ) Usando el Lema 2.3, existe una equivalencia
tensorial Cξ(g, f, γ)' Cξ0(g0, f0, γ0) si existen
• L=L(T,0, α,1) un objeto biGalois sobreH,
• h := h(u) ∈ C2 y hu : L(ThT Tξ,0,id,1) → L(Tξ0T,0,id,1) un
isomorfismo de objetos biGalois, • τ :=τu,u ∈k×, que satisfacen (62) α(g) = g0, Φ(idL⊗kf) = (f 0⊗ kidL)(idUξ0⊗kh u)(hu⊗ kidUξ),
donde Φ : LHH → HHL es el isomorfismo dado por l⊗h 7→ l−1⊗l0ε(h).
La segunda condici´on de (62) viene de la Ecuaci´on (60), y la primera condici´on de la Ecuaci´on (59) proviene de:
Si a, b ∈ C2, Lhkg(a,b) ' kαg(a,b) y L0aHkh(b) ' kh(b), entonces
la Ecuaci´on (59) implica que α(g(a, b))h(ab) = h(a)h(b)g0(a, b). Para
a = 1 ´o b = 1 esta ecuaci´on es v´alida. Para a = u = b, obtenemos
α(g) = h2g0 =g0.
Como α= id, entonces Cξ(1,id, γ)Cξ0(u, ι, γ0).
Por el Lema 2.12(1),hu es un isomorfismo si y s´olo s´ıT
hT Tξ =Tξ0T
orTuThT Tξ =Tξ0T.
Para probar que Cξ(1,id, γ) ' C0(1,id, γ0) elegir h = 1 y hu = id ,
entonces T Tξ =T0T si T est´a dada por la matriz
1 ξ/2
0 1
3.C2-EXTENSIONES DE Comod(H) 121
Solo falta ver que
Φ(idL⊗kϕ2) = (ϕ3⊗kidL)(idU0⊗kϕ1)(ϕ1⊗kidUξ),
donde
• ϕ1 : LHUξ → U0HL, viene de hu = id : L(T Tξ,0,id,1) →
L(T0T,0,id,1) componiendo con los isomorfismos LHUξ '
L(T Tξ,0,id,1),L(T0T,0,id,1)'U0HL, • ϕ2 :UξHUξ →H, viene de id :L(TξTξ,0,id,1)→ L(id,0,id,1), y satisface (ϕ2)−1(v) = (TξTξ(v), Tξ(v))⊗k1 +eu,u⊗(Tξ(v), v) y (ϕ2)−1(eg,g) = eg,g⊗eg,g si v ∈V, g ∈C2, • ϕ3 :U0HU0 →Hviene de id : L(T0T0,0,id,1)→ L(id,0,id,1)
(componiendo con ciertos isomorfismos).
Sea v ∈ V. Si a = (T Tξ(v), Tξ(v))⊗1 +eu,u⊗(Tξ(v), v) ∈ LHUξ ,
entonces ϕ1(a) = (T0T(v), T(v))⊗1 +eu,u⊗(T(v), v):
Sea ζ1 :L(T Tξ,0,id,1)→LHUξ y ζ2 :L(T0T,0,id,1)→U0HL
el isomorfismo dado en el Lema 2.12(3), el cual satisface
ζ1(T Tξ(v), v) = T Tξ(v), Tξ(v))⊗1 +eu,u⊗(Tξ(v), v),
ζ2(T0T(v), v) = (T0T(v), T(v))⊗1 +eu,u⊗(T(v), v).
Por definici´on de ϕ1, tenemos que ϕ1 ◦ζ1 = ζ2 ◦idL(T Tξ,0,id,1), y esto
implica la afirmaci´on.
Por un argumento similar, si
b = (T0T0(v), T0(v))⊗1 +eu,u⊗(T0(v), v)∈U0HU0 entonces ϕ3(b) =v. M´as a´un Φ = α1◦α2 donde α1 : L → HHL, α2 : LHL → L y (α1)−1(h⊗l) = ε(h)l y (α2)−1(l) =l0⊗l1. Sea x= (T(w), w)∈L, luego (α1)−1(ϕ3⊗kidL)(idU0⊗kϕ1)(ϕ1⊗kidUξ)(idL⊗k(ϕ2)−1)(α2)−1(x) =x,
122 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
ya que
x7→eu,u⊗w+ (T(w), w)⊗1
7→eu,u⊗eu,u⊗(Tξ(w), w) +eu,u⊗(TξTξ(w), Tk(w))⊗1 + (T(w), w)⊗1⊗1
7→eu,u⊗eu,u⊗(Tξ(w), w) + (T0T Tξ(w), T Tξ(w))⊗1⊗1 +eu,u⊗(T Tξ(w), Tξ(w))⊗1 7→(T0T Tξ(w), T Tξ(w))⊗1⊗1 +eu,u⊗(T0T(w), T(w))⊗1 +eu,u⊗eu,u⊗(T(w), w) 7→u⊗(T(w), w) +T(w)⊗1 7→x.
Del mismo modo, (g, g) 7→ (g, g) si g ∈ C2; lo cual implica que
Cξ(1,id, γ)' C0(1,id, γ0).
Para probar que Cξ(u, ι, γ)' C0(u, ι, γ0), es suficiente tomar h =u
y si x, y ∈V entonces definir el morfismo
hu :L(TuT Tk,0,id,1)→ L(T0T,0id,1)
hu(x, y) = (x,−y), hu(eu,u) =−eu,u.
) Por el Lema 2.3, D(1,id, γ)' D(u, ι, γ0) como categor´ıas tenso- riales si y s´olo s´ı existe M =L(R,0, α,1) un objeto biGalois sobre H,
h∈C2,hu :L(ThR,0,id,1)→ L(R,0,id,1) un isomorfismo de objetos
biGalois y τ ∈ k×. Como antes, debe satisfacer que α(1) = u, pero α= id. Esto prueba que D(1,id, γ)D(u, ι, γ0).
) Por el Lema 2.3, D(1,id, γ) ' C0(1,id, γ0) como categor´ıas ten-
soriales si y s´olo s´ı existe M = L(R,0, α,1) un objeto biGalois sobre
H, h ∈ C2, hu : L(ThR,0,id,1) → L(T0R,0,id,1) un isomorfismo de
objetos biGalois y τ ∈k×.
Por el Lema 2.12(3), hu es un isomorfismo si y s´olo s´ıT
hR =T0R
´
o TuThR = T0R, pero estas dos ecuaciones no tienen soluci´on para T
invertible. Luego D(1,id, γ) C0(1,id, γ0) y D(u, ι, γ) C0(u, ι, γ0).
En conclusi´on, obtenemos ocho categor´ıas tensoriales dos a dos no- equivalentes
C0(1,id,1),C0(1,id,−1),C0(u, ι,1),C0(u, ι,−1),
D(1,id,1),D(1,id,−1),D(u, ι,1),D(u, ι,−1).
3.C2-EXTENSIONES DE Comod(H) 123
3.1.1. Descripci´on expl´ıcita de la estructura monoidal. Usando el Teorema 1.4, podemos describir expl´ıcitamente el producto tensorial y la asociatividad para las ocho anteriores categor´ıas tensoriales. Recor- dar que estas categor´ıas tienen la misma categor´ıa Abeliana subyacente Comod(A(V, u, C2))⊕Comod(A(V, u, C2)) dondeV es elk-espacio vec-
torial de dimensi´on dos. Las asociatividades que describiremos son las no-triviales.
Sea V, W, Z ∈Comod(A(V, u, C2)) y g ∈C2.
• El producto tensorial, objetos duales y asociatividad en la cate- gor´ıa C0(1,id,±1) est´an dados por
[V,1][W, g] = [V⊗kW, g], [V, u][W, g] = [V⊗kU0HW, ug],
[V,1]∗ = [V∗,1], [1, u]∗ = [k, u],
α[V,u],[W,u],[Z,u]= [±(idV⊗kU0W⊗kϕ2⊗kidZ)(idV⊗kξW,U0Z), u].
Ac´a ξ= (ξU0)−1 es el morfismo definido in la Ecuaci´on (19).
• El producto tensorial, objetos duales y asociatividad en la cate- gor´ıa C0(u, ι,±1) est´an dados por
[V,1][W,1] = [V⊗kW,1], [V, u][W, u] = [V⊗kU0HW⊗kku,1], [V,1][W, u] = [V⊗kW, u], [V, u][W,1] = [V⊗kU0HW, u],
[V,1]∗ = [V∗,1], [1, u]∗ = [ku, u],
α[V,u],[W,u],[Z,u]= [±(idV⊗kU0W⊗k(ιϕ2⊗kidZ⊗kU0ku)(ξU0Z,ku))
(idV⊗kξW,U0Z⊗kku), u].
• El producto tensorial, objetos duales y asociatividad en la cate- gor´ıa D(1,id,±1) est´an dados por
[V,1][W, g] = [V⊗kW, g], [V, u][W, g] = [V⊗kW, ug],
[V,1]∗ = [V∗,1], [1, u]∗ = [k, u], α[V,u],[W,u],[Z,u]= [±(idV⊗kW⊗kZ, u].
• El producto tensorial, objetos duales y asociatividad en la cate- gor´ıa D(u, ι,±1) est´an dados por
[V,1][W,1] = [V⊗kW,1], [V, u][W, u] = [V⊗kW⊗kku,1],
[V,1][W, u] = [V⊗kW, u], [V, u][W,1] = [V⊗kW, u],
[V,1]∗ = [V∗,1], [1, u]∗ = [ku, u], α[V,u],[W,u],[Z,u]= [±(idV⊗kW⊗kι⊗kidZ⊗kku, u].
124 8. Γ-EXTENSIONES PARA Comod(H)
3.1.2. Dimensiones de Frobenius-Perron de las categor´ıas produc- to C2-cruzado. Finalmente calculamos las dimensiones de Frobenius-
Perron de las categor´ıas anteriormente listadas, esto con el fin de saber si son ´o no la categor´ıa de Representaciones de una quasi-´algebra de Hopf.
Seank1,ku losA(V, u, C2)-com´odulos simples definidos en el Ejem-
plo 2.2(3) yP1, Pu sus respectivas cubiertas proyectivas. Para las cate-
gor´ıas del anterior apartado 3.1.1, las clases de isomorfismos de objetos simples son
h[k1,1]i, h[k1, u]i, h[ku,1]i, h[ku, u]i,
y sus respectivas cubiertas proyectivas son
h[P1,1]i, h[P1, u]i, h[Pu,1]i, h[Pu, u]i,
donde hk1i denota la clase de k1 en el grupo de Grothendieck de la
respectiva categor´ıa.
M´as a´un si g, h ∈ C2, h[kg, h]i = [hkgi, h] y h[Pg, h]i = [hPgi, h] =
[2hk1i+ 2hkui, h], usando el Corolario 1.2.
Teorema 3.3. [MM, Teorema 6.3] F P dim(C0(1,id,±1)) = 42 =
F P dim(D(1,id,±1)) =F P dim(C0(u, ι,±1)) =F P dim(D(u, ι,±1)). Demostraci´on. Para g, h ∈ C2, F P dim[hkgi, h] = 1 y adem´as F P dim[hPgi, h] = 4, lo cual se obtiene de la siguiente tabla:
Sea A la matriz de multiplicaci´on a izquierda del correspondiente simple en el grupo de Grothendieck y λ su respectiva dimensi´on de Frobenius-Perron.
Sea B la matriz de multiplicaci´on a izquierda en el grupo de Grot- hendieck del respectivo cubrimiento proyectivo y µ su respectiva di- mensi´on de Frobenius-Perron. C0(1,id,±1) h[k1,1]i h[k1, u]i h[ku,1]i h[ku, u]i A id 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 λ 1 1 1 1
Cub. proy. h[P1,1]i h[P1, u]i h[Pu,1]i h[Pu, u]i
B 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 µ 4 4 4 4 Entonces F P dim(C0(1,id,±1)) = 42.
3.C2-EXTENSIONES DE Comod(H) 125
De igual modo F P dim(D(1,id,±1)) = 42. Adem´as,
C0(u, ι,±1) h[k1,1]i h[k1, u]i h[ku,1]i h[ku, u]i A id 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 λ 1 1 1 1
Cub. proy. h[P1,1]i h[P1, u]i h[Pu,1]i h[Pu, u]i
B 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 µ 4 4 4 4 Entonces F P dim(C0(u, ι,±1)) = 42.
De igual modo F P dim(D(u, ι,±1)) = 42.
Se sigue de [EGNO, Proposici´on 1.48.2] que cada una de las cate- gor´ıas tensoriales enlistadas en (63) son isomorfas a una categor´ıa de representaciones de una ´algebra quasi-Hopf.
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