Una de las consecuencias del realismo gödeliano es la necesidad de obtener una respuesta definitiva respecto al valor de verdad de CH ya que, recordemos, mantener un realismo respecto al valor de verdad nos obliga a sostener que toda proposición matemática tiene una y sólo una posibilidad: ser verdadera o falsa. A partir del desarrollo delforcingpor parte de Cohen, sabemos que CH es independiente de ZF. A pesar de ser un resultado que llegó 20 años después del resultado de Gödel, era ya una opción que Gödel mismo había considerado en su artículo de 1947 como la más probable y que le sirvió de motivación para lo que ahora conocemos como “programa de Gödel”, la búsqueda de nuevos axiomas para la teoría de conjuntos que sean los suficientemente fuertes como para poder decidir todos los problemas indecidibles de ZFC. La motivación surge cuando Gödel nos dice:
For first of all the axioms of set theory by no means form a system closed in itself, but, quite on the contrary, the very concept of set on which they are based suggest their extension by new axioms which assert the existence of still further iterations of the operation “set of” [...] Furthermore, however, even disregarding the intrinsic necessity of some new axiom, and even in case it had no intrinsic necessite at all, a decision about its truth is possible also in another way, namely, inductively by studying its “success”, that is, its fruitfulness in consequences and in particular in “verifiable” consequences, i.e., consequences demonstrable without the new axiom, whose proofs by means of the new axiom, however, are considerably simpler and easier to discover, and make it possible to condense into one proof many different proofs. (1947: 181-182)
Una conclusión de lo anterior es que los actuales axiomas de la teoría de conjuntos son incompletos, esto debido a que si tuvieramos un sistema axiomático bien determinado, hipótesis como CH serían verdaderas o falsas y no indecidibles. De igual modo, Gödel nos presenta dos formas de justificar la adopción de un nuevo axioma para nuestro sistema, a saber, justificaciones intrínsecas y justificaciones extrínsecas. Las intrínsecas tienen como características el ser intuitivas, autoevidentes al formar parte del “concepto de conjunto” y de la operación “ser conjunto de”, mientras que las extrínsecas son calificadas según su efectividad, su productividad y riqueza en consecuencias que no tendríamos si no utilizáramos tal axioma, o en palabras de Gödel:
There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences, shedding so much light upon a whole discipline, and furnishing such powerful methods for solving given problems [...] that quite irrespective of their intrinsic necessity they would have to be assumed at least in the same sense as any well-established physical theory. (1947: 182-183)
Ejemplos de axiomas justificados de manera intrínseca serían los axiomas de grandes cardi- nales que parten de la idea que la jerarquía acumulativa de conjuntos “crece” infinitamente, o el llamado “principio de reflexión” según el cual cualquier proposición teórico conjuntista que existe enV existe también en un segmento inicialV↵, mientras que uno de los axiomas
más conocidos que se justifica extrínsicamente es el axioma de elección.
El programa ha marcado el camino a seguir en el panorama contemporáneo de la teoría de conjuntos. Gente como Peter Koellner o Hugh Woodin se han dedicado a trabajar en la búsqueda de nuevos axiomas para la teoría de conjuntos partiendo desde las consideraciones intrínsecas, buscando en axiomas de reflexión, determinación y, particularmente en el axioma V = Ultimate Luna manera de decidir CH utilizando consideraciones intrínsecas, mientras que autores como Donald Martin o Stevo Todorcevic se han dedicado en explorar el panorama contrario llevando hasta sus últimas consecuencias las motivaciones extrínsecas con el llamado Martin’s maximum.
Pero el programa de Gödel no es un mero “cronograma de actividades” con pasos detalla- dos para decidir todas las proposiciones de las matemáticas, es más bien una declaración de principios, un manifiesto por parte de Gödel para indicar que, más allá de las posturas filosóficas que se tengan respecto a las entidades matemáticas, ya sea uno un formalista,
un intuicionista o un realista, la necesidad de encontrar un valor de verdad definitivo para nuestras proposiciones matemáticas es la motivación que unifica a todas. Es difícil de calificar si en este punto Gödel está “pecando de inocencia” o si está imponiendo el realismo en valor de verdad como la única postura para aquellos que trabajan en los fundamentos de las matemáticas. Lo que es el caso es que tal “optimismo gödeliano” está lejos de ser el estándar en la actualidad, teniendo como ejemplo la disputa entre los llamados “universistas”, aquellos que sostienen la existencia de un sólo modelo de ZFC que no puede ser extendido, y los “multiversistas”, para quienes, dado cualquier universo conjuntista, existe una extensión de éste. La verdad de una proposición, en el caso de estos últimos, es sólo relativa al modelo en cuesitón, no existiendo, por lo tanto, criterios suficientes para escoger un modelo por sobre otro para poder establecer, algo así, como un “modelo predilecto” de ZFC. Estamos ya muy lejos del panorama considerado por Gödel.
Sírvanos, de igual modo, la presentación del programa de Gödel como un ejemplo de la tesis general de este proyecto, a saber, que consideraciones metafísicas respecto a la naturaleza de las entidades matemáticas pueden influir en los desarrollos técnicos de ciertos autores, como lo es en el caso de Gödel, y que la dirección contraria también puede ser abordada, es decir, que podemos rastrear en ciertos desarrollos técnicos intuiciones metafísicas que están guiando desde el fondo la dirección de la investigación.