Propiedades b´ asicas

Definici´on 10.3. Sea (A,_∗)una estructura algebraica. Diremos que_∗ esasociativa si

(∀x, y, z∈A) (x∗y)∗z=x∗(y∗z) Seae_∈A. Diremos queees elemento neutropara_∗ si

(∀x∈A)e∗x=x∗e=x

Si e_∈A es el neutro para _∗ y x_∈A, diremos que xtieneinverso si existe uny _∈Atal que

x∗y=y∗x=e

En tal caso, y ser´a un inverso de x, y viceversa. Diremos que_∗ esconmutativa si

(_∀x, y_∈A)x_∗y=y_∗x

Un elementoa_∈Aser´a un elemento absorbentesi (_∀x_∈A)x_∗a=a_∗x=a

Un elementoa_∈Aser´a un elemento idempotentesia_∗a=a.

Si (A,∗,4)es un estructura algebraica con dos operaciones, diremos que 4

distribuyecon respecto a ∗ si

(_∀x, y, z_∈A)x₄(y_∗z) = (x₄y)_∗(x₄z) (∀x, y, z∈A) (y∗z)4x= (y4x)∗(z4x)

Es importante notar que:

Proposici´on 10.1 (Unicidad del neutro). Una estructura(A,∗)posee a lo m´as un elemento neutro.

Demostraci´on. Supongamos que (A,∗) posee dos neutrose, e0_. Comoees neutro, entoncese∗e0 _=e0_.

A su vez, comoe0 es neutro, entoncese∗e0=e. Juntando ambas igualdades, concluimos quee=e0_.

Sea (A,∗) una estructura algebraica. Ya sabemos que sie∈Aes neutro, entonces es ´unico. Supongamos ahora que un elementox_∈Atiene inverso. ¿Ser´a ´unico este inverso? La respuesta es no necesariamente. Observemos el siguiente ejemplo, donde

A=_{a, b, c, d_}. ∗ a b c d a a c a c b c b b a c a b c d d c b d a

En la estructura (A,_∗) donde_∗est´a dada por la tabla, tenemos queces el neutro. El elementoa, en tanto, posee dos inversos:byd, pues

a_∗b=b_∗a=c a_∗d=d_∗a=c

Sin embargo, podemos afirmar la siguiente propiedad...

Propiedad 16. Si la estructura algebraica (A,∗)tiene neutroe y∗ es asociativa, entonces los inversos (en el caso en que existan) son ´unicos.

As´ı, si x∈Aposee inverso, lo podemos denotar sin ambig¨uedad comox−1_.

Demostraci´on. Sea x_∈ A, y supongamos que xposee dos inversos:y yz. De- mostraremos quey=z.

Comoyes inverso dex, entoncesx_∗y=y_∗x=e. An´alogamente, comoztambi´en es inverso dex, entoncesz_∗x=x_∗z=e. As´ı, y = y∗e = y_∗(x_∗z) = (y_∗x)_∗z (por asociatividad) = e_∗z = z

Si (A,_∗) una estructura algebraica asociativa y con neutroe_∈A, entonces tambi´en cumple las siguientes propiedades:

Propiedades 11. 1. Si x∈A posee inverso, entoncesx−1 _{tambi´en. M´as a´un,}

2. Six, y_∈Aposeen inversos, entoncesx_∗ytambi´en posee inverso, y(x_∗y)−1₌

y−1

∗x−1

3. Six∈Aposee inverso, entonces es cancelable. Es decir, paray, z∈A:

x∗y=x∗z⇒y=z y_∗x=z_∗x_⇒y=z

Demostraci´on. Demostratemos (2). Sea w=y−1

∗x−1_{. Queremos probar quew= (x}

∗y)−1_{. Para ello, calculemos}

w_∗(x_∗y) = (w_∗x)_∗y (asociatividad) = ((y−1∗x−1)∗x)∗y (def. de w) = (y−1_∗(x−1_∗x))_∗y (asociatividad) = (y−1_∗e)_∗y =y−1 ∗y=e

Queda propuesto al lector mostrar que tambi´en (x∗y)∗w=e. As´ı, concluimos que

w= (x∗y)−1

10.3.

La estructura

Zn

Sea n≥2. Definimos anteriormente la relaci´on≡n (congruencia m´odulon) en Z, y definimosZn=Z/≡n su conjunto de clases de equivalencia. Vimos tambi´en que

Zn={[0]n,[1]n, . . . ,[n−1]n}

Queremos definir operaciones de suma +n y producto·n con los cuales (Zn,+n,·n) sea una estructura algebraica con buenas propiedades. Lo haremos del modo sigu- iente: para [x]n,[y]n ∈Zn

[x]n+n[y]n = [x+y]n [x]n·n[y]n = [x·y]n

Sin embargo, estas definiciones podr´ıan acarrearnos problemas. Pensemos en el siguiente ejemplo, tomando n= 7:

[5]7+7[3]7= [8]7

Notemos que [8]7= [1]7, pues 8≡71.

Sin embargo, como 5_≡719 y 3≡738, entonces

[5]7+7[3]7= [19]7+7[38]7= [57]7

Si queremos que +7quede bien definida, entonces deber´ıa cumplirse que [57]7= [1]7,

y as´ı para todas las posibles reescrituras de [5]7 y [3]7.

Afortunadamente, esto no representa un problema gracias al siguiente resultado. Proposici´on 10.2. Seanx1, x2, y1, y2∈Ztales quex1≡nx2ey1≡ny2. Entonces

(x1+y1)≡n(x2+y2) ∧ (x1·y1)≡n(x2·y2)

Es decir, si[x1]n= [x2]n y [y1]n= [y2]n, entonces

Demostraci´on. Sabemos que x1 ≡n x2 ey1 ≡n y2. Entonces existenkx, ky ∈Z tales que

x1−x2=kxn ∧ y1−y2=kyn Sumando ambas igualdades, obtenemos que

(x1+y1)−(x2+y2) = (kx+ky)·n y por lo tanto (x1+y1)≡n(x2+y2).

Para la multiplicaci´on, calculamos

x1·y1 = (x2+kxn)(y2+kyn)

= x2·y2+ (x2ky+y2kx+kxkyn)·n y entonces (x1·y1)≡n(x2·y2).

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Gu´ıa B´asica Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. _|[0,1)_{| ≤ |}R| 2. |R|<|[0,1)| 3. |[0,1)|<|N| 4. _|[0,1)_|=_|N| 5. _|N|<|[0,1)| 6. |Q|=|[0,1)| 7. |Q|<|[0,1)| 8. _|N|=|R| 9. _|N|=|Q| 10. _|N|=|Z| 11. |Z|<|N| 12. _|Q|<|N| 13. _|N|<|N×N| 14. _|N|=|N×N×N| 15. _|N|<|R| 16. Dadop_∈N\ {1},|Z|=|Zp| 17. _|N|=|Q×Z| 18. |N|<|Q×Z|

19. La suma enRes una ley de composici´on interna.

20. La suma enNes una ley de composici´on interna.

21. La suma enZes una ley de composici´on interna.

22. La suma enZ\ {0}es una ley de composici´on interna.

23. La suma en{n∈N/nes par}es una ley de composici´on interna.

24. La suma en_{n_∈N/nes impar}es una ley de composici´on interna.

25. La multiplicaci´on enRes una ley de composici´on interna.

26. La multiplicaci´on enNes una ley de composici´on interna.

28. La multiplicaci´on enQes una ley de composici´on interna.

29. La multiplicaci´on enQ\ {1} es una ley de composici´on interna.

30. Una operaci´on_∗sobre un conjuntoA, es conmutativa si_∀x, y _∈A, x_∗y=y. 31. Una operaci´on_∗sobre un conjunto A, es conmutativa si_∀x, y _∈A, x_∗y=

y∗x.

32. Una operaci´on∗sobre un conjuntoA, es asociativa si∀x, y ∈A, x∗y=y∗x. 33. Una operaci´on_∗sobre un conjuntoA, es asociativa si_∀x, y, z_∈A, (x_∗y)_∗z=

(y_∗z)_∗(x_∗z).

34. Sea una operaci´on_∗ sobre un conjunto A, con neutroe.x_∈Aes invertible si_∃y_∈A, x_∗y=e=y_∗x.

35. Sea una operaci´on_∗sobre un conjuntoA, con neutroe.x_∈Aes absorvente si∃y∈A, x∗y=x=y∗x.

36. Sea una operaci´on∗sobre un conjuntoA, con neutroe.x∈Aes absorvente si∀y∈A, x∗y=x=y∗x.

37. Dada una operaci´on_∗ sobre un conjunto A, x_∈A es idempotente si _∀y _∈ A, x_∗y=y.

38. Dada una operaci´on_∗sobre un conjuntoA,x_∈Aes idempotente six_∗x=x. 39. El neutro en una estructura algebraica es ´unico.

40. El inverso de un elemento en una estructura algebraica es siempre ´unico. 41. El inverso de un elemento en una estructura algebraica es ´unico, si la op-

eraci´on es conmutativa.

42. El inverso de un elemento en una estructura algebraica es ´unico, si la op- eraci´on es asociativa. 43. El 0 es un elemento cancelable en (N,+). 44. El 0 es un elemento cancelable en (R,·). 45. El 0 es un elemento absorbente en (N,+). 46. El 0 es un elemento absorbente en (R,·). 47. El 1 es un elemento idempotente de (R,·). 48. El 1 es un elemento idempotente de (R,+). 49. El 0 es un elemento idempotente de (R,+).

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Gu´ıa de Ejercicios

Observaci´on:En esta gu´ıa la notaci´onAk_{, para unAconjunto yk∈}

N≤1, est´a dada por: Ak =A_{× · · · ×}A | {z } k veces =_{(x1, x2. . . , xk)|(∀i∈ {1, . . . , k})xi∈A}. 1. Demuestre que: (a) |N×Z|=|N|. (b) |Q×Z|=|N|. (c) _|N|<|R×Z|.

Indicaci´on: Pruebe que_|R| ≤ |R×Z|. (d) _|N|<|R\(N\ {0})|.

Indicaci´on: Use la demostraci´on de_|N|<|R|.

2. Muestre que los siguientes conjuntos son finitos. (a) A=_{f :_{1, ..., n_{} → {}1, ..., n_}/f es biyectiva_}

(b) B=_{todas las permutaciones de n elementos distintos_} (c) C={f :R→N/f es biyectiva}

(d) D={todas las estaturas de los habitantes del planeta tierra}

(e) Dadosa < b_∈R,E= (−∞, b]∩[a,∞)∩N

3. Muestre que los siguientes conjuntos son numerables. Recuerde que puede probar primero que el conjunto es infinito y luego que su cardinal es menor o igual al de uno numerable. (a) A=_{(m, n)_∈Z 2_/m ≤n_} (b) C=_{x_∈R/∃k∈Z,∃i∈N, x=k/3 i } (c) D=_{x= (x1, x2, x3)∈Z 3_/x 1< x2< x3}

(d) G={ circunferencias de radio y centro racional}

4. Muestre que los siguientes conjuntos son no numerables. Recuerde que aqu´ı basta probar que el cardinal del conjunto es mayor o igual al de uno no numerable. (a) B=_{(x, y)_∈R 2_{/x+y= 1} } (b) Sear_∈Q\ {0},C={(x, y)∈R 2_/x2_+y2_=r2 } (c) Seana, b∈Qcona < b,E= (−∞, b]∩[a,∞)

5. Se nale si las siguientes operaciones son o no son leyes de composici´on interna. Justifique por qu´e.

(a) + enZ. (b) + enZ\ {0}.

(c) + enN. (d) _·enR.

(e) /(divisi´on) enQ.

(f) Dado A 6=∅. ◦ (composici´on de funciones) en el conjunto de las funciones deAenA.

(g) _∩en_P(A), para ciertoA₆=_∅.

6. Considerando las operaciones anteriores, en los casos que corresponda: (a) Estudie si la operaci´on es asociativa.

(b) Estudie si la operaci´on es conmutativa. (c) Determine la existencia de neutros.

(d) Determine la existencia de inversos. D´e condiciones sobre un elemento para que posea inverso.

(e) Determine la existencia de elementos aborbentes. (f) Determine la existencia de elementos idempotentes.

7. Demuestre las siguientes propiedades dejadas propuestas en la tutor´ıa, para una estructura algebraica asociativa (A,_∗):

(a) Six_∈Aposee inverso, entoncesx−1_{tambi´en. M´as aun, (x}−1₎−1_=x.

(b) Six_∈Aposee inverso, entonces escancelable. Es decir, paray, z_∈A:

x_∗y=x_∗z_⇒y=z y_∗x=z_∗x_⇒y=z

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Gu´ıa de Problemas

Observaci´on:En esta gu´ıa la notaci´onAk_{, para unAconjunto yk}

∈N≤1, est´a dada por: Ak _=A × · · · ×A | {z } k veces =_{(x1, x2, . . . , xk)|(∀i∈ {1, . . . , k})xi∈A}. P1. (15 min.) Pruebe que el conjunto E = {x = (x1, x2, x3) ∈ R×N

2_/

∃n ∈ N, x1+x2+x3=n}es numerable.

P2. Pruebe que los siguientes conjuntos son no numerables: (a) (15 min.)A={x∈R 3_/∃n∈ N, x1+x2+x3=n}. (b) (15 min.)_T =_{T _⊆R 2 |T es un tri´angulo_}.

P3. (20 min.) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto (0,1) es no numerable.

P4. (a) (20 min.) Sea A un conjunto no numerable, y sea B _⊆ A un conjunto numerable. Pruebe que el conjuntoA_\B es no numerable.

(b) (10 min.) Demuestre, usando lo anterior, que el conjuntoIde los n´umeros irracionales es no numerable.

P5. Dado un conjunto no vac´ıoA, sea_F=_{f :A_→A_|f es biyectiva_}. Se define la operaci´on? dada por:

(_∀f, g_{∈ F})f ? g= (f _◦g)−1_.

(a) (5 min.) Pruebe que (_F, ?) es una estructura algebraica. (b) (10 min.) Estudie la asociatividad de?.

(c) (10 min.) Estudie la conmutatividad de?. (d) (10 min.) Encuentre el neutro en (_F, ?).

(e) (10 min.) Determine si todo elementof _{∈ F}admite un inverso para?. En caso afirmativo, determ´ınelo.

(f) (10 min.) Encuentre los elementos idempotentes de (_F, ?)

P6. Sea (E,_∗) una estructura algebraica y _R una relaci´on de equivalencia que satisface la siguiente propiedad:

(_∀x1, x2, y1, y2) x1Rx2∧y1Ry2⇒(x1∗y1)R(x2∗y2).

Definimos una nueva l.c.i._⊗sobre el conjunto cuocienteE/_Rmediante: [x]_R⊗[y]_R= [x_∗y]_R.

(a) (15 min.) Pruebe que⊗est´a bien definida, es decir que la clase de equiv- alencia de x_∗y no depende de los representantes de [x]_R e [y]_R que se escojan.

(b) (10 min.) Suponiendo que (E,∗) posee un neutro e, encuentre el neutro de (E/R,⊗).

(c) (15 min.) Dado un elementox∈Eque posee inverso en (E,∗), determine el inverso de [x]R ∈E/Ren (E/R,⊗).

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In document tut_alg_2010.pdf (página 115-124)