En esta secci´on se definen algunas propiedades de las relaciones con la finalidad, como se ver´a en las siguientes secciones, de clasificarlas en relaciones de equivalencia o en relaciones de orden. Las relaciones del primer tipo permitir´an asociar los elementos afines de los conjuntos y as´ı particionarlos en subconjuntos, de manera que ´estos sean disjuntos. Las relaciones del segundo tipo permitir´an ordenar, en alg´un sentido, los elementos del conjunto donde se define la relaci´on.
SiR es una relaci´on definida sobre A, se dice que la relaci´on R es:
• Reflexiva si y solo si ∀a ∈ A [aRa], es decir, R es reflexiva si aRa para todo a ∈ A.
• Sim´etrica si y solo si ∀a, b ∈ A [aRb ⇒ bRa], es decir, R es
sim´etrica si cuando aRb tambi´en bRa.
• Transitiva si y solo si ∀a, b, c ∈ A [aRb ∧ bRc ⇒ aRc], es
decir,R es transitiva si cuando aRb y bRc se concluye que aRc.
• Antisim´etrica si y solo si ∀a, b ∈ A [aRb ∧ bRa ⇒ a = b], es
decir, R es antisim´etrica si para aRb, con a = b, no se cumple que bRa.
• Total si y solo si ∀a, b ∈ A [aRb ∨ bRa], es decir, R es total si
para cualquier par de elementos a y b de A, se cumple que aRb o bRa.
Ejemplo 24. Sea A = {1, 2, 3, 4} y sea R una relaci´on definida sobre A, cuyo gr´afico G es
G =(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4), (4, 1)
Soluci´on. En primer lugar, se observa que s´ı es reflexiva, pues 1R1, 2R2, 3R3 y 4R4. No es sim´etrica, pues se tiene que 4R1 pero 1 R4, es decir, 4R1 ⇒ 1 R4 es falsa. No es transitiva, ya que 4R1 y 1R3, pero 4R3, es decir, 4R1 ∧ 1R3 ⇒ 4R3 es falsa. No es antisim´etrica, ya que 1R2 y 2R1, pero 1 = 2. Por ´ultimo, no es total, ya que 2 R4 y 4 R2, esto ´ultimo es equivalente a decir que 2R4 ∨ 4R2 es falsa. Es importante aclarar que los conceptos de simetr´ıa y antisimetr´ıa no son opuestos, es decir, se pueden obtener relaciones que sean sim´etricas y antisim´etricas al mismo tiempo (vea ejercicio 5 de la secci´on 3.3). Ejemplo 25. Sea E un conjunto no vac´ıo y seaR una relaci´on definida sobre P (E) que satisface
ARB ⇐⇒ (A ∪ B = A) Analice cu´ales propiedades cumple R.
Soluci´on. Es claro que s´ı es reflexiva, pues A∪ A = A, y as´ı se cumple que ARA para todo A ∈ P (E). Adem´as, recuerde que en el cap´ıtulo 2 se demostr´o que A∪B = A es equivalente a la proposici´on B ⊆ A, con la cual se verifica que la relaci´on s´ı es transitiva y no es sim´etrica. Por otro lado, como se sabe que A⊆ B ∧ B ⊆ A implica que A = B, se concluye que la relaci´on s´ı es antisim´etrica. Por ´ultimo, la relaci´on no es total, pues es f´acil verificar que para el conjunto de tres elementos E ={1, 2, 3} se verifica que{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2}, y adem´as {2, 3} ∪ {1, 2} = {2, 3}, con lo cual no se cumple la definici´on de total. Ejemplo 26. SobreZ se define la relaci´on R, por:
aRb ⇐⇒ (∃k ∈ Z tal que b − a = 3k) Analice cu´ales propiedades satisface la relaci´on R.
Soluci´on. Se analizar´a si R es reflexiva, sim´etrica, transitiva, anti- sim´etrica o total.
• S´ı es reflexiva, pues para k = 0 se tiene que a − a = 0 = 3 · 0, y
esto verifica que aRa para todo a en Z.
• S´ı es sim´etrica, pues si aRb, ∃k ∈ Z tal que b − a = 3k, y al
multiplicar ´esta por−1 se obtiene a − b = 3 · (−k). Como −k ∈ Z, esto ha probado que bRa.
• Se prueba que s´ı es transitiva: aRb ∧ bRc
⇒ (∃k1 ∈ Z / b − a = 3k1) ∧ (∃k2 ∈ Z / c − b = 3k2)
⇒ b − a + c − b = 3k1+ 3k2
⇒ c − a = 3(k1+ k2) = 3k3
⇒ aRc
Puesto que k3∈ Z, se ha probado que aRb ∧ bRc ⇒ aRc.
• No es antisim´etrica, pues se cumple que, por ejemplo, 2R5 y
tambi´en se cumple que 5R2, y con ello no satisface la definici´on.
• No es total, pues se cumple que, por ejemplo, 2 R3 y tambi´en se
cumple que 3 R2, y con ello no satisface la definici´on.
SiR = (G, A, A) es una relaci´on definida sobre A, se define la diagonal de A como el conjunto
D ={(x, x) / x ∈ A}
Ejemplo 27. Si R = (G, A, A) es una relaci´on definida sobre A, de- muestre queR es antisim´etrica si y solo si G ∩ G−1⊆ D.
Soluci´on. Es necesario probar ambas direcciones:
“⇒” Sea (a, b) ∈ G ∩ G−1 ⇒ (a, b) ∈ G ∧ (a, b) ∈ G−1 ⇒ aRb ∧
aR−1b⇒ aRb ∧ bRa y esto implica que a = b, pues por hip´otesis, R es antisim´etrica. Con esto se ha probado que (a, b) ∈ G∩G−1⇒
a = b, es decir, (a, b)∈ D.
“⇐” Sean a y b tales que aRb ∧ bRa, as´ı aRb ∧ bRa ⇒ aRb ∧ aR−1b⇒
(a, b)∈ G ∧ (a, b) ∈ G−1 ⇒ (a, b) ∈ G ∩ G−1 y como por hip´otesis se tiene que G∩ G−1⊆ D, se conluye que (a, b) ∈ D, esto implica que a = b. Se ha probado que aRb ∧ bRa ⇒ a = b; por lo tanto,
se ha probado que R es antisim´etrica.
Ejemplo 28. Pruebe que si R y R−1 son reflexivas, entonces R ∪ R−1 es reflexiva.
Soluci´on. A partir de la hip´otesis se sabe que aRa y aR−1a, para todo a ∈ A, pues R y R−1 son reflexivas. Por la regla de inferencia de la adici´on, se tiene que aRa ∨ aR−1a, y de ah´ı se implica que aR ∪ R−1a,
con lo cualR ∪ R−1es reflexiva.
Ejemplo 29. SeanR y S dos relaciones definidas sobre un conjunto A, con A no vac´ıo. SiR es transitiva y se cumple que a(R ∪ S)b y bRc, entonces demuestre que a [R ∪ (R ◦ S)] c.
Soluci´on. Aplicando las definiciones y la hip´otesis de queR es transi- tiva, se obtiene: a(R ∪ S)b ∧ bRc ⇒ (aRb ∨ aSb) ∧ bRc ⇒ (aRb ∧ bRc) ∨ (aSb ∧ bRc) ⇒ aRc ∨ a(R ◦ S)c ⇒ a [R ∪ (R ◦ S)] c
Para finalizar esta secci´on, se define la propiedad ≤ para matrices booleanas, que ser´a ´util para verificar las propiedades que satisfacen las relaciones definidas sobre un conjunto finito A (v´ease teorema 2).
Si A y B son matrices booleanas de tama˜no m× n, se dice que A es menor o igual que B si y solo si aij ≤ bij, para todo
1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, y se simboliza como A ≤ B. Ejemplo 30. Si A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 1 1 0 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ y B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠, es claro
que se cumple A≤ B, es decir, A ≤ B es verdadera, pues al comparar entrada por entrada se satisface que aij ≤ bij.
Ejemplo 31. Si A = 1 0 1 0 0 1 y B = 1 1 1 0 1 0 , es claro que A≤ B no se cumple, es decir, la proposici´on A ≤ B es falsa; as´ı, se tiene que A ≤ B, pues al comparar entrada por entrada se observa
que A[2, 3] = 1 ≤ 0 = B[2, 3].
Teorema 1. Si R y S son relaciones definidas de A en B, entonces MR≤ MS ⇐⇒ GR⊆ GS
Demostraci´on. Ejercicio.
Teorema 2. Si R es una relaci´on definida sobre un conjunto finito A, donde A contiene n elementos, entonces se cumple:
1. R es reflexiva si y solo si In≤ MR
2. R es sim´etrica si y solo si MR= MRT 3. R es transitiva si y solo si MR◦R≤ MR
4. R es antisim´etrica si y solo si MR∧ MT R ≤ In
5. R es total si y solo si MR∨ MRT = 1n×n
Demostraci´on. Se prueba solamente la parte 3., el resto est´a enunciado en el ejercicio 19. As´ı, como por hip´otesis A es finito y tiene n elementos, es posible suponer que A ={a1, a2, . . . , an}.
“⇒” Suponiendo que R es transitiva, se debe probar que MR◦R ≤ MR, es decir, que la entrada ij de la matriz MR◦R es menor o igual que la entrada ij de la matriz MR.
Prueba: Si MR◦R[i, j] = 0 no hay nada que probar, pues la de- sigualdad se satisface.
Si MR◦R[i, j] = 1, entonces existe k de manera que MR[i, k] = 1 y
MR[k, j] = 1; por lo tanto, aiRak y akRaj, por lo que aiRaj por
hip´otesis, pues se asume queR es transitiva. De donde se concluye que MR[i, j] = 1.
“⇐” Asumiendo que MR◦R ≤ MR como hip´otesis, se debe probar que
R es transitiva.
Prueba: suponga que aiRak y akRaj, esto implica que MR[i, k] =
1 y MR[k, j] = 1, es decir, se tiene que MR◦R[i, j] = 1, pero como
MR◦R≤ MR y se sabe que el lado izquierdo es 1, se concluye que
MR[i, j] = 1, por lo que se concluye que aiRaj.
Ejemplo 32. Sobre un conjunto A = {a, b, c} se define una relaci´on R, de manera que MR = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 0 0 1 1 0 1 0 ⎞ ⎟
⎠. Utilice el teorema anterior y
Soluci´on. En primer lugar, se observa que I3 ≤ MR; por lo tanto, R no es reflexiva. Como MT R = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 1 1 1 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠, es claro que MR = MRT,
por lo que R no es sim´etrica. Al calcular, se obtiene que MR◦R = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 0 1 1 0 1 1 ⎞ ⎟
⎠, por lo que MR◦R ≤ MR y consecuentemente R no es
transitiva. Se tiene que MR∧ MRT = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 1 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ ≤ I3, por lo que R
no es antisim´etrica y, finalmente, MR∨ MRT = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 0 1 1 1 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ = 13×3,
por lo queR no es total.
Ejercicios (secci´on 3.3)
1. Sea A ={1, 2, 3, 4} y las relaciones R1,R2,R3,R4yR5, definidas sobre A, cuyos gr´aficos respectivos son:
(a) G1 =(1, 1), (4, 4) (b) G2 =(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4) (c) G3 =(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2) (d) G4 =(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (4, 4) (e) G5 =(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)
Para cada una de estas relaciones, establezca si son reflexivas, si- m´etricas, transitivas, antisim´etricas o totales.
2. Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R una relaci´on definida en A, cuyo gr´afico es
determine si R es una relaci´on reflexiva, sim´etrica, transitiva, an- tisim´etrica o total.
3. D´e un ejemplo de una relaci´on que sea sim´etrica y reflexiva pero no transitiva, y un ejemplo de una relaci´on que sea transitiva y reflexiva pero no sim´etrica.
4. Para cada una de las siguientes relaciones, definidas sobreZ, deter- mine si R es reflexiva, sim´etrica, transitiva, antisim´etrica o total.
(a) aRb ⇐⇒ a − b ≤ 10.
(b) aRb ⇐⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0).
5. Determine una relaci´on sobre A ={1, 2, 3} que sea reflexiva, sim´e- trica y antisim´etrica.
6. Utilice el teorema 2 para analizar las propiedades que cumple la relaci´on R si su matriz asociada es:
(a) ⎛ ⎝ 11 01 10 0 1 1 ⎞ ⎠ (b) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
7. Analice cu´ales propiedades cumple la relaci´on R, definida en N por:
aRb ⇐⇒ a − b ∈ N
8. Analice cu´ales propiedades cumple la relaci´on R, definida en R por:
9. Si A ={1, 2, 3}. Se define una relaci´on R sobre P (A) como
M R N ⇐⇒(M∩ N = ∅) ∨ (M = N)
Analice cu´ales propiedades cumple la relaci´onR, calcule su gr´afico. 10. Sea E un conjunto no vac´ıo. Para cada una de las siguientes rela- ciones, definidas sobre P (E), analice cu´ales propiedades cumple:
(a) ARB ⇐⇒ (A ∩ B = ∅) (b) ARB ⇐⇒ (A ∩ B = A) (c) ARB ⇐⇒ (A − B = ∅)
11. Sea R una relaci´on definida sobre A, A = ∅, demuestre: (a) SiR es sim´etrica, entonces R−1 es sim´etrica.
(b) Si R es antisim´etrica, entonces R−1 es antisim´etrica. (c) SiR es reflexiva, entonces R ∩ R−1 es reflexiva. (d) Si R es transitiva, entonces R ∩ R−1 es transitiva.
(e) SiR es antisim´etrica, entonces R ∩ R−1 es antisim´etrica. 12. Sea R una relaci´on definida sobre A, A = ∅. Muestre, con un
contraejemplo, que las siguientes proposiciones son falsas. (a) R y R−1 son transitivas, entoncesR ∪ R−1 es transitiva. (b) R ∪ R−1 es transitiva, entonces R y R−1 son transitivas.
(c) R es antisim´etrica, entonces R ∪ R−1 es antisim´etrica. 13. Sean R y S relaciones definidas sobre un conjunto A, con A no
vac´ıo. Demuestre que si R es antisim´etrica, entonces R−1∩ S es antisim´etrica.
14. Sean R y S dos relaciones transitivas definidas sobre un conjunto
A, con A no vac´ıo. Demuestre que si a(R ∩ S)b ∧ b(R ◦ S)a,
15. SeanR y S dos relaciones definidas sobre un conjunto A, con A no vac´ıo. Si se sabe que R es transitiva y S es sim´etrica, demuestre que si a(R ∩ S)b ∧ bRc, entonces b(R ◦ S)c.
16. SeaR una relaci´on definida sobre A y se dice que R es irreflexiva si para toda a∈ A, se cumple a Ra.
(a) D´e un ejemplo de una relaci´on, sobre A = {a, b, c}, que no sea reflexiva y no sea irreflexiva.
(b) D´e un ejemplo de una relaci´on, sobre determinado conjunto
A, que sea reflexiva e irreflexiva.
17. SeaR una relaci´on definida sobre A y se dice que R es asim´etrica si ∀a, b ∈ A, se cumple aRb ⇒ b Ra.
(a) D´e un ejemplo de una relaci´on, sobre A = {a, b, c}, que no sea sim´etrica, no sea antisim´etrica y no sea asim´etrica. (b) Si es posible, d´e un ejemplo de una relaci´on que sea sim´etrica,
antisim´etrica y asim´etrica.
18. Sean R y S dos relaciones definidas sobre un conjunto A, con
A no vac´ıo. Demuestre que si R y S son sim´etricas, entonces R ◦ S = (S ◦ R)−1.
19. Suponga que R es una relaci´on definida sobre un conjunto finito
A de n elementos. Demuestre que:
(a) R es reflexiva si y solo si In≤ MR
(b) R es sim´etrica si y solo si MR= MRT
(c) R es antisim´etrica si y solo si MR∧ MRT ≤ In
(d) R es total si y solo si MR∨ MRT = 1n×n
20. Sean R y S relaciones definidas de A en B, demuestre que: (a) (R−1)−1=R
(b) (R ∪ S)−1=R−1∪ S−1 (c) (R ∩ S)−1=R−1∩ S−1 (d) (R − S)−1=R−1− S−1
21. Para las relacionesR = (G, A, B), S = (H, B, C) y T = (F, B, C), demuestre que:
(a) (S ◦ R)−1 =R−1◦ S−1
(b) (S ∪ T ) ◦ R = (S ◦ R) ∪ (T ◦ R) (c) (S ∩ T ) ◦ R ⊆ (S ◦ R) ∩ (T ◦ R)
22. Sean R = (G, A, B) y S = (H, A, B), demuestre que: (a) DR∪S = DR∪ DS
(b) DR∩S ⊆ DR∩ DS (c) DR− DS⊆ DR−S
(d) (R ∪ S)[A] = R[A] ∪ S[A] (e) (R ∩ S)[A] ⊆ R[A] ∩ S[A] (f) R[A] − S[A] ⊆ (R − S)[A]