PROPIEDADES DE LAS TEORÍAS CIENTÍFICAS

Jesús Mosterín

Podemos preguntarnos acerca de las propiedades que puedan tener las teorías. Pensaba desarrollar esto de una ma­ nera un poco más invariante respecto a las tres concepciones de las que hemos hablado: la concepción sintáctica, la concepción semántica y la concepción informática; pero, para no tener que ir muy de prisa y para simplificar las cosas, me voy a limitar aquí a la concepción lingüística o sintáctica. No es que yo la prefiera a las otras, me parece que las tres son compatibles y las tres, en principio, son aspectos distintos de la misma concepción, que es la concepción actual de lo que son las teorías científicas, pero si trato de traducir las cosas a las tres concepciones, sería imposible, dado el corto tiempo que nos ha dado el presidente. Por lo tanto, voy a limitarme a definir las cosas desde el punto de vista de la concepción lingüística o sintáctica, sin que esto, repito, represente una defensa específica de esta posición res­ pecto a las otras.

Una propiedad de la que no voy a hablar hoy, es la de la verdad, la de si una teoría es verdadera o falsa. Es una cuestión muy complicada, muy peliaguda, y ni siquiera está claro que tenga sentido decir que una teoría sea verdadera o falsa. Las nociones de verdad y falsedad están claras cuando se refieren a enunciados, por ejemplo, que "yo estoy ahora en Lima y no estoy en Pernambuco"; o que "esto es un vaso de agua y no un

Teorías científicas 181 vaso de mercurio", y cosas por el estilo; estas cosas son verda­ deras o falsas.

Pero cuando describimos un sistema físico cualquiera, in­ cluso el Universo entero si ustedes quieren, cuando lo defini­ mos mediante una estructura matemática muy complicada, por ejemplo, la estructura del espacio-tiempo, ahí lo de la verdad y la falsedad obviamente es muy problemático y muy interesan­ te, pero el tema requeriría un par de conferencias sobre el asun­ to. Lo que hacemos en esos casos es construir un modelo ma­ temático, como ya hemos dicho varias veces, y decir que ese modelo matemático sea verdadero es una manera muy extraña de hablar. Los modelos no son verdaderos ni son falsos, son mejores o peores, se ajustan mejor o peor a la realidad. Si no­ sotros decimos que el espacio-tiempo tiene ciertas propiedades, por ejemplo, de continuidad matemática, como la tienen los números reales, etc. no se entiende muy bien que eso sea ver­ dadero o falso, es más bien una manera de construir modelos matemáticos.

Imagínense un mapa del Perú, por ejemplo. En el mapa ven dos tipos de cosas, unas cosas que el mapa señala, que en un lugar hay una laguna, y entonces esto es verdadero o falso, es decir, si ustedes van a ese sitio y se encuentran con la laguna, entonces dicen que el mapa es verdadero, y si van a ese sitio y se encuentran que allí no hay ninguna laguna, dicen que el mapa es falso, por lo menos respecto a la situación de esa pre­ sunta laguna. Sin embargo, en el mapa se encuentran con otras cosas también, se encuentran con líneas marcadas, que son los paralelos y los meridianos, y si ustedes van a la zona que marca el mapa, no ven nada, no se encuentran con ningún paralelo ni meridiano. Eso no significa que los meridianos y los paralelos sean falsos, lo único que eso significa es que la representación cartográfica es algo complejo, que implica ciertas cosas que están directamente relacionadas con la realidad, y otras cosas distintas que nosotros introducimos para que el asunto funcione mejor, para que sea más fácil localizar los lugares de los que estamos hablando. Pero claro, no hay paralelos ni meridianos en la rea­

lidad. Eso no significa que el mapa que nos han dado sea falso o erróneo, o que sea una estafa, y no justifica que vayamos a protestar a la librería y a pedir que nos devuelvan el dinero porque hemos ido al sitio y no hemos encontrado los paralelos y los meridianos.

Lo mismo ocurre con la realidad física. Cuando describi­ mos un sistema físico, metemos un montón de matemáticas. Eso es problemático, no se entiende bien qué significa decir que todos esos signos matemáticos existan en la realidad. Los sig­ nos matemáticos que metemos ahí en el modelo matemático, son como los paralelos y los meridianos. Un buen modelo es como un buen mapa. Si lo que nosotros queremos es llegar hasta la Plaza de Armas, o hasta San Isidro, o hasta no sé que sitio, y con ayuda del mapa llegamos a donde queríamos lle­ gar, es un buen mapa; lo mismo, si el modelo matemático re­ sulta que, al final, lo que nos dice es que si lanzamos la sonda espacial con un determinado ángulo y una determinada di­ rección y una determinada velocidad, va a llegar a tal planeta en tal momento, y llega a tal planeta en tal momento, entonces es un buen modelo aquel con el que hemos estado trabajando. Sería una crítica absurda de este modelo decir, "bueno, pero es que este modelo presupone que hay ciertos conjuntos supemumerables de secuencias de entidades matemáticas, pero entonces ¿dónde están esas secuencias?". Esas secuencias están en nuestra cabeza, o están en nuestra fantasía, al igual que están los paralelos y los meridianos. El asunto es muy interesante desde todo punto de vista, pero es un asunto peliagudo. Lo único que quería señalar aquí es que cuando hablamos de teorías, la verdad y la falsedad no son nociones que estén ex­ cesivamente claras. Por lo tanto, yo no voy a hablar aquí de estas nociones, sino voy a hablar de otras nociones mucho más sencillas, pero que son importantes también para las teorías, consideradas simplemente como conjuntos de fórmulas o enunciados.

En primer lugar, vamos a empezar por una propiedad que es, desde un punto de vista formal, la más importante. Lo peor

Teorías científicas 183 que le puede pasar a una teoría es ser contradictoria, y lo míni­ mo que se puede pedir a una teoría es que sea consistente. Pedir a una teoría que sea consistente es muchísimo menos que pedir que sea verdadera, pero es lo mínimo que se puede pedir.

Una teoría es siempre un conjunto de fórmulas del len­ guaje. ¿Qué significa que la teoría es contradictoria? Que la teo­ ría es contradictoria significa, sencillamente, que la teoría es igual a su lenguaje, es decir, que todas las fórmulas del lengua­ je son teoremas de la teoría, y por lo tanto, es una teoría que no sirve para nada. Por ejemplo, existen teorías meteorológicas y si yo quiero saber si mañana va a llover en Lima, y le pregun­ to a la teoría, ¿mañana va a llover en Lima?, la teoría me va a decir "sí, mañana va a llover en Lima; no, mañana no va a llover en Lima", es decir, va a contener, como teoremas, cual­ quier cosa y su negación, por lo tanto, no sirve para nada.

La definición más clara de teoría contradictoria es que una teoría es contradictoria si y sólo si es idéntica a su lenguaje, es decir, abarca como teoremas todas las fórmulas del lenguaje.

Otra definición equivalente es que una teoría es contradic­ toria si y sólo si contiene una contradicción, es decir, contiene dos teoremas, uno de los cuales es la negación del otro.

Y otra definición equivalente es que una teoría es contra­ dictoria si y sólo si implica una fórmula de tipo " ó y no ó ". Es decir, hay muchas definiciones, pero todas ellas son equiva­ lentes.

Una teoría es consistente si y sólo si no es contradictoria, es decir, una teoría es consistente si y sólo si no es idéntica a su lenguaje; o si quieren ustedes, una teoría es consistente si no contiene ninguna contradicción, si no contiene un par de teore­ mas, uno de los cuales sea la negación del otro.

En cierto modo, la lógica es el arte de la consistencia, es decir, cuando hablamos y pensamos como lógicos no se nos puede pedir que digamos la verdad, eso sería pedirnos dema­ siado, pero lo que sí se nos puede pedir y se nos debe pedir es que no nos contradigamos. La lógica lo que nos enseña es a no

contradecirnos, la lógica, si ustedes quieren, es el arte de la no contradicción, es el arte de no contradecirse.

Si yo digo, por ejemplo, que en todas las ciudades que están a más de 4000 metros de altura se siente un soroche muy fuerte, y yo digo también que Lima está a más de 4000 metros de altura, tengo que decir que en Lima se siente un soroche muy fuerte, porque si no lo digo, me contradigo. Tengo que decirlo con independencia de que todo esto sea verdadero o falso, con independencia de que Lima esté o no esté a más de 4000 metros de altura, con independencia de que se sienta soroche o no, con independencia que yo esté en Lima o no, es decir, la noción de consistencia no tiene nada que ver con la verdad o falsedad de los enunciados a los que lo aplicamos.

Por ejemplo, no es cierto que yo sea un elefante, ni es cierto que los elefantes tengan alas, pero si yo digo que soy un elefante y que los elefantes tienen alas y que yo no tengo alas, entonces me contradigo. Por lo tanto, si yo quiero ser consisten­ te en mi discurso y he dicho que los elefantes tienen alas y que yo soy un elefante, tengo que decir que tengo alas, y esto es lo que me exige la lógica, y nada más. La lógica no me exige que yo diga algo verdadero, la lógica lo único que me exige es que no me contradiga.

Y por eso, el mundo de las matemáticas, en que no existe ni la verdad ni la falsedad, sino que es el mundo de la libertad, el mundo de las matemáticas no es un mundo real, no es una cosa que esté ahí y que nosotros la descubramos. El mundo de las matemáticas es algo que nosotros creamos e inventamos li­ bremente. Hilbert decía que Cantor había sido como Dios, que había creado libremente el paraíso de los conjuntos para los matemáticos. Un matemático, cuando hace una teoría matemá­ tica, la puede hacer y libremente, definiendo las cosas como quiera. El matemático está en la misma posición que según la Teología cristiana y medieval estaba Dios el día de la creación. Según los teólogos medievales, cuando Dios creó el mundo era completamente libre, y podía hacer el mundo exactamente como quisiera, y la única restricción que ponían los teólogos medie­

Teorías científicas 185 vales a la omnipotencia divina, es que Dios no podía contrade­ cirse, o sea, ni siquiera Dios podía hacer lo contradictorio. Dios podía hacer que el espacio-tiempo fuera curvo o no fuera cur­ vo, que nuestro sistema solar tuviese cinco planetas o veinticin­ co, Dios podía hacer todas esas cosas. Lo que ni Dios podía hacer, según los teólogos, es hacer que nuestro sistema solar tuviese siete planetas y al mismo tiempo hacer que nuestro sistema solar tuviese menos de cinco planetas, porque eso sería una contradicción, y las contradicciones ni siquiera Dios las podía generar o realizar. Según estos teólogos, Dios podía ha­ cer el mundo como quisiera, sin ninguna limitación, excepto la limitación de no contradecirse.

Ésa es exactamente la posición en que están los matemá­ ticos. Un matemático puede definir una noción como quiera y puede constituir un sistema axiomático, lo puede desarrollar como teoría y esa teoría el matemático la desarrolla como le dé la gana, mientras no se contradiga. En el momento en que una teoría fuera contradictoria, esa teoría sería como una pompa de jabón que se pincha, y explota y desaparece y no es nada. Yo puedo definir ahora, en honor de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega, un espacio "inca garcilásico de la végico" y este espacio puedo definir que tenga exactamente 487 dimensiones y que, además, esto ocurra de esta manera y de la otra. En fin, defino lo que quiero, probablemente esto no se puede aplicar a nada, no tiene ningún interés, pero lo que no puedo hacer es contradecirme. Esto vale con mayor razón fuera del mundo de las matemáticas .

De todas las aberraciones intelectuales de las que ha sido testigo el siglo xx, quizá ninguna sea tan profundamente gro­ tesca como la de aquellas personas que, hace 40 ó 50 años, ha­ blaron de una lógica dialéctica contradictoria; obviamente eso sería el colmo del absurdo pues la lógica es el arte de no contradecirse. En cualquier caso, y con independencia de que sea problemático decir que una teoría sea verdadera o no, lo que no es nada problemático es que una teoría contradictoria es totalmente inaceptable, en cualquier campo. Ésta es la primera

propiedad que yo quería indicar, el que una teoría sea consis­ tente, o sea, no contradictoria.

En segundo lugar, podemos introducir la noción de qué significa que una teoría sea completa. Una teoría es completa, dicho intuitivamente, si y sólo si esta teoría da respuesta a todas las preguntas que se pueden formular en su lenguaje; es decir una teoría es completa si y sólo si, para cualquier fórmula, di­ gamos (p de su lenguaje, o bien (p es un teorema de la teoría, o bien no (p es un teorema de la teoría. Esta es una condición extraordinariamente fuerte, y ninguna teoría física es completa en ese sentido. La mayoría de las teorías matemáticas no son completas, pero algunas teorías matemáticas sí son completas.

Otra propiedad es que la teoría sea axiomatizable o no sea axiomatizable. Cuando hemos hablado de teoría no hemos di­ cho que tenga que ser axiomatizable, hemos dicho que cual­ quier conjunto de fórmulas que está clausurado con respecto a la relación de consecuencia es una teoría y, por lo tanto, pode­ mos preguntarnos si la teoría es axiomatizable. La noción intuitiva es que una teoría es axiomatizable si todos sus teore­ mas son deducibles a partir de un subconjunto determinado de sus teoremas, el de los axiomas.

En concreto, suelen darse dos definiciones que son equi­ valentes: 1) La teoría es axiomatizable si y sólo si todos sus teoremas son deducibles a partir de un subconjunto de la teo­ ría, que es definible, o sea, todos los teoremas de la teoría son deducibles a partir de un subconjunto definible. Y la otra defi­ nición, que es equivalente, es 2) Una teoría es axiomatizable si y sólo si es recursivamente numerable, lo cual es equivalente a decir que una teoría es axiomatizable si y sólo si es el recorrido de una función computable sobre los números naturales.

Otra noción distinta y más exigente de una teoría axiomatizable es que una teoría sea finitamente axiomatizable. Una teoría es finitamente axiomatizable si, además de ser axiomatizable, es decir, además de que contenga un subconjunto de teoremas a partir del cual podamos deducir todos sus teo­ remas, ese subconjunto sea un subconjunto finito. Si podemos

Teorías científicas ₁₈₇ deducir todos los teoremas de la teoría a partir de un subconjunto finito de teoremas, entonces ya tenemos un siste­ ma axiomático finito. Las fórmulas de ese subconjunto finito son todos los axiomas del sistema axiomático finito.

Hay teorías que son axiomatizables pero no finitamente axiomatizables. Por ejemplo, en el lenguaje formal de primer orden, la aritmética no es finitamente axiomatizable, pero sí es axiomatizable. Como saben ustedes, un axioma necesario es el axioma de inducción de Peano, que nos dice que para cualquier propiedad p, si el O tiene una propiedad P y siempre que un número natural cualquiera n tenía la propiedad P, entonces el siguiente n+1 también tiene la propiedad P, entonces todos los números naturales tienen la propiedad P. Esto lo he formulado diciendo: para cualquier propiedad P, y eso no se puede for­ mular en el lenguaje de primer orden, en la lógica de primer orden. Lo único que se puede hacer en la lógica de primer orden, que es lo que hacen los matemáticos, es sustituir este axioma por un conjunto infinito de axiomas, lo que se llama un esque­ ma axiomático, que dice que para cualquier fórmula del len­ guaje formal de la aritmética, para cualquier fórmula del len­ guaje aritmético (p, si tenemos que (p (0) y para todo m, si (p (m), entonces (p (m+

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(p (0) a Vm (p (m) (p (m+1) Vn (p (n) .

Éste es el axioma de inducción en la aritmética de primer or­ den.

Este axioma no es una fórmula, sino es un esquema, por­ que he dicho: para cada (p, donde (p es cualquier fórmula. Por tanto, hay tantos axiomas como fórmulas (p hay. Como hay conjunto infinito de fórmulas del lenguaje formal, hay un con­ junto infinitó de axiomas de este signo, lo que se llama un esquema axiomático. Lo que pasa es que todas las fórmulas de este tipo quedan claramente identificadas, y por lo tanto el conjunto, aunque infinito, es definible, y por lo tanto la aritmé­ tica de primer orden de esta teoría es axiomatizable. Lo mismo, en teoría de conjuntos en general, se suelen emplear sistemas axiomáticos pero no sistemas finitamente axiomáticos. Se em­

plean esquemas axiomáticos, por ejemplo el axioma de compre­ sión. Es posible axiomatizar finitamente la teoría de conjuntos y precisamente lo hicieron Von Neumann y Gódel entre 1925 y 1939, diseñaron un sistema axiomático finito que no suele ser el más usual.

Otra propiedad distinta de las teorías es la de que una teoría sea categórica o polimorfa. Una teoría es categórica si y sólo si todos sus modelos son isomorfos entre sí; y una teoría es polimorfa si tiene modelos no isomorfos. Los modelos son sistemas o estructuras formadas por un dominio de individuos, de números, de átomos, de personas, o lo que ustedes quieran, seguido de ciertas posiciones distinguidas, de ciertas relaciones distinguidas, de ciertas funciones. Podemos tener sistemas distintos sobre el mismo dominio de individuos o sobre domi­ nios distintos. Cada uno tiene ciertas funciones y ciertas rela­ ciones.

Decimos que dos sistemas son isomorfos si sus dominios tienen exactamente el mismo número de individuos (si sus dominios son biyectables entre sí, y si podemos establecer una biyección entre sus dominios que conserva la estructura refle­ jada en las relaciones y funciones). Por ejemplo tenemos un dominio A y uno B, y tenemos una función / de A en B. Su­ pongamos que la primera relación del primer sistema es R y la primera relación del segundo sistema es S. Entonces esta fun­ ción f d e A en B preserva esta relación R, si ocurre que para todo x y para todo y, que son elementos de A, si x está con y en la relación R, entonces f (x) está con f (y) en la relación S. Si esto ocurre con todas las relaciones y con todas las operaciones, entonces decimos que los dos sistemas son isomorfos. Isomorfo es una palabra griega: iso que significa igual, y morfo, forma, lo que dice es que dos sistemas tienen la misma forma.